1617三角函数的应用（B卷能力拓展）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

1.6—1.7三角函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．（2021·重庆八中九年级二模）如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米【答案】B【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到点测得佛顶仰角为，接着向大佛走了10米来到处，再经过一段坡度，坡长为5米的斜坡到达处，此时与大佛的水平距离米（其中点、、、、在同一平面内，点、、在同一条直线上），请问大佛的高度为（）（参考数据：，，．A．15米 B．16米 C．17米 D．18米【答案】B【分析】过点作于点，过点作于点，设，，则由勾股定理可以求出x=1，再证明四边形和四边形是矩形，得到米，从求出米，最后解直角三角形即可．【详解】解：过点作于点，过点作于点，斜坡的坡度，米，设，，∵，解得，米，米，∵DH⊥EF，AB⊥EF，DM⊥AB，GA⊥AB，∴四边形和四边形是矩形，米，米，米，在中，，，米，米．故选B．【点睛】本题主要考查了坡比，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2021·重庆一中九年级期中）如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（）A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米【答案】C【分析】过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，先由斜坡DE的坡度和勾股定理求出CH＝BG＝PE＝8，再证出△CFH是等腰直角三角形，得FH＝CH＝8，则FG＝FH＋GH＝12，然后由三角函数的定义求出AG的长，即可得出答案．【详解】过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，如图所示：则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，∵斜坡DE的坡度为1：0.75，∴＝＝，设PD＝3x，则PE＝4x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，∴5x＝10，∴x＝2，∴CH＝BG＝PE＝8，∵∠CFH＝45°，∴△CFH是等腰直角三角形，∴FH＝CH＝8，∴FG＝FH+GH＝12，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），即“览星塔”AB的高度约为31.5米，故选：C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角、坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握仰角俯角和坡度的概念以及三角函数的定义．4．（2021·重庆市南华中学校九年级月考）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED=60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.4【答案】B【分析】过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG=EF，EG=BF，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=DE=4，DF=4，得到CF=CD+DF=4+4，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】解：过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG=EF，EG=BF，∵∠CDE=150°，∴∠EDF=30°，∵DE=8，∴EF=DE=4，DF=4，∴CF=CD+DF=4+4，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴GE=BF=AB+4+4，AG=AB4，∵∠AED=60°，∠GED=∠EDF=30°，∴∠AEG=30°，∴，解得：AB=14+6≈24.4，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．二、填空题5．（2021·佛山市华英学校九年级一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC=9m，CD=6m，斜坡CD的坡度i=1:，在D处哵得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为______．（结果保留根号）【答案】6+3【分析】延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC、CG的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，∵∠ADE=30°，∴∠AFB=30°，∵CD=6m，斜坡CD的坡度i=1：，∴tan∠DCG=，∴∠DCG=30°，∴DG=3m，CG=3m，∴∠DFC=∠DCF=30°，∴DF=DC，∵DG⊥BF，∴FG=CG=3（m），∴FC=6m，∴FB=FC+BC=（6+9）m，∴AB=BF×tan∠AFB=（6+9）×=（6+3）m．故答案为：6+3．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．（2020·浙江温州市九年级期末）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图，为固定底座，且于点O，为固定支撑杆，为可绕着点B旋转的调节杆，灯体始终保持垂直为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使，已知此时，，点M恰好为的中点，此时______，如图3，旋转调节杆使，则此时______．【答案】【分析】如图1：延长OA交BC于点G，延长CD交ON于点H，可得四边形OHCG是矩形，从而得AG=4，BG=3，结合，点M恰好为的中点，即可求解；如图2，延长过点B作BH⊥OE于点H，过点M作PF∥BC交BA的延长线于点P，交DN于点F，交CD的延长线于I，过点N作NJ⊥CD的延长线于点J，则∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，cos∠DMF=，设MI=x，则MP=7x，DM=，DI=3x，根据BP=CI，列出方程，求出x的值，从而求得MQ=，设NJ=y，根据，列出方程，求出y的值，从而得NQ=，进而即可求解．【详解】解：如图1：延长OA交BC于点G，延长CD交ON于点H，∵，，BC⊥CD，∴OG⊥BC，CH⊥OE，∴四边形OHCG是矩形，∵在中，，又∵，∴AG=4，BG=3，∴OG=AO+AG=1+4=5，OH=CG=BCBG=73=4，∴CH=OG=5，∴DH=51=4，∵，点M恰好为的中点，∴MH=，∴MH=，∴MD=，∴；如图2，延长过点B作BH⊥OE于点H，过点M作PF∥BC交BA的延长线于点P，交DN于点F，交CD的延长线于I，过点N作NJ⊥CD的延长线于点J，则∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，∴，即：，解得：AG=，∴OG=，由题意得：cos∠DMF=，DJ是∠MDN的平分线，设MI=x，则MP=7x，DM=，DI=3x，∴PG=，∵BP=CI，∴5++=1+3x，解得：x=，∴MI=IF=，DI=×3=，IQ=，MQ==，设NJ=y，则QJ=，NQ=，∵IF∥NJ，∴，即：，解得：，经检验：是原方程的根，且符合题意，∴NQ=，∴MN=+=．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，根据三角函数的定义，列方程，是解题的关键．7．（2021·浙江九年级期末）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知，，，，，自行车坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子半径等于5dm，则A点到所在直线的距离为___dm，坐垫到地面的距离为___dm．（已知，结果保留根号）

