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文档简介
专题5.5导数在研究函数中的应用(重难点题型精讲)1.函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系
①单调递增:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;
②单调递减:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么在这个范围内函数值变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小,那么在这个范围内函数值变化得慢,函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.2.函数的极值极值的相关概念
(1)极小值点与极小值:
如图,函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值:
如图,函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.3.函数的最大值与最小值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时,其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部)而言的,最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.4.导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时,常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题,求解时需要分析问题中各个变量之间的关系,抓主元,找主线,把“问题情境"翻译为数学语言,抽象成数学问题,再选择合适的数学方法求解,最后经过检验得到实际问题的解.
②解决优化问题的方法并不单一,运用导数求最值是解决这类问题的有效方法,有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合,多举并用,达到最佳效果.
③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数;(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】(2022·吉林·高三阶段练习(理))函数fx=2x−5lnA.0,3 B.3,+∞ C.52,+【变式1-1】(2022·广西·高二期末(文))函数y=12xA.−1,1 B.0,1 C.1,+∞ D.【变式1-2】(2022·宁夏·高二期中(文))函数f(x)=(x−3)ex的单调递减区间是(A.(−∞,2] B.[0,3] C.[1,4] D.[2,【变式1-3】(2022·云南·模拟预测(理))设a为实数,函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x,且A.(0,2) B.(−3,3) C.【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型:(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减),求参数范围.方法一:将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二:求得递增(减)区间A,利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减),求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】(2022·江苏·高二期末)设函数fx=12ax2A.−1,+∞C.0,+∞【变式2-1】(2022·陕西·高三阶段练习(文))已知函数fx=1−xlnx+ax在1,+A.0,+∞ B.−∞,0 C.0,+【变式2-2】(2023·全国·高三专题练习)若函数fx=x2−ax+lnxA.3,+∞ B.−∞,3 C.3,【变式2-3】(2022·四川·高二期中(文))已知函数fx=x3+x2A.−∞,−13 B.−∞,−【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格按照步骤进行,重点考虑两个问题:一是函数的定义域,注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内,需要舍去;二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号,若异号,则该点是极值点,否则不是极值点.【例3】(2022·贵州·高三阶段练习(文))函数fx=xA.−43 B.1 C.−5【变式3-1】(2022·山东济南·模拟预测)若x=−4是函数fx=x2+ax−5A.-3 B.7e−5 C.−3【变式3-2】(2022·安徽省高三阶段练习)已知函数fx=xA.当x=1时,fx取得极小值1 B.当x=−1时,fC.当x=3时,fx取得极大值33 D.当x=−13时,【变式3-3】(2022·陕西·高三阶段练习(文))记函数fx=sinx+cosxexx≥0的极大值从大到小依次为x1、x2A.e3π B.e4π C.e6π【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【例4】(2021·宁夏·高二期中(文))函数y=xex在x∈2,4A.2e2 B.1e C.4【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(文))函数f(x)=13x3+4A.563 B.203 C.43【变式4-2】(2022·江西·高三阶段练习(理))已知函数fx=a−3x−ax3在−1,1上的最小值为A.−∞,−1 B.12,+∞ C.−1,12【变式4-3】(2022·广东·高二开学考试)若函数f(x)=lnx+1−ax−2,x>0x+1x+a,x<0A.(−∞,eC.1e,+∞【题型5导数中的零点(方程根)问题】【方法点拨】利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法:(1)利用导数研究函数f(x)的最值,转化为f(x)图象与x轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量,即由f(x)=0分离参变量,得a=g(x),研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】(2022·河南·高三阶段练习(理))已知函数fx=lnx−ax+2=0a∈RA.0,+∞ B.0,e C.e,+【变式5-1】(2022·四川·模拟预测(理))已知函数f(x)=1+ex(alnx−xa+x)(其中A.