广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期4月期中联考试题数学

20232024学年第二学期高二年级期中学业质量监测试题数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答寒无效.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.2.设为等差数列前项和，已知，则的值为（）A.5 B.7 C.9 D.103.在数列中，若，，则（）A. B. C.1 D.44.函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递增C.为函数的极小值点 D.为函数的极大值点5.已知数列为等比数列，且，，设等差数列前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.186.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）．A. B. C.2 D.7.已知函数，则的大小关系为（）A. B.C. D.8.函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（）A. B.50 C.49 D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.可能是奇函数 B.在区间上单调递减C.当的极大值为17时， D.当时，函数的值域是10.已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（）A. B.数列的通项公式为：C.数列的前n项和为： D.数列为递减数列11.已知函数的导函数为，则（）A.若奇函数，则为偶函数 B.若，则为奇函数C.若的最小值为0，则 D.若为偶函数，则为奇函数12.（多选）已知n∈N*，下列说法正确的是（）A.若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则该数列的通项公式为an＝2n＋1B.设Tn是数列{an}的前n项的乘积，且Tn＝n2，则该数列的通项公式an＝C.数列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32D.若Sn是等比数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列三､填空题13.在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______．14.函数导函数为，满足关系式，则的值为_______．15.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.16.定义在上的偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.18.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前21项和.19.记为数列前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．20.某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）（1）求函数的解析式；（2）在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．21.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．20232024学年第二学期高二年级期中学业质量监测试题数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答寒无效.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断.【详解】对A，，正确；对B，，错误；对C，，错误；对D，，错误.故选：A.2.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式，求出和，然后利用通项公式即可求出.【详解】设在等差数列的公差为，，解得，故，故选B．3.在数列中，若，，则（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.【详解】在数列中，由，，得，，，因此数列周期性数列，周期为3，所以.故选：A4.函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递增C.为函数的极小值点 D.为函数的极大值点【答案】D【解析】【分析】根据导数图象确定原函数的单调性，逐项分析即可求得结论．【详解】由图象知，不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为，当或时，，当或时，，故函数在单调递减，在单调递增，故为极小值点，2为极大值点，对照选项，故A,B,C错误,D正确.故选：D．5.已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.6.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（）．A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.【详解】∵，设为所求的点，则得，，则点P到直线的最小距离为．故选:A.7.已知函数，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象，如图所示.由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即.故选：C.8.函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（）A. B.50 C.49 D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解.【详解】由，，，，依此类推，，所以.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.可能是奇函数 B.在区间上单调递减C.当的极大值为17时， D.当时，函数的值域是【答案】ABC【解析】【分析】由奇函数的定义可判断A，利用导数求出函数的单调性可判断BCD.【详解】因对，，显然当时，为奇函数，即A正确；因为，则函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，所以，故C正确；由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，故D错误.故选:ABC.10.已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（）A. B.数列的通项公式为：C.数列的前n项和为： D.数列为递减数列【答案】ACD【解析】【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.【详解】因为，所以当时，，两式相减得，所以，又因为当时，满足上式，所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，，所以，故C正确；因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，故D正确.故选:ACD.11.已知函数的导函数为，则（）A.若为奇函数，则为偶函数 B.若，则为奇函数C.若的最小值为0，则 D.若为偶函数，则为奇函数【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：若为奇函数，，则，故，又，是偶函数，故A正确；对于选项B：若，又，则，故，，当时，，是奇函数，当时，，不是奇函数，所以不一定是奇函数，故B错误；对于选项C：若的最小值为0，，，则，故C正确；对于选项D：若为偶函数，，，，解得，故，，所以为奇函数，故D正确.故选：ACD12.（多选）已知n∈N*，下列说法正确的是（）A.若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则该数列的通项公式为an＝2n＋1B.设Tn是数列{an}的前n项的乘积，且Tn＝n2，则该数列的通项公式an＝C.数列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32D.若Sn是等比数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列【答案】BC【解析】【详解】解析：A选项的结果为an＝所以A选项不正确；B选项用退位作商法an＝C选项满足n≥2时，an－an－1＝3（n－1），然后用累加法得结果；D选项，首项为1，公比为－1的等比数列就不满足，所以D选项不正确．故选BC.三､填空题13.在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______．【答案】2【解析】【分析】利用等差数列通项公式基本量计算和等比中项的性质得到方程，求出公差，检验后得到答案.【详解】等差数列中，，公差为d，且成等比数列，可得，即为，化为，解得或，若，即有4，6，9成等比数列，满足要求；若，即有1，0，0不成等比数列．则成立．故答案为：214.函数的导函数为，满足关系式，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，代入计算即可.【详解】由进行求导得：，可得：，解得．故答案为：15.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.【答案】240【解析】【分析】根据数列的通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案.【详解】由题意知，，故数列的前30项和为，故答案为：24016.定义在上的偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】由条件证明为周期函数，结合条件及函数的奇偶性可求得，因为不等式可化为，故考虑构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】因为，所以所以，所以函数为周期函数，周期为4，因为，所以，因为是定义在上的偶函数，所以.不等式，可化为，令，则，又，所以，即在上单调递减，因为，，不等式的解集为；故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，具体步骤是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数的奇偶性在化简过程中的差异.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.【解析】【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】，由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.18.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求通项公式；（2）数列满足，，求数列的前21项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；（2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可.【小问1详解】设公差为，由题设有，解得，，所以.【小问2详解】由题设，.所以数列的前21项和为211.19.记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．20.某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）（1）求函数的解析式；（2）在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，（百米）．【解析】【分析】（1）根据函数图象即可得出解析式；（2）写出面积表达式，利用导数求函数单调性，即可得出点的位置.【小问1详解】由题意，因为在曲线上，即，，所以，．又因为，，所以线段方程为，所以，．所以函数的解析式为：．【小问2详解】由题意及（1）得，在中，设点坐标为，则．又，，点坐标为，所以直角梯形的面积，即，所以．令，解得．当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减．所以时，函数取