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文档简介

河北省保定市部分学校20232024学年高一下学期1+3期中考试数学试题第I卷(选择题)一、单选题1.设(其中为虚数单位),若为纯虚数,则实数()A B. C. D.2.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数:812,832,569,684,271,989,730,537,925,907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.53.已知向量,的夹角为,若,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.4.下列命题中,正确的是()A.直线、与平面所成的角相等,则B.、、三个平面,若,,则C.、、为空间中的三条直线,若,,则D.、为两条直线,、为两个平面,若,,,则5.已知直线:,则下列结论正确的是()A.直线的倾斜角是B.若直线,则C.点到直线的距离是1D.过与直线平行的直线方程是6.如图,在中,,点在边上,且,则等于()A. B. C. D.7.如图,正方体的棱长为,为的中点,在侧面上,若,则面积的最小值为()A. B. C. D.8.已知圆与轴正半轴的交点为,从直线上任一动点向圆作切线,切点分别为,,过点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为()A. B. C.1 D.二、多选题9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关,《满江红》不负众望,凭借喜剧元素和家国情怀,以25.96亿票房成为档期内票房冠军,另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影.下图是这两部电影连续7天的日票房情况,则()A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数10.设点M是所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若,则B.若,则点三点共线C.若点M是的重心,则D.若且,则的面积是面积的11.在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示,,,为的中点,为的中点,则在原直三棱柱中,下列说法正确的是()A.,,,四点共面B.C.几何体和直三棱柱的体积之比为D.当时,与平面所成角为第II卷(非选择题)三、填空题12.已知两点,,过点的直线与线段有公共点,则直线的斜率的取值范围是___________.13.甲、乙两个篮球队进行比赛,获胜队将代表所在区参加市级比赛,他们约定,先赢四场比赛的队伍获胜.假设每场甲、乙两队获胜的概率均为,每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立,若在前三场比赛中,甲队赢了两场,乙队赢了一场,则最终甲队获胜的概率为______.14.已知四面体中,,其余各棱长均为6,则四面体外接球的表面积为__________.四、解答题15.从3个黑球,,和3个白球,,中任取3个:(1)写出基本事件空间和基本事件总数n.(2)求颜色都相同的概率;(3)求恰有1个白球的概率.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有20人,按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这20人的年龄的中位数和众数;(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.17.在①;②;这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.问题:在中,内角的对边分别为,且___________.(1)求角;(2)在中,,求周长的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.矩形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直,,,直线与平面所成角为,.(1)求平面与平面夹角的余弦值;(2)线段上任意一点到平面的距离是否为定值?如果是,则求出定值,否则说明理由.19.已知圆,点P为直线上的动点.(1)若从P到圆O切线长为,求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长;(2)若点,直线与圆O的另一个交点分别为,求证:直线经过定点.河北省保定市部分学校20232024学年高一下学期1+3期中考试数学试题第I卷(选择题)一、单选题1.设(其中为虚数单位),若为纯虚数,则实数()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法的运算法则,结合纯虚数的定义进行求解即可.【详解】,因为为纯虚数,所以有,故选:D2.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数:812,832,569,684,271,989,730,537,925,907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【解析】【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可.【详解】随机模拟产生10组随机数中,有3组随机数表示手术成功,故3例心脏手术全部成功的概率为:.故选:B3.已知向量,的夹角为,若,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得,根据投影向量的定义求解.【详解】由得,即,所以,所以向量在向量上的投影向量为.故选:A4.下列命题中,正确的是()A.直线、与平面所成的角相等,则B.、、为三个平面,若,,则C.、、为空间中三条直线,若,,则D.