(−∞,−e2) B.(−e【变式5-2】(2022·陕西·一模(理))若函数f(x)=kex−x2A.0,6e3 B.−2e,6【变式5-3】(2022·贵州·高三阶段练习)已知函数fx满足fx=f'x,且f0A.−∞,1C.0,1e 【题型6利用导数解(证明)不等式】【方法点拨】(1)一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.【例6】(2022·吉林·高三阶段练习(文))已知函数fx=x−a(1)若a=−1,求曲线y=fx在点1,f(2)当a∈−1e【变式6-1】(2022·河北·高三期中)已知a>0,函数fx(1)当a=1时,求fx(2)证明:fx【变式6-2】(2022·北京高三阶段练习)已知函数fx(1)当a=1时,求曲线y=fx在点1,f(2)当a≥1时,讨论函数fx(3)当a≥2时,证明:fx【变式6-3】(2022·四川自贡·一模(理))设函数fx=ln(1)若b=1,求函数fx(2)证明:当0<b≤1时,fx【题型7导数中的恒成立(存在性)问题】【方法点拨】解决不等式恒(能)成立问题有两种思路:(1)分离参数法解决恒(能)成立问题,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题,即可解决问题.(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题,将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对参数进行分类讨论,在参数的每一段上求函数的最值,并判断是否满足题意,据此进行求解即可.【例7】(2022·黑龙江·高三阶段练习)已知函数f(x)=x(1)若a=−1,证明:f(x)≥xe(2)若fx>0对任意的x∈0,+【变式7-1】(2022·四川高三期中)已知函数f(x)=1(1)若f(x)在R上是单调递减,求实数m的取值范围;(2)若对任意的x∈(0,+∞),不等式f(x)>x(3【变式7-2】(2022·北京·高三阶段练习)已知函数f(x)=1(1)a=3时,y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立,求【变式7-3】(2022·广东·高三阶段练习)已知f(x)=e(1)若x∈0,2π,求函数f(x)(2)若对∀x1,x2【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时,首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式,然后利用导数研究,进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1【变式8-1】(2022·山东泰安·高二期中)如图,一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD,在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,AD的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.(1)当a=80,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.【变式8-2】(2022·全国·高三专题练习)某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(512x所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为y元.(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)当k=100米时,试确定座位的个数,使得总造价最低【变式8-3】(2022·河南·高三阶段练习(理))某超市开展促销活动,经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足s=10−x+10lnx.已知s件该商品的进价成本为40+s元,商品的销售价格定为(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数;(2)促销费用投入多少元时,商家的利润最大?最大利润为多少?(结果取整数).参考数据:ln2≈0.69,ln3≈1.099,专题5.5导数在研究函数中的应用(重难点题型精讲)1.函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系
①单调递增:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;
②单调递减:在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么在这个范围内函数值变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小,那么在这个范围内函数值变化得慢,函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.2.函数的极值极值的相关概念
(1)极小值点与极小值:
如图,函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值:
如图,函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.3.函数的最大值与最小值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时,其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部)而言的,最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.4.导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时,常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题,求解时需要分析问题中各个变量之间的关系,抓主元,找主线,把“问题情境"翻译为数学语言,抽象成数学问题,再选择合适的数学方法求解,最后经过检验得到实际问题的解.
②解决优化问题的方法并不单一,运用导数求最值是解决这类问题的有效方法,有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合,多举并用,达到最佳效果.
