专题训练：等腰三角形中作辅助线的八种常用方法（原卷版）

等腰三角形作辅助线的常用方法题型01等腰三角形中有底边中点时，常作底边上的中线【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（

）A．B．C．D．始终为等腰直角三角形【例1-2】（20-21八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．(1)求证：；(2)若，则的度数为___________．【例1-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，，，D为的中点，E，F分别是，上的点，且，试判断的形状，并说明理由．【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（

）A． B． C．减 D．或【变式1-2】（23-24八年级上·北京·期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：(1)；(2)．【变式1-3】（2024八年级·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．(1)求证：．(2)若，求的度数．题型02等腰三角形中没有底边中点时，常作底边上的高【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．（

）

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例2-2】（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知．(1)求证：是等腰三角形．(2)当，时，求的面积．【例2-3】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知在中，，点D是边上一点，．(1)如图1，试说明的理由；(2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．①试说明的理由；②如果，求的度数．【变式演练】【变式2-1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若D恰好是的中点，．给出下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有（

）个．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，与相交于点G．求的度数．【变式2-3】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．(1)求证：；(2)若的面积是18，，求长．题型03等腰三角形中证与腰有关联的线段时，常作腰的平行线【典例分析】【例3-1】（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【例3-2】（22-23八年级上·河南鹤壁·期末）问题初探如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．类比再探如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程）方法迁移如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）．拓展创新如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由．【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，与直线相交于点D，求证：．【变式3-2】（2024·八年级上·湖北吉林长春·）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．

(1)求证：；(2)若，则的面积为______．题型04等腰三角形中证与底有关联的线段时，常作底的平行线【典例分析】【变式4】（22-23八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：．【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，等边中，在边延长线上一点，延长至，使，于，求证：．【变式4-2】（22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且．(1)如图①，当是边的中点时，求证：；(2)如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；(3)若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长．题型05补形法构造等腰三角形【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为延长线上一点，为上一点，．(1)求证：；(2)若是的中线，交于点，求证：．【例5-2】（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，分别是，的中线，且，求证．【例5-3】（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，中，，于D，且，求．【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·吉林松原·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．【探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．(1)求证：证明：延长AD到点E，使在和中（已作），（______），（中点定义），∴（______），(2)探究得出的取值范围是______；（直接写出结果即可）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．(3)如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．【变式5-2】（23-24八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线.(1)当时，求的度数；(2)当时，求证：.【变式5-3】（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，为等边内一点，连接、，延长到点，使；延长到点，使，连接、．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，则度．题型06延长（或截取）法构造三角形【典例分析】【例6-1】（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）已知，如图，中，为外一点，且于点，连接交于点，连接．(1)若，求的度数；(2)求证：．【例6-2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：在中，是边上的中线，分别以边、边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：．【例6-3】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．

(1)求证：；(2)求证：且；(3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【变式演练】【变式6-1】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【变式6-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为．

【变式6-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，．(1)求证：垂直平分；(2)过点作交的延长线于，如果；①求证：是等边三角形；②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．题型07倍长中线法构造等腰三角形【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，为中线，点在上，交于点．求证：．【例7-2】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究：小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小圣证明的判定定理是______；(2)的取值范围是______；方法运用：(3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．【例7-3】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范围是．A．

B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如图2，和是两个等腰直角三角形，，，与交于．取的中点，连，探讨与的数量和位置关系．

【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【变式7-2】（22-23八年级上·上海杨浦·期末）已知，如图：中，，是的中线：求证：．

【变式7-3】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到的理由是（

）A．

B．

C．

D．

（2）求得的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．题型08截长补短法构造等腰三角形【典例分析】【例8-1】（23-24八年级下·江西上饶·开学考试）（1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：；（2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长．【例8-2】（22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习）数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：

(1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明；(3)探究线段之间的数量关系，并证明．【例8-3】（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题：如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：．【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到；小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明；小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形；小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明．【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．请同学们反思后解决下面的问题：（3）如图，，，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值．【变式演练】【变式8-1】（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系．(1)方法探索：小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______；(2)拓展运用：如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由．【变式8-2】（22