举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题6.7平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.(2)定理的实质由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.2．平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.

显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)点的坐标与向量的坐标的关系

3．平面向量线性运算的坐标表示(1)两个向量和（差）的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

4．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，=1，==0，所以=+.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)平面向量长度（模）的坐标表示若=(x,y)，则或.

其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=.

5．平面向量位置关系的坐标表示(1)共线的坐标表示①两向量共线的坐标表示设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量，(≠0)共线的充要条件是-=0.②三点共线的坐标表示若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，

​​​​​​​从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.

(2)夹角的坐标表示设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.(3)垂直的坐标表示设=(,)，=(,)，则+=0.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.【题型1用基底表示向量】【方法点拨】用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD中点，AE与BD交于点F，若AC=a，A．112a+14b B．3【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=A．67a+C．34a+【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC.设AB=a，AC=b，则AD可用基底A．12(aC．13a+【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若AB=a，AD=b，则A．14a+34b B．2【题型2平面向量基本定理的应用】【方法点拨】结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是△ABC的重心，点D满足BD=DC，若GD=xAB+yA．13 B．12 C．2【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在△ABC中，D为边BC的中点，E在边AC上，且EC=2AE，AD与BE交于点F，若CF=λAB+μAC，则A．−12 B．−34 C．【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yADx,y∈RA．1 B．−1 C．12 D．【变式2-3】（2022秋•安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若AE→=λAB→+μA．12 B．13 C．14 【题型3平面向量的坐标运算】【方法点拨】(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）若a=(3,2),b=(0,−1)，则4A．(5,12) B．(12,6) C．(12,5) D．(−12,−5)【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AD=2,4，AC=1,3，则A．−2,4

B．−3,−5

C．3,5

D．−3,−7【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量a=(−1,2),b=(3,−5)，则3A．(3,−4) B．(0,−4) C．(3,6) D．(0,6)【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量a=2,−1，b=1,6，c=7,3，则c可用A．3a+b B．a+3b 【题型4向量共线、垂直的坐标表示】【方法点拨】向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知a=(1,−2),(1)若(3a−b(2)若(a−tb【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知a（1）当k为何值时，ka−b（2）若AB=2a+3b,【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知a=1,2，(1)当k为何值时，ka+b(2)当k为何值时，ka+b【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量a=3,2(1)当2a-b(2)当c=-8,-1，a∥b+c【题型5向量坐标运算与平面几何的交汇】【方法点拨】利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120∘，(1)求AB坐标；(2)若四边形ABCD为平行四边形，求点D坐标．【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，EC=2DE，FC=2(1)用AB，AD表示AG；(2)若AB=6，AD=32，∠BAD=45°，如图建立直角坐标系，求GB【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径AB=2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若PA=34CA−(3)试求点P的坐标，使PA⋅【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,3)，点M满足OM=12(1)求与OC共线的单位向量a的坐标；(2)求∠OCM的余弦值；(3)是否存在实数λ，使(OA−λOP【题型6向量坐标运算与三角函数的交汇】【方法点拨】先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）已知O为坐标原点，OA=(1,(1)若α=π3，求(2)若α∈0,π2【变式6-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）已知向量a=(1)若a⊥b，求(2)求a⋅b的最大值及a⋅【变式6-2】（2022秋·甘肃张掖·高三阶段练习）已知a=(sinx+(1)若c=−3，4，且x=π4，θ∈(0,π)时，(2)若θ=π3，函数fx【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）已知向量a=(1)若a+b∥(2)记fx=a⋅b，求函数fx的图象向右平移专题6.7平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.(2)定理的实质由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.2．平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.

显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)点的坐标与向量的坐标的关系

3．平面向量线性运算的坐标表示(1)两个向量和（差）的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

4．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，=1，==0，所以=+.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)平面向量长度（模）的坐标表示若=(x,y)，则或.

其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=.

5．平面向量位置关系的坐标表示(1)共线的坐标表示①两向量共线的坐标表示设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量，(≠0)共线的充要条件是-=0.②三点共线的坐标表示若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，

​​​​​​​从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.

