举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题8.3 立体图形的直观图（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题8.3立体图形的直观图（重难点题型精讲）1．空间几何体的直观图(1)直观图的概念

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.

在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.

(2)斜二测画法及其步骤

利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.(3)旋转体及其相关概念

斜二测画法画空间几何体的直观图的规则

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则.①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.

②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.

③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积.(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为，则有=.【题型1斜二测画法】【方法点拨】根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.【例1】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中B'A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定【变式1-2】（2022春·山西吕梁·高一期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【题型2画平面图形的直观图】【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.【例2】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【变式2-1】（2023·高一课时练习）用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为3cm(2)边长为4cm(3)边长为2cm【题型3画空间几何体的直观图】【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出.(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.【例3】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体ABCD−A【变式3-1】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．【题型4平面图形的面积与其直观图的面积的关系】【方法点拨】根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·四川内江·高二期中）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA．242 B．122 C．12 【变式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如图，Rt△O'A'A．1 B．2 C．22 D．【变式4-2】（2022秋·安徽六安·高三阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．2 B．42 C．8 D．【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形O'A'B'C'A．面积为62的矩形 B．面积为3C．面积为62的菱形 D．面积为3专题8.3立体图形的直观图（重难点题型精讲）1．空间几何体的直观图(1)直观图的概念

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.

在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.

(2)斜二测画法及其步骤

利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.(3)旋转体及其相关概念

斜二测画法画空间几何体的直观图的规则

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则.①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.

②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.

③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积.(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为，则有=.【题型1斜二测画法】【方法点拨】根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.【例1】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（

）A． B． C． D．【解题思路】根据斜二测画法规律，平行于y轴的线段长度是原长的一半即可判断.【解答过程】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22故选：A．【变式1-1】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中B'A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定【解题思路】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.【解答过程】将直观图还原，则BO=CO=1，AO=23，所以△ABC故选：A.【变式1-2】（2022春·山西吕梁·高一期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【解题思路】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.【解答过程】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：根据直观图与原图的关系可得：OA=O1A1=6则点A6,0，C∴AC故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解题思路】根据题意，将△A'B'C'还原成原图，分析OC【解答过程】将其还原成原图，设A'C'AC=A'C'=2即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形.故选：C.【题型2画平面图形的直观图】【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.【例2】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【解题思路】在等腰梯形ABCD中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图.【解答过程】在等腰梯形ABCD中，过D作DO⊥AB于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，其中OD=1cm在平面内取点O'，过O'作直线O'在直线O'y'上取点D'，使O'D'在直线O'x'上取点C连接C'D',A【变式2-1】（2023·高一课时练习）用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．【解题思路】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高度，求出面积.【解答过程】画法:(1)如图(1),在等边三角形ABC中,取BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,两轴相交于点O.在图(2)中,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O'(2)在图(2)中,以O'为中点,在x'轴上取B'C'(3)连接A'B',A'C',并擦去辅助线由题意在平面直角坐标系中，三角形ABC是边长为2的正三角形∴AB=BC=2，BC边上的高为ℎ=3在三角形A'O'∴B'B'C'故S△故直观图△A'B'C【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)【解题思路】根据斜二测画法作图即可.【解答过程】①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；②如图(2)，作坐标系x'O'y'，x'轴和y'轴夹角为45°，在x'轴上取点，使得：A'③如图(2)，在y'轴上取点，使得：A'I'=④如图(2)，过H'作y'轴平行线，过I'作x'轴平行线，两平行线交于C'；过F'作y'⑤如图(2)，依次连接B'、C'、D'【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为3cm(2)边长为4cm(3)边长为2cm【解题思路】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.【解答过程】(1)解：如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边的高线AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，画对应的x'轴、y'轴，使在x'轴上截取O'B'=连接A'B'、A'C'、B'(2)解：如图④所示，以AB、AD边所在的直线分别为x轴、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，画对应的x'轴、y'轴，使在x'轴上截取A'B'=AB=4作D'C'//x则平行四边形A'B'C'(3)解：如图⑦所示，画正八边形OABCDEFG，以点O为坐标原点，OA、OE所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，设点B、G在x轴上的射影点分别为M、N，画对应的x'轴、y'轴，使在x'轴上截取O'A'=OA=2在y'轴上截取O'E'=作M'B'//y'轴，且作B'C'//y'轴，且连接O'A'、A'B'、B'C'、C则八边形O'A'B'【题型3画空间几何体的直观图】【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出.(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.【例3】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体ABCD−A【解题思路】由斜二测画法的规则画出直观图即可.【解答过程】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．①画出水平放置的长、宽分别是8cm、6cm的矩形ABCD的直观图．②作Az垂直于AB，在Az轴上截取AA分别过点B、C、D作BB'//AA'，③连接A'B'、B'C【变式3-1】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【解题思路】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可.【解答过程】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得∠xOy=45（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,使GH=332cm,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段OO',使OO'=5cm，过在这些平行线上分别截取5cm长的线段AA（4）成图.顺次连接A',【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C【解题思路】根据斜二测画法的原则，可画出直观图.【解答过程】如图所示．【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．【解题思路】利用斜二测画法求解.【解答过程】如图所示：【题型4平面图形的面积与其直观图的面积的关系】【方法点拨】根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·四川内江·高二期中）如图所示，矩形O'A'B'C'是