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文档简介
2024年春期高2022级高二期末考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。第I卷(选择题58分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若直线过点,,则此直线的倾斜角为A. B. C. D.2.已知,则该圆的圆心坐标和半径分别为A. B. C. D.3.记为等差数列的前项和,若,则A.20 B.16 C.14 D.124.已知双曲线C经过点,离心率为,则C的标准方程为A. B. C. D.5.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中,要求每个盒子中至少放2个小球,则不同放法的种数为A.3 B.6 C.10 D.156.衣柜里有灰色,白色,黑色,蓝色四双不同颜色的袜子,从中随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为A. B. C. D.7.已知点M,N是抛物线:和动圆C:的两个公共点,点F是的焦点,当MN是圆C的直径时,直线MN的斜率为2,则当变化时,的最小值为A.3 B.4 C.5 D.68.已知,且,则a,b,c的大小关系为A. B.C. D.二、多项选择题(每小题6分,共3小题,共18分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.已知的展开式中,各项的二项式系数之和为128,则A. B.只有第4项的二项式系数最大C.各项系数之和为1 D.的系数为56010.下列说法中正确的是附:独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值0.10.050.012.7063.8416.635A.已知离散型随机变量,则B.一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158C.若,则事件与相互独立D.根据分类变量与的观测数据,计算得到,依据的独立性检验可得:变量与独立,这个结论错误的概率不超过0.0511.将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合,得到如图所示的六面体,则A.该几何体的表面积为B.该几何体的体积为C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线平面第二卷非选择题(92分)三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案直接填在答题卡中的横线上.)12.数列满足且,则数列的通项公式是.13.过点与曲线相切的直线方程为.14.已知、为椭圆的左、右焦点,点为该椭圆上一点,且满足,若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍,则该椭圆的离心率为.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分)近几年,随着生活水平的提高,人们对水果的需求量也随之增加,我市精品水果店大街小巷遍地开花,其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口,风味较好,广受消费者的喜爱.在某水果店,某种猕猴桃整盒出售,每盒20个.已知各盒含0,1个烂果的概率分别为0.8,0.2.(1)顾客甲任取一盒,随机检查其中4个猕猴桃,若当中没有烂果,则买下这盒猕猴桃,否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率;(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃,若当中没有烂果,则下一周继续网购一盒;若当中有烂果,则隔一周再网购一盒;以此类推,求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16.(15分)已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.(1)证明:;(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?17.(15分)已知数列的通项公式为,在与中插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,记数列的前项和为,(1)求的通项公式及;(2)设,为数列的前项和,求.18.(17分)已知函数.(1)当时,求曲线的单调减区间;(2)若有两个极值点,且,,若不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(17分)已知椭圆的离心率为,左、右两个顶点分别为A,B,直线与直线的交点为D,且△ABD的面积为.(1)求C的方程;(2)设过C的右焦点F的直线,的斜率分别为,,且,直线交C于M,N两点,交C于G,H两点,线段MN,GH的中点分别为R,S,直线RS与C交于P,Q两点,记△PQA与△PQB的面积分别为,,证明:为定值.2024年春期高2022级高二期末考试数学试题参考答案1.C2.A3.D4.C5.B6.D7.B8.D9.AD10.BC11.AC12.13.14.15.解:(1)由题意可得:甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果,甲购买一盒猕猴桃的概率.................................................................................6分(2)用“√”表示购买,“╳”表示不购买,乙第5周购买有如下可能:第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√................................................................................................................................................................9分故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率:....................................13分16.解:(1)[方法一]:几何法因为,所以.又因为,,所以平面.又因为,构造正方体,如图所示,过E作的平行线分别与交于其中点,连接,因为E,F分别为和的中点,所以是BC的中点,易证,则.又因为,所以.又因为,所以平面.又因为平面,所以....................................................................................................7分[方法二]【最优解】:向量法因为三棱柱是直三棱柱,底面,,,,又,平面.所以两两垂直.以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图.,.由题设().因为,所以,所以.........................................................................7分[方法三]:因为,,所以,故,,所以,所以........7分(2)[方法一]【最优解】:向量法设平面的法向量为,因为,所以,即.........................................................................................................9分令,则因为平面的法向量为,设平面与平面的二面角的平面角为,则........................................................................13分当时,取最小值为,此时取最大值为.所以,此时...................................................................................15分[方法二]:几何法如图所示,延长交的延长线于点S,联结交于点T,则平面平面.作,垂足为H,因为平面,联结,则为平面与平面所成二面角的平面角.设,过作交于点G.由得.又,即,所以.................................................................................9分又,即,所以.所以...............................................................13分则,...................................................................14分所以,当时,......................................................................................................15分[方法三]:投影法如图,联结,在平面的投影为,记面与面所成的二面角的平面角为,则.设,在中,.在中,,过D作的平行线交于点Q.在中,...............................................................................9分在中,由余弦定理得,,,...........................................................................13分,,当,即,面与面所成的二面角的正弦值最小,最小值为........................15分17.解:(1)因为在,之间插入项,使这个数成公差为的等差数列,所以,..........................................................................................4分所以.......................................................................................................7分(2)易知,所以,..................................................................................8分....................................................................................................................10分两式相减得........................................................................................13分,...............................................................................................................14分所以...................................................................................................................................................15分18.解:(1),..................................................................................2分令得,,由得........................................................4分所以,的单调减区间为.......................................................................................................5分(2),∵有两个极值点,且,∴是方程的两正根,则,,..............................................................7分不等式恒成立,即恒成立,∴...............................................................................................8分,............................................................................................10分由,,得,∴,.................................................................................12分令,,...............................................................................14分令,,h(x)在上递增,............................................15分则有即,.................................................................................................16分∴在上是减函数,∴,故.............................................................................................17分19.解:(1)由题意离心率为,所以①...........................................................................2分由,知由△ABD的面积为,得,得.②.............................................................................4分由①②解得.所以C的标准方程为.........................................................................................5分(2)由题意知,,,联立方程消去y得,...................................................................6分设,,则,所以,.........................................................7分代入直线的方程,所以,同理得........................8分①当直线PQ的斜率存在时,设直线,将点R,S的坐标代入,得.
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