(2)夹角的坐标表示设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.(3)垂直的坐标表示设=(,)，=(,)，则+=0.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.【题型1用基底表示向量】【方法点拨】用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD中点，AE与BD交于点F，若AC=a，A．112a+14b B．3【解题思路】根据给定条件，结合平行四边形性质，用a,b表示出【解答过程】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如图，则OC=12AC=有DE=12DC=则有FD=所以FE=故选：C.【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=A．67a+C．34a+【解题思路】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.【解答过程】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC=AB+AD，因为BE=12所以BE=1所以AE=AF=因为AE=a，所以AB+13所以AC=故选：B.【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC.设AB=a，AC=b，则AD可用基底A．12(aC．13a+【解题思路】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.【解答过程】因为BD=2DC，所以所以AD=1故选：C.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若AB=a，AD=b，则A．14a+34b B．2【解题思路】设AF=λAE0<λ<1，根据B,F,D三点共线，即BF,BD共线，可设【解答过程】AE=设AF=λAE则BF=又BD=AD−AB，且即∃μ∈R，使得BF=μBD又AB,AD不共线，则有λ=μλ所以，AF=故选：D.【题型2平面向量基本定理的应用】【方法点拨】结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是△ABC的重心，点D满足BD=DC，若GD=xAB+yA．13 B．12 C．2【解题思路】由BD=DC，可得D为BC中点，AD=12AB+12【解答过程】解：因为BD=所以D为BC中点，又因为G是△ABC的重心，所以GD=又因为D为BC中点，所以AD=所以GD=所以x=y=1所以x+y=1故选：A.【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在△ABC中，D为边BC的中点，E在边AC上，且EC=2AE，AD与BE交于点F，若CF=λAB+μAC，则A．−12 B．−34 C．【解题思路】根据三点共线的结论：A,B,C三点共线，则OA=λ【解答过程】以AB,∵B,E,F三点共线，则AF=x又∵A,F,D三点共线，且D为边BC的中点，则AF=y∴x=12y即AF=∵CF=∴λ=14,μ=−故选：A.【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yADx,y∈RA．1 B．−1 C．12 D．【解题思路】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.【解答过程】由题意知ED=因为ED=xAB+yADx,y∈R，所以x=−故选：B.【变式2-3】（2022秋•安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若AE→=λAB→+μA．12 B．13 C．14 【解题思路】在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，又E为AO的中点，则AE→【解答过程】解：在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，又E为AO的中点，则AE→所以λ=μ=14，则故选：A．【题型3平面向量的坐标运算】【方法点拨】(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）若a=(3,2),b=(0,−1)，则4A．(5,12) B．(12,6) C．(12,5) D．(−12,−5)【解题思路】根据题意和平面向量运算的坐标表示直接得出结果.【解答过程】因为a=(3,2),所以4a故选：C.【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AD=2,4，AC=1,3，则A．−2,4