③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数;(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】(2022·吉林·高三阶段练习(理))函数fx=2x−5lnA.0,3 B.3,+∞ C.52,+【解题思路】确定函数定义域,求出函数的导数,根据导数小于0,即可求得答案.【解答过程】由题意函数fx=2x−5lnf'x=2−5x故函数fx=2x−5ln故选:D.【变式1-1】(2022·广西·高二期末(文))函数y=12xA.−1,1 B.0,1 C.1,+∞ D.【解题思路】求出导函数,令导函数小于0,即可得到单调递减区间.【解答过程】解:由题意,x>0在y=12当y'=0时,解得x=−1当y'<0即∴单调递减区间为0,1故选:B.【变式1-2】(2022·宁夏·高二期中(文))函数f(x)=(x−3)ex的单调递减区间是(A.(−∞,2] B.[0,3] C.[1,4] D.[2,【解题思路】求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系解不等式f'(x)<0进行求解即可.【解答过程】函数的导数f'由f'x<0即x−2<0得x<2,即函数的单调递减区间为(−∞,2]故选:A.【变式1-3】(2022·云南·模拟预测(理))设a为实数,函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x,且A.(0,2) B.(−3,3) C.【解题思路】求导,结合f'(x)是偶函数得到f'−x=【解答过程】因为f(x)=x3+(a−1)又因为f'(x)是偶函数,所以即3−x2−2a−1x−所以f'(x)=3x2−3所以f(x)的单调递减区间为(−1,1).故选:C.【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型:(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减),求参数范围.方法一:将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二:求得递增(减)区间A,利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减),求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】(2022·江苏·高二期末)设函数fx=12ax2A.−1,+∞C.0,+∞【解题思路】函数fx在1, +∞上单调递增等价于【解答过程】由题意f'x=ax+1x≥0在1, +∞上恒成立,即a≥−故选:C.【变式2-1】(2022·陕西·高三阶段练习(文))已知函数fx=1−xlnx+ax在1,+A.0,+∞ B.−∞,0 C.0,+【解题思路】因为f(x)在1,+∞上不单调,故利用f'x在1,+∞上必有零点,利用a=lnx−1x【解答过程】依题意f'x=−lnx+1x+a−1,故f'(x)在1,+∞上有零点,令则z'(x)=1x+1x2,由x>1,得z'(x)>0,故a=z(x)>0,所以,a的取值范围0,+故选:A.【变式2-2】(2023·全国·高三专题练习)若函数fx=x2−ax+lnxA.3,+∞ B.−∞,3 C.3,【解题思路】根据函数的单调性与导函数之间的关系,将单调性转化为导函数恒大于或等于0,即可求解.【解答过程】依题意f'x=2x−a+1x≥0在区间令gx=2x+1x1<x<e,则g'x=2−故选:B.【变式2-3】(2022·四川·高二期中(文))已知函数fx=x3+x2A.−∞,−13 B.−∞,−【解题思路】由题设可得f'(x)≥0在R上恒成立,结合判别式的符号可求实数【解答过程】f'因为f(x)在R上为单调递增函数,故f'(x)≥0在所以Δ=4+12a≤0即a≤−故选:A.【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格按照步骤进行,重点考虑两个问题:一是函数的定义域,注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内,需要舍去;二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号,若异号,则该点是极值点,否则不是极值点.【例3】(2022·贵州·高三阶段练习(文))函数fx=xA.−43 B.1 C.−5【解题思路】根据函数求极小值的过程求解:先求f'(x)=0的解x0【解答过程】因为fx=x令f'x=0当x∈−∞,−43∪1,+故fx的单调递增区间为−∞,−43则当x=1时,fx取得极小值,且极小值为f故选:C.【变式3-1】(2022·山东济南·模拟预测)若x=−4是函数fx=x2+ax−5A.-3 B.7e−5 C.−3【解题思路】根据给定的极值点求出参数a的值,再求出函数极小值作答.【解答过程】函数f(x)=(x2+ax−5)因x=−4是函数fx的极值点,即f'(−4)=(3−3a)f'(x)=(x2+3x−4)ex−1=(x+4)(x−1)ex−1,当即x=−4是函数fx的极值点,函数fx在x=1处取得极小值故选:A.【变式3-2】(2022·安徽省高三阶段练习)已知函数fx=xA.当x=1时,fx取得极小值1 B.当x=−1时,fC.当x=3时,fx取得极大值33 D.当x=−13时,【解题思路】求导可得f'(x)解析式,令f'(x)=0,可得极值点,利用表格法,可得f(x)的单调区间,代入数据,可得【解答过程】由题意得f'令f'(x)=0,解得x=−1或当x变化时,f'(x)、x−-1−1,11f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以当x=−1时,fx当x=13时,故选:B.【变式3-3】(2022·陕西·高三阶段练习(文))记函数fx=sinx+cosxexx≥0的极大值从大到小依次为x1、x2A.e3π B.e4π C.e6π【解题思路】利用导数分析函数fx的单调性,求出函数fx的极大值点,利用极值的单调性可求出x2【解答过程】因为fx=sinx+cos令f'x=0可得x=nπn∈N当x∈2k−2π,2k−1π时k∈当x∈2k−1π,2kπ时k∈N当x∈2kπ,2k+1π时所以,函数fx的极小值点为x=2k−1π所以,函数fx的极大值为f因为函数gk=1e2k因此