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文档简介
20232024学年第二学期高二年级期中学业质量监测试题数学本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑,不按要求填涂的,答寒无效.2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再进涂其他答案,答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4,考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,只需将答题卡交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列求导运算正确的是()A. B.C. D.2.设为等差数列前项和,已知,则的值为()A.5 B.7 C.9 D.103.在数列中,若,,则()A. B. C.1 D.44.函数的导函数的图象如图所示,则下面说法正确的是()A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递增C.为函数的极小值点 D.为函数的极大值点5.已知数列为等比数列,且,,设等差数列前n项和为,若,则()A.-36或36 B.-36 C.36 D.186.若点P是曲线上任意一点,则点P到直线的最小距离为().A. B. C.2 D.7.已知函数,则的大小关系为()A. B.C. D.8.函数的导数仍是x的函数,通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数,记作,类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地,阶导数的导数叫做n阶导数,函数的n阶导数记为,例如的n阶导数.若,则()A. B.50 C.49 D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数,则下列结论中正确的是()A.可能是奇函数 B.在区间上单调递减C.当的极大值为17时, D.当时,函数的值域是10.已知数列满足,其中,为数列的前n项和,则下列四个结论中,正确的是()A. B.数列的通项公式为:C.数列的前n项和为: D.数列为递减数列11.已知函数的导函数为,则()A.若奇函数,则为偶函数 B.若,则为奇函数C.若的最小值为0,则 D.若为偶函数,则为奇函数12.(多选)已知n∈N*,下列说法正确的是()A.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+1,则该数列的通项公式为an=2n+1B.设Tn是数列{an}的前n项的乘积,且Tn=n2,则该数列的通项公式an=C.数列2,5,11,20,x,47,…中的x可以等于32D.若Sn是等比数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列三、填空题13.在等差数列中,,公差为d,且成等比数列,则d=_______.14.函数导函数为,满足关系式,则的值为_______.15.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为,若,则数列的前30项和为________.16.定义在上的偶函数的导函数满足,且,若,则不等式的解集为___________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数在时取得极大值4.(1)求实数a,b的值;(2)求函数在区间上的最值.18.记为等差数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)数列满足,,求数列的前21项和.19.记为数列前n项和.已知.(1)证明:是等差数列;(2)若成等比数列,求的最小值.20.某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地(其平面图形为图所示).市政府为积极落实“全民健身”国家战略,准备在此地块上规划一个体育馆.建立图所示的平面直角坐标系,函数的图象由曲线段和直线段构成,已知曲线段可看成函数的一部分,直线段(百米),体育馆平面图形为直角梯形(如图所示),,.(参考数据:)(1)求函数的解析式;(2)在线段上是否存在点,使体育馆平面图形面积最大?若存在,求出该点到原点的距离;若不存在,请说明理由.21.记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列.(1)求的通项公式;(2)证明:.22.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)证明:当时,.20232024学年第二学期高二年级期中学业质量监测试题数学本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑,不按要求填涂的,答寒无效.2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再进涂其他答案,答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4,考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,只需将答题卡交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列求导运算正确的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断.【详解】对A,,正确;对B,,错误;对C,,错误;对D,,错误.故选:A.2.设为等差数列的前项和,已知,则的值为()A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式,求出和,然后利用通项公式即可求出.【详解】设在等差数列的公差为,,解得,故,故选B.3.在数列中,若,,则()A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,探求出数列的周期,再利用周期性计算即得.【详解】在数列中,由,,得,,,因此数列周期性数列,周期为3,所以.故选:A4.函数的导函数的图象如图所示,则下面说法正确的是()A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递增C.为函数的极小值点 D.为函数的极大值点【答案】D【解析】【分析】根据导数图象确定原函数的单调性,逐项分析即可求得结论.【详解】由图象知,不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为,当或时,,当或时,,故函数在单调递减,在单调递增,故为极小值点,2为极大值点,对照选项,故A,B,C错误,D正确.故选:D.5.已知数列为等比数列,且,,设等差数列的前n项和为,若,则()A.-36或36 B.-36 C.36 D.18【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求得,继而求得的值,利用等差数列前项和公式进行计算即可.【详解】数列为等比数列,设公比为q,且,,则,则,则,则,故选:C.6.若点P是曲线上任意一点,则点P到直线的最小距离为().A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】求导,求出切点坐标,利用点线距求解.【详解】∵,设为所求的点,则得,,则点P到直线的最小距离为.故选:A.7.已知函数,则的大小关系为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象,观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象,如图所示.由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由,得,即.故选:C.8.函数的导数仍是x的函数,通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数,记作,类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地,阶导数的导数叫做n阶导数,函数的n阶导数记为,例如的n阶导数.