B．−3,−5

C．3,5

D．−3,−7【解题思路】在平行四边形ABCD中，由AD=2,4，AC=(1,3)，利用减法得到AB【解答过程】在平行四边形ABCD中，AD=2,4，所以AB=所以BD=故选：C.【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量a=(−1,2),b=(3,−5)，则3A．(3,−4) B．(0,−4) C．(3,6) D．(0,6)【解题思路】由向量坐标运算直接求解即可.【解答过程】3a故选：A.【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量a=2,−1，b=1,6，c=7,3，则c可用A．3a+b B．a+3b 【解题思路】设c=x【解答过程】设c=xa+yb，则7,3=即2x+y=7−x+6y=3，解得x=3y=1，∴故选：A.【题型4向量共线、垂直的坐标表示】【方法点拨】向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知a=(1,−2),(1)若(3a−b(2)若(a−tb【解题思路】（1）由共线向量的坐标公式，可得答案；（2）由垂直向量的数量积为零，根据坐标公式，可得答案.【解答过程】（1）因为a=1,−2,b=3,4所以−103k+1=0，解得（2）a−tb=所以a−tb⋅b=3×【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知a（1）当k为何值时，ka−b（2）若AB=2a+3b,【解题思路】（1）ka−b与a+2b垂直，即ka−（2）因为A,B,C三点共线，所以AB∥BC，利用平面向量共线的坐标公式计算可得【解答过程】解：（1）kaa+2因为ka−b即5k−10−2=0，得k=12（2）ABBC=因为A,B,C三点共线，所以AB∥所以8m−32m+1=0，即2m−3=0，所以【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知a=1,2，(1)当k为何值时，ka+b(2)当k为何值时，ka+b【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标表示可得ka+b⋅a−3b【解答过程】（1）a⋅b=1×若ka+b即2k−38=0，得k=19，即k=19时，ka+b与（2）因为a，b不平行，由平行向量的定义可知，需满足−3k=1时，即k=−13时，ka+【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量a=3,2(1)当2a-b(2)当c=-8,-1，a∥b+c【解题思路】（1）根据向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解，（2）根据向量平行的坐标关系可求x=5【解答过程】（1）因为向量a=3  ,  2，b=由2a-b⊥b得2整理得x2-6x+5=0，解得所以x=1或x（2）因为c=(-8,-1),b=(x,-1)由a//(b+c)所以|a|=9+4所以cosα又α∈0,π，所以【题型5向量坐标运算与平面几何的交汇】【方法点拨】利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120∘，(1)求AB坐标；(2)若四边形ABCD为平行四边形，求点D坐标．【解题思路】（1）过点B作BE垂直x轴于点E，在Rt△ABE中，即可求出AE,BE的值，进而求得点B坐标，再根据|OA|=4，求出点A（2）如下图作出辅助线，根据直角三角形的特点，可求出点C的坐标，再设点D(x,y)，根据题意可知AB=DC，由此即可求出点【解答过程】（1）解：过点B作BE垂直x轴于点E，如下图所示：因为∠OAB=120°，所以∠EAB=60°，又|AB|=2，所以在Rt△ABE又|OA|=4，所以所以AB（2）解：过点C作CF垂直x轴于点F，过点B作BM垂直CF轴于点M，过点A作AN垂直BM轴于点N，如下图所示：在Rt△CMB中，|BC|=4，∠CBM=60°，所以在Rt△ANB中，|AB|=2，所以BN=1,AN=3，即所以CF=33,OF=3，即设点D(x,y)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=又AB所以{3−x=133−y=3，解得{【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，EC=2DE，FC=2(1)用AB，AD表示AG；(2)若AB=6，AD=32，∠BAD=45°，如图建立直角坐标系，求GB【解题思路】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.【解答过程】(1)AE=AF=13AD+所以AG=(2)过点D作AB的垂线交AB于点D'于是在Rt△ADD'中，由∠BAD=45°根据题意得各点坐标：A0,0，B6,0，C9,3，D3,3，E5,3，F所以G17所以AB=6,0，AG=GB=【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径AB=2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若PA=34CA−(3)试求点P的坐标，使PA⋅【解题思路】（1）利用任意角三角函数的定义易求A、B、C的坐标；（2）利用平面向量的夹角公式求解即可；（3）设OP=tOC0≤t≤1，用t【解答过程】（1）因为半圆的直径AB=2，由题易知：又A−1,0，B又OC=1，∠BOC=2π3，则xC=（2）由（1）知，CA=−1所以PA=设PA与CB夹角为α，则cosα=又因为α∈0,π，所以α=2π3，即PA与（3）设OP=tOC0≤t≤1，由（1）知，OP=t−所以PA⋅又因为0≤t≤1，所以当t=14时，PA⋅此时点P的坐标为−1【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,3)，点M满足OM=12(1)求与OC共线的单位向量a的坐标；(2)求∠OCM的余弦值；(3)是否存在实数λ，使(OA−λOP【解题思路】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案