、为两条直线,、为两个平面,若,,,则【答案】D【解析】【分析】利用正四面体可判断A选项的正误;根据面面的位置关系可判断B选项的正误;根据空间中线线的位置关系可判断C选项的正误;根据线面垂直的性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,在正四面体中,、与平面所成角相等,但与相交,A选项错误;对于B选项,若,,则与平行或相交,B选项错误;对于C选项,若,,则与平行或相交,C选项错误;对于D选项,由,得,由因为,所以,D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判断,考查推理能力,属于中等题.5.已知直线:,则下列结论正确的是()A.直线倾斜角是B.若直线,则C.点到直线的距离是1D.过与直线平行的直线方程是【答案】D【解析】【分析】求解直线的倾斜角判断A;利用直线的斜率乘积判断B;点到直线的距离判断C;求解直线方程判断D.【详解】直线,直线的斜率为:,所以直线的倾斜角为:,所以A不正确;直线的斜率为:,两条直线不垂直,所以B不正确;点到直线的距离是:,所以C不正确;过与直线平行的直线方程是,正确,所以D正确;故选:D.6.如图,在中,,点在边上,且,则等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中,由余弦定理求得,在中,利用正弦定理求得BD,则可得CD.【详解】在中,由余弦定理可得.又,故为直角三角形,故.因为,且为锐角,故.由利用正弦定理可得,代值可得,故.故选:C.【点睛】本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形,属于综合基础题.7.如图,正方体的棱长为,为的中点,在侧面上,若,则面积的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系,设,由可得,由此得到关系;从而利用表示的面积,利用二次函数最值求得面积的最值.【详解】以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则,,,,,设,则,当时,故选:【点睛】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题,关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来,得到二次函数的形式,利用二次函数的最值求得面积的最值.8.已知圆与轴正半轴的交点为,从直线上任一动点向圆作切线,切点分别为,,过点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】将直线转化为两个圆的公共弦方程,利用垂足确定的轨迹为一个圆,然后结合点到圆心的距离求最小值即可.【详解】易得,设,因为是圆的两条切线,所以所以在以为直径的圆上,又因为,且的中点为,所以以为直径的圆的方程为:.所以为以为直径的圆和圆的的公共弦,两个圆的方程相减得:所以直线,直线恒过定点,过点作直线的垂线,垂足为,则在以为直径的圆上,设圆的圆心为,半径为,所以,所以的最小值为:.故选:B二、多选题9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关,《满江红》不负众望,凭借喜剧元素和家国情怀,以25.96亿票房成为档期内票房冠军,另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影.下图是这两部电影连续7天的日票房情况,则()A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数【答案】ABD【解析】【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房,所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数,A正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大,《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差,所以B正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差,故C错误;因为,《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数,因为,《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数,《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数,所以D正确.故选:ABD.10.设点M是所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若,则B若,则点三点共线C.若点M是的重心,则D.若且,则的面积是面积的【答案】CD【解析】【分析】A选项,由平面向量基本定理,变形得到,A错误;假设点M、B、C三点共线,推导出,故B错误;C选项,画出图形,结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案;D选项,可以先得到的面积与面积底相同,高线之比为2:3,从而得到答案.【详解】A选项,,A错误;B选项,假设点M、B、C三点共线,则,即,整理得:,故当时,即,与条件中的不一致,所以点M、B、C三点不共线,B错误;如图,取BC中点H,连接AH,若点M是的重心,则点M在AH上,且MA=2MH,则,则,C正确;D选项,由于,而,所以,其中,不妨设,则Q点在直线BC上,由于与同底,而高线之比等于与的比,即比值为2:3,所以的面积是面积的,D正确.故选:CD11.在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示,,,为的中点,为的中点,则在原直三棱柱中,下列说法正确的是()A.,,,四点共面B.C.几何体和直三棱柱的体积之比为D.