河南省郑州市二七区第四初级中学2023-2024学年八上期中数学试题（解析版）

2023-2024学年上期四中期中考试八年级数学试题满分：100分时间：90分钟一．选择题（每题3分，共30分）1.在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数的个数是（）个．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解答本题的关键．根据无理数的定义：无限不循环的小数叫做无理数．由此得到无理数有：，，（相邻两个之间的个数逐次加），总共个，由此选出答案．【详解】解：根据题意得：，无理数有：，，（相邻两个之间的个数逐次加），总共个，故选：．2.下列关于变量x，y的关系中，y不是x的函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义进行判断即可．【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意；B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意；C、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意；D、当或时，有两个的值与其对应，所以不是的函数，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的定义．解题的关键在于熟练掌握：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．3.如图是小刚画的一张脸，如果他用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，进而得到嘴的位置即可．【详解】解：∵用表示左眼，用表示右眼，∴坐标系的位置如图：∴嘴的位置可以表示成；故选A．【点睛】本题考查坐标与图形．根据点的坐标确定坐标系的位置，是解题的关键．4.如图，已知，则数轴上点所表示的数为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出AB长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，∴∵点A表示的数是1∴点C表示的数是故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.5.若一次函数y=（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2则m的取值范围是（）A.m＜ B.m＞ C.m＜ D.m＞【答案】D【解析】【分析】由“当x1＜x2时，y1＞y2”，利用一次函数的性质可得出4﹣3m＜0，解之即可得出m的取值范围．【详解】解：∵一次函数y=（4﹣3m）x﹣2的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，∴4﹣3m＜0，∴m＞．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．6.下列说法：①实数和数轴上的点是——对应的：②平方最小的实数是0；③；④16的平方根是，用式子表示是，⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数与数轴．①根据实数和数轴上的点是一一对应的判断；②根据平方最小的实数是0判断；③根据立方根的定义计算；④根据平方根的表示方法判断；⑤根据一个数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0判断．【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②平方最小的实数是0，正确；③，正确；④16的平方根是，用式子表示是，原说法错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确；故正确的有①②③⑤，共4个，故选：D．7.下列说法中正确的是（）A.到x轴的距离是3，则或4B.点和点关于y轴对称，则的值为5C.若点与点所在的直线与x轴平行，则D.的平方根是3【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方根以及关于y轴对称的点的坐标．选项A根据点的坐标的意义判断即可；选项B根据关于y轴对称的点的特征判断即可；选项C根据与x轴平行的点的坐标特征判断即可；选项D根据平方根的定义判断即可．【详解】解：A、到x轴的距离是3，则，解得或，故本选项不符合题意；B、点和点关于y轴对称，则，所以，故本选项符合题意；C、若点与点所在的直线与x轴平行，则，解得，故本选项不符合题意；D、的平方根是，故本选项不符合题意．故选：B．8.如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y=x+kb和y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由于无法直接辨识一次函数y=x+kb和y=kx+b的图象各是哪条直线，因此要根据选项先得到，再根据k，b的正负分类讨论得出答案．【详解】解：A、一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；C、一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．9.中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（）A.如果，则B.如果，则为直角三角形C.如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数D.如果，则为直角三角形【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．【详解】解：A、∵，∴设，∵，，∴，∴，故不符合题意；B、∵，，∴，∴不直角三角形，故符合题意；C、∵a，b，c长分别为6，8，10，∴，且a，b，c的长都是正整数，∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；D、∵①，②，将①代入②得：，∴，∴是直角三角形，故不符合题意．故选：B．10.如图①，在中，，点D为的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图像如图②所示，则的长为（）A. B.13 C. D.15【答案】C【解析】【分析】由图象可知，当时，的面积最大为，易得当点与点重合时，的面积最大，此时，，根据三角形的中线平分面积，得到的面积为，利用面积公式求出，再用勾股定理求出即可．【详解】解：过点作，交于点，则：，∴的面积随着的变化而变化，∴当点与点重合时，的面积最大，由图可知：当时，的面积最大为，∴，，∵点D为的中点，∴，∵，∴，即：，∴，∴；故选C．【点睛】本题考查动点的函数图象，同时考查了三角形的中线，勾股定理．从图象中有效的获取信息，确定动点的位置，是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的．本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为______．【答案】【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，可以列出相应的方程组．【详解】解：由题意可得，，故答案为：．12.小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是______.【答案】【解析】【分析】按照题目中的计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．【详解】当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．故答案为．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练运用立方根及算术平方根的定义是解决问题的关键．13.如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是________米．【答案】【解析】【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，∵米，米，∴(米)，∴米，