若,则()A. B.50 C.49 D.【答案】A【解析】【分析】根据条件,列举的前几项,根据规律,写出,代入,即可求解.【详解】由,,,,依此类推,,所以.故选:A二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数,则下列结论中正确的是()A.可能是奇函数 B.在区间上单调递减C.当的极大值为17时, D.当时,函数的值域是【答案】ABC【解析】【分析】由奇函数的定义可判断A,利用导数求出函数的单调性可判断BCD.【详解】因对,,显然当时,为奇函数,即A正确;因为,则函数的单调递增区间为和,函数的单调递减区间为,故B正确;由得,结合选项B可知,是函数的极大值点,此时函数的极大值为,所以,故C正确;由B可知,函数在和上单调递增,函数在上单调递减,所以无最大值,无最小值,故D错误.故选:ABC.10.已知数列满足,其中,为数列的前n项和,则下列四个结论中,正确的是()A. B.数列的通项公式为:C.数列的前n项和为: D.数列为递减数列【答案】ACD【解析】【分析】令可求;利用已知求的方法求数列通项公式;利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.【详解】因为,所以当时,,两式相减得,所以,又因为当时,满足上式,所以数列的通项公式为:,故A正确,B错误,,所以,故C正确;因为,随着的增大,在减小,所以数列为递减数列,故D正确.故选:ACD.11.已知函数的导函数为,则()A.若为奇函数,则为偶函数 B.若,则为奇函数C.若的最小值为0,则 D.若为偶函数,则为奇函数【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.【详解】解:由题意得:对于选项A:若为奇函数,,则,故,又,是偶函数,故A正确;对于选项B:若,又,则,故,,当时,,是奇函数,当时,,不是奇函数,所以不一定是奇函数,故B错误;对于选项C:若的最小值为0,,,则,故C正确;对于选项D:若为偶函数,,,,解得,故,,所以为奇函数,故D正确.故选:ACD12.(多选)已知n∈N*,下列说法正确的是()A.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+1,则该数列的通项公式为an=2n+1B.设Tn是数列{an}的前n项的乘积,且Tn=n2,则该数列的通项公式an=C.数列2,5,11,20,x,47,…中的x可以等于32D.若Sn是等比数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列【答案】BC【解析】【详解】解析:A选项的结果为an=所以A选项不正确;B选项用退位作商法an=C选项满足n≥2时,an-an-1=3(n-1),然后用累加法得结果;D选项,首项为1,公比为-1的等比数列就不满足,所以D选项不正确.故选BC.三、填空题13.在等差数列中,,公差为d,且成等比数列,则d=_______.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列通项公式基本量计算和等比中项的性质得到方程,求出公差,检验后得到答案.【详解】等差数列中,,公差为d,且成等比数列,可得,即为,化为,解得或,若,即有4,6,9成等比数列,满足要求;若,即有1,0,0不成等比数列.则成立.故答案为:214.函数的导函数为,满足关系式,则的值为_______.【答案】【解析】【分析】对函数进行求导,代入计算即可.【详解】由进行求导得:,可得:,解得.故答案为:15.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为,若,则数列的前30项和为________.【答案】240【解析】【分析】根据数列的通项公式,采用并项求和的方法,即可求得答案.【详解】由题意知,,故数列的前30项和为,故答案为:24016.定义在上的偶函数的导函数满足,且,若,则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】由条件证明为周期函数,结合条件及函数的奇偶性可求得,因为不等式可化为,故考虑构造函数,利用导数判断其单调性,利用单调性解不等式即可.【详解】因为,所以所以,所以函数为周期函数,周期为4,因为,所以,因为是定义在上的偶函数,所以.不等式,可化为,令,则,又,所以,即在上单调递减,因为,,不等式的解集为;故答案为:.【点睛】方法点睛:利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式,要设法将隐性化归为显性的不等式来求解,具体步骤是:(1)把不等式转化为;(2)判断函数的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意函数的奇偶性在化简过程中的差异.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数在时取得极大值4.(1)求实数a,b的值;(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1);(2)最大值为4,,最小值为0.【解析】【分析】(1)先求导,根据,解方程组求出a,b的值;(2)根据函数在区间上的单调性,分别求出极值和端点值,再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】,由题意得,解得.此时,,当时,,所以在单调递增,当时,,所以在单调递减,当时,,所以在单调递增,所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由(1)可知,在单调递增,在单调递减,在单调递增.又因为,,,,所以函数在区间上的最大值为4,,最小值为0.18.记为等差数列的前项和,已知,.(1)求通项公式;(2)数列满足,,求数列的前21项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量,即可写出通项公式;(2)由,应用等差数列前n项和公式求和即可.【小问1详解】设公差为,由题设有,解得,,所以.【小问2详解】由题设,.所以数列的前21项和为211.19.记为数列的前n项和.已知.(1)证明:是等差数列;(2)若成等比数列,求的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)依题意可得,根据,作差即可得到,从而得证;(2)法一:由(1)及等比中项的性质求出,即可得到的通项公式与前项和,再根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】因为,即①,当时,②,①②得,,即,即,所以,且,所以是以为公差的等差数列.【小问2详解】[方法一]:二次函数的性质由(1)可得,,,又,,成等比数列,所以,即,解得,所以,所以,所以,当或时,.[方法二]:最优解】邻项变号法由(1)可得,,,又,,成等比数列,所以,即,解得,所以,即有.则当或时,.【整体点评】(2)法一:根据二次函数的性质求出的最小值,适用于可以求出的表达式;法二:根据邻项变号法求最值,计算量小,是该题的最优解.20.某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地(其平面图形为图所示).市政府为积极落实“全民健身”国家战略,准备在此地块上规划一个体育馆.建立图所示的平面直角坐标系,函数的图象由曲线段和直线段构成,已知曲线段可看成函数的一部分,直线段(百米),体育馆平面图形为直角梯形(如图所示),,.(参考数据:)(1)求函数的解析式;(2)在线段上是否存在点,使体育馆平面图形面积最大?若存在,求出该点到原点的距离;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,(百米).【解析】【分析】(1)根据函数图象即可得出解析式;(2)写出面积表达式,利用导数求函数单调性,即可得出点的位置.【小问1详解】由题意,因为在曲线上,即,,所以,.又因为,,所以线段方程为,所以,.所以函数的解析式为:.【小问2详解】由题意及(1)得,在中,设点坐标为,则.又,,点坐标为,所以直角梯形的面积,即,所以.令,解得.当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.所以时,函数取
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