12直角三角形（练习）

第一章三角形的证明第二节直角三角形精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）满足下列条件的不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可．，不是直角三角形，故A符合题意；B.，，是直角三角形，故B不符合题意；C.，，，，是直角三角形，故C不符合题意；D.，，，，，是直角三角形，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．2．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（

）A．全等三角形对应角相等 B．对顶角相等C．同位角相等 D．有两边对应相等的直角三角形全等【答案】C【分析】根据全等三角形的性质与判定即可判断A、D；根据对顶角的性质即可判断B；根据平行线的性质即可判断C．【详解】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知平行线的性质，全等三角形的性质与判定，对顶角的性质是解题的关键．3．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定可进行排除选项．【详解】解：①一锐角和斜边对应相等，可根据“AAS”或“ASA”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；②斜边和一直角边对应相等，可根据“HL”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；③有两条边相等，分当这两边分别是斜边和一条直角边时，可根据“HL”判定全等，当这两条边为直角边时，可根据“SAS”判定全等，故符合题意；④两个锐角对应相等，没有边的相等，故不能判定全等；故选C．【点睛】本题主要考查直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．4．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）将两个三角板按如图所示的位置摆放，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余角的性质：等角的余角相等即可求解．【详解】解：∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．5．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，在中，，，平分交于，于，下列结论不正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据含30度直角三角形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可证明从而判断A、B；再根据即可判断C、D．【详解】解：∵在中，，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，故B不符合题意∴，故A不符合题意；∵，∴，∴，故C符合题意，D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，，∴，解得：，∴，即为直角三角形，故A选项不符合题意；设，∴，即不为直角三角形，故B选项符合题意；∵，∴，即为直角三角形，故C选项不符合题意；∵，∴，∵，∴，即为直角三角形，故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．二、填空题7．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）直角三角形中两个锐角的差为60°，则较小的锐角度数是______．【答案】15°##15度【分析】根据直角三角形中两个锐角互余，且差为60°，即可得到结果．【详解】解：设其中较小的一个锐角是，则另一个锐角是，直角三角形中两个锐角互余，，解得：，较小的一个锐角是，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，根据题意列出方程是解题的关键．8．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，，平分，若，，则_____．【答案】##30度【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解．【详解】解：∵平分，，，∴，∴，∴，∵，∴为直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分线和高的定义是解题的关键．9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点为上一点，连接，，，，则________．【答案】【分析】根据勾股定理的逆定理可得，然后设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴，即，设，则，在中，，∴，解得：，即．故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意得到是解题的关键．10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在中，，，以为边在的左侧作等边，连接，则______°．【答案】30【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质解答即可．【详解】解：∵，，以为边在的左侧作等边，∴，，∴，∵，∴，∵，故答案为：30．【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题11．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）已知：如图，，，、相交于点O．求证：是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，再根据等角对等边，即可证得结论．【详解】证明：在和中，，，，，是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，证得是解决本题的关键．12．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，，是上的一点，且，．(1)与全等吗？并说明理由．(2)若，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)．【分析】（1）根据证明和全等解答即可；（2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：，证明：∵，∴，∵，在和中，，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键．提升篇提升篇一、填空题1．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____．【答案】65°或115°【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时，②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出其顶角的大小．【详解】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题意可知，，；②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，由题意可知，，．故答案为：或【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，如果，且，那么的度数是________．【答案】##36度【分析】根据证明，可得，，根据求出，进而可求出的度数．【详解】解：，∴．在和中，∴，∴，．∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明是解答本题的关键．3．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则___________．【答案】【分析】根据已知条件可以判断，根据三角形外角定理可得到：，同理，，在等腰三角形中，已知顶角，即可求出底角的度数．【详解】∵，∴，∴，,在中，，同理可得到：，，在等腰三角形中，；故答案是．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．4．（2022秋·广东阳江·八年级统考期中）如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为_____．【答案】【分析】根据勾股定理的逆定理得到，得到点B，点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】连接,∵，∴，∴，∵D为的中点，，∴垂直平分，，∴点B，点C关于直线对称，∴∴当点C、P、E三点共线时，最小当时，最小，即的值最小，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．5．（2022秋·四川资阳·七年级统考期末）如图，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠压平，如图，若图中，则的度数为___________．【答案】【分析】求的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出大小即可．【详解】解：折叠后的图形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案为：．【点睛】本题综合考查了两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．二、解答题6．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图，已知、是的边、上的高，P是上的一点，且，Q是的延长线上的一点，且，求证：且．【答案】见解析【分析】先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余、等量代换即可得．【详解】证明：、是的边、上的高，，，，．在和中，，．，．又，，，即，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，正确找出两个全等三角形是解题关键．7．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证，又得，从而即可证明；（2）作交延长线于点F，先证得，再证得，从而即可得证．【详解】（1）证明：∵，垂足为H，∴，∴，又∴，∴．（2）证明：作交延长线于点F，∴，又∴在和中，

∴，∴，又为的中线，∴，∴，∵，∴∴∴∴在和中，∴，∴，又，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、中线定义以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．8．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在