∴（米）．故这只蚂蚁的最短行程应该是米．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．14.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当最大时，点C的坐标是________．【答案】（0，6）【解析】【分析】由推出当A、B、C三点共线时，的值最大，求出直线AB的解析式即可解决问题．【详解】解：由题可知，，∴当A、B、C三点共线时，的值最大，设直线AB的解析式为，将A(1，4)，B(3，0)代入得：，解得：，∴，当时，，∴当的值最大时，点C坐标为(0，6)．故答案为：(0，6)．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的三边关系，一次函数的应用等知识，灵活运用三角形的三边关系，熟练掌握一次函数解析式求法是解题的关键．15.如图，在中，，点D是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，当是直角三角形时，求的长为________．【答案】1或7##7或1【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质．根据题意分情况求解是解题的关键．如图1，作于F，则，由勾股定理得，，由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②D在上，两种情况求解即可．【详解】解：如图1，作于F，∵，∴，由勾股定理得，，由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②D在上，两种情况求解：①当点D在上时，如图1，，∴．∴．∴．∴．∴；②当点D在上时，如图2，，∴．∴．∴．∴，综上所述，的长为1或7．故答案为：1或7．三．解答题（共55分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算．（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的除法运算，然后分母有理化后合并即可；（2）先根据平方差公式、负整数指数幂和二次根式的性质计算，然后合并即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．17.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）4.2或5.8．【解析】【分析】（1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方即可；（2）分两种情况进行讨论：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，分别计算即可．【详解】解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8．综上所述，BN＝4.2或5.8．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能遗漏，属于中考常考题型．18.如图，在平面直角坐标系中，已知，，．（1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形；（2）写出B到AC的距离为______；（3）已知P为x轴上一点，且的面积为4，求点P的坐标．【答案】（1）见解析（2）（3）点P的坐标为或．【解析】【分析】本题考查作图-轴对称变换、勾股定理、点到直线的距离．（1）根据A，B，C坐标描点再连线可得，根据轴对称的性质可得；（2）利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后结合三角形的面积公式可得答案；（3）设点P的坐标为，则可列方程，求出n的值即可．【小问1详解】解：如图，及即为所求．；【小问2详解】解：设点B到的距离为m，∵的面积为，，∴，解得，∴点B到的距离为．故答案：；【小问3详解】解：设点P的坐标为，∴，解得或10，∴点P的坐标为或．19.为更好地落实“双减”要求．提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．（1）七（1）班准备统一购买新的足球和跳绳．请你根据下图中班长和售货员的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；（2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个和跳绳b根，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？【答案】（1）足球单价为100元，跳绳单价为20元（2）有2种方案，方案一：买足球18个时，跳绳24条；方案二：买足球20个时，跳绳8条【解析】【分析】（1）设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）根据题意列出方程，然后根据若1800元全买足球，可求出，从而得到a取16，17，18，19，20，21，22，即可求解．小问1详解】解：设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意得∶，解得：，答：足球单价为100元，跳绳单价为20元；【小问2详解】解：若1800元全买足球，（个）∴，∵a，b均为正整数，∴a取16，17，18，19，20，21，22，当时，（不合题意，舍去）当时，（不合题意，舍去）当时，，当时，（不合题意，舍去），当时，（不合题意，舍去），当时，，当时，（不合题意，舍去）综上所述：有2种方案，方案一：买足球18个时，跳绳24条；方案二：买足球20个时，跳绳8条．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．20.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠．方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示．（1）求和b的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，应选择哪种方案所需费更合算？请说明理由．【答案】（1），表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）打折前的每次健身费用为25元，；（3）当健身6次以上，选择方案一合算，当健身6次以下，选择方案二合算，理由见解析【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用．（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按九折优惠，求出的值；（3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论．【小问1详解】解：∵的图象过点，，∴，解得，表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；【小问2详解】解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元），∴；【小问3详解】解：由题意可知，，，∴，解得当健身6次以上，选择方案一合算，当健身6次以下，选择方案二合算．21.如图，直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．（1）填空：______．正比例函数的表达式为______；当时，x的取值范围______．（2）若点M是直线上一动点，连接．当的面积是面积的时，请求出符合条件的点M的坐标；（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．【答案】（1）；；（2）点M的坐标为或（3）或2或【解析】【分析】本题考查了一次函数图像及性质，以及三角形面积的求解，熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．（1）把代入中求得m的值；运用待定系数法即可得到的解析式；再利用函数图象可得不等式的解集．（2）根