【答案】【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可【详解】解：（1）过点A作AH垂直RB的延长线于H点，故AH即为所求A到BR所在直线距离∵，∴在中，即故过点D作DM⊥BR于点M，过点C作CN⊥DM于点N，过点K作KP⊥BR于P，延长CR交地面于点Q，故有MRNC为矩形所以，所求FG到地面距离为（KP+RQ），即KP+CQCR在和中∴∽∴∴又AB//CD∴∠∴∠又DM//CR∴∠在中，∴在中，∴∴∴∴即到底面的距离为（）dm．故答案为：；【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．8．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，，已知木箱高，斜面坡角为，则木箱端点距地面的高度为_________．

【答案】3【分析】连接AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的长，利用三角函数即可求得，然后在Rt△AEF中，利用三角函数求得的长．【详解】解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，∴根据勾股定理得．

又∵，∴．在Rt△AEF中，，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了坡度、坡脚的知识点，勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度.三、解答题9．（2021·重庆一中九年级月考）如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底、同建筑底端在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端沿斜坡走了26米到达坡顶处，在坡顶处看建筑物的顶端D的仰角为35°，然后小李沿斜坡走了米到达底部点，已知建筑物上有一点，在处看建筑物点的仰角为18°，（点、、、、、在同一平面内）建筑物顶端到的距离长度为28.8米，（参考数据：，，，）（1）求小李从斜坡走到处高度上升了多少米．（2）求建筑物的高度．【答案】（1）10米；（2）40.8米【分析】（1）过作，根据比例设，，结合勾股定理求出，即可得到答案；（2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【详解】解：（1）过作，∵的坡比，设，∴在中，∴，∴；答：小李从斜坡走到处高度上升了10米．（2）延长角的水平边交于则，在中，设，在中，，∴∵四边形是矩形，∴又∵，在中，，，；∴；答：建筑物的高度为40.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．（2021·四川省宜宾市九年级一模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了26米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得古树顶端点的仰角为（点、、、在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）．（1）求斜坡的高；（2）求古树的高？（已知，，）

【答案】（1）10米；（2）24.3米．【分析】（1）过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；（2）由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋（2.4x）2＝262，解得x＝10，∴DG＝10米，即：斜坡的高为10米；（2）∵DG＝10米，∴CG＝24米，∴EG＝10＋0.8＝10.8米，BG＝26＋24＝50米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝15°，∴AM＝EM•tan15°≈50×0.27＝13.5米，∴AB＝AM＋BM＝13.5＋10.8≈24.3（米）．答：建筑物AB的高度约为24.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．（2021·建昌县九年级二模）如图1是一种平板支架，由托板、支撑板和底座构成，放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB＝120mm，支撑板CD＝80mm，底座DE＝90mm．托板AB与支撑板顶端C连接，CB＝40mm，AB可绕点C转动，CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839；sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，）【答案】（1）；（2）33.4°【分析】（1）作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N，利用三角函数的比值关系分别求出和的长即可；（2）作出旋转后图形，利用利用三角函数的比值关系列式运算即可．【详解】解：（1）如图2，作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N得矩形CFMN，Rt△ACF，Rt△CDN，∠AFC＝∠CNM＝∠FCN＝90°由题意，可知AB＝120，CB＝40，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，∴AC＝80，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝50°，∴∠ACF＝180°﹣90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°≈80×0.643≈51.44，∴AM＝AF＋FM≈51.44＋≈120.7，答：点A到直线DE的距离约为120.7mm（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D，∴∠D≈26.6°，因此旋转的角度为：60°－26.6°≈33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．【点睛】本题主要考查了解三角函数的实际应用，根据题意作出图形，掌握三角函数的比值关系是解题的关键．12．（2021·兰州市九年级二模）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．（1）如图2，若，．①点O到的距离为_