压轴训练：分式和分式方程（原卷版）

分式和分式方程压轴训练压轴题型一求使分式为正(负)数时未知数的取值范围例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值大于零，则x的取值范围是______．巩固训练1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式的值为负数，x的取值范围是_________．2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式的值是正数，那么的取值范围是_____．压轴题型二求使分式值为整数时未知数的整数值例题：（2023春·七年级单元测试）若表示一个负整数，则整数________．巩固训练1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值为_______．（写出两个即可）2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.3．（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）若分式的值为整数，则的整数值为．4．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：(1)将变形为满足以上结果要求的形式：；(2)将变形为满足以上结果要求的形式：；(3)若为正整数，且也为正整数，则的值为．压轴题型三与分式有关的规律性问题例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；；按照以上规律，解决下列问题(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．巩固训练1．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）有下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：……请你按照上面的规律解答下列问题：(1)第4个等式是；(2)用含n（n为正整数）的代数式表示第n个等式，并证明其正确性．2．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．3．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列各式规律．第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：………(1)根据上述规律，请写出第5个等式：；(2)请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明．压轴题型四与分式方程有关的规律性问题例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程：①的解．②的解．③的解．④的解．……(1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解；(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．巩固训练1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，；…(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是；(2)利用（1）的结论解关于x的方程：；(3)利用（1）的结论解关于x的方程：．2．（23-24八年级下·江苏南京·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：阅读材料一：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，；…阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．如：；再如：．(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．压轴题型五与分式有关的新定义型问题例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如，，则和都是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；①；②；③；④．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______．(3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数．巩固训练1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①；②；③．(2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值；(3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是（填序号）．①；②；③；④；(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为．(3)拓展：若，求A、B的值．3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．如：；，再如：．解决下列问题：(1)分式是分式填“真”或“假”；(2)先将假分式化为带分式，再当的值为整数，求的整数值．写出过程(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．压轴题型六与分式运算的有关的新定义型问题例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．(1)分式与分式“等和积分式”(填“是”或“不是”)；(2)求分式的“等和积分式”；(3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”；②用发现的规律解决问题：若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．巩固训练1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”．【知识应用】（1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；（2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法：设的“友好分式”为，则，，．请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”；【拓展延伸】（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______；②若是的“友好分式”，求的值．2．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．(1)分式____