当时,与平面所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面位置关系可判断A,B选项,根据几何体的体积计算方法即可判断C选项,利用定义法可判断线面角,即可判断D选项【详解】如图,将展开的平面图还原成立体图形,对A选项,连接,为的中点,也为的中点,又为的中点,,,,,四点共面,故A选项正确;对B选项,,棱柱为直三棱柱,易得平面,又平面,,又,四边形为正方形,,又,平面,又平面,,B选项正确;对C选项,,分别为,的中点,,几何体和直三棱柱的体积之比为,故C选项错误;对D选项,当时,又,且,,,,又由B选项的分析知平面,即为与平面所成的角,又,与平面所成的角为,故D选项正确.故选:ABD.第II卷(非选择题)三、填空题12.已知两点,,过点的直线与线段有公共点,则直线的斜率的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据两点间的斜率公式,利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围.【详解】解:点,,过点的直线与线段有公共点,直线的斜率或,的斜率为,的斜率为,直线的斜率或,即,故答案为:.13.甲、乙两个篮球队进行比赛,获胜队将代表所在区参加市级比赛,他们约定,先赢四场比赛的队伍获胜.假设每场甲、乙两队获胜的概率均为,每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立,若在前三场比赛中,甲队赢了两场,乙队赢了一场,则最终甲队获胜的概率为______.【答案】##【解析】【分析】考虑先赢四场比赛的队伍获胜,甲队已经赢了两场,故只需再先赢两场则获胜,分析得到甲在随后进行的场次可以有两场连胜,也可输一场赢两场(含两种情况),还可以输两场赢两场(含三种情况),分别计算概率,再利用互斥事件的概率加法公式即得.【详解】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为,且最多再进行四场比赛,最少再进行两场比赛.则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为;②再进行三场比赛甲队获胜的概率为;③再进行四场比赛甲队获胜的概率为,由互斥事件的概率加法公式,可得最终甲队获胜的概率为.故答案为.14.已知四面体中,,其余各棱长均为6,则四面体外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】作图,由余弦定理计算,再得,利用正弦定理可求得底面外接圆的半径,再计算得的值,列方程,代入求解出,从而可求解出,代入表面积公式计算.【详解】如图,设外接球的球心为,半径为,底面的外心为,底面外接圆的半径为,因为,其余各棱长均为,所以可得,所以,由正弦定理得,即,所以,因为,可得,求解得,所以,所以外接球的表面积为.故答案为:【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.四、解答题15.从3个黑球,,和3个白球,,中任取3个:(1)写出基本事件空间和基本事件总数n.(2)求颜色都相同的概率;(3)求恰有1个白球的概率.【答案】(1)见解析,28(2)(3)【解析】【分析】(1)根据列举法按找一定的次序不重不漏的列出基本事件即可.(2)由(1)即可找出同色的基本事件,再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】(1),即(2)“颜色都相同”,则,,则(3)同理,“恰有1个白球”,则,共个基本事件,求得.【点睛】本题考查了基本事件的列举以及古典概型的概率计算公式,属于基础题.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有20人,按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这20人的年龄的中位数和众数;(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】(1)中位数为,众数为(2)10【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求中位数及众数即可;(2)先根据分层抽样求出第四组和第五组抽取的人数,再求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数和方差,进而可得出答案.【小问1详解】由于,所以这20人的年龄的中位数为:,众数为:;【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为,故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人,第四组和第五组分别抽取4人和2人,设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,方差分别为,则,设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为,则,因此,第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,据此,可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.17.在①;②;这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.问题:在中,内角的对边分别为,且___________.(1)求角;(2)在中,,求周长的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)选择①:由正弦定理化边为角即可求出;选择②:利用面积公式和数量积关系化简可得出;(2)利用余弦定理结合基本不等式即可求出.【小问1详解】选择①:条件即,由正弦定理可知,,在中,,所以,所以,且,即,所以;选择②:条件即,即,.在中,,所以,则,所以,所以.【小问2详解】由(1)知,由余弦定理知:所以得所以,当且仅当时,等号成立所以求周长的最大值为.18.矩形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直,,,直线与平面所成角为,.(1)求平面与平面夹角的余弦值;(2)线段上任意一点到平面的距离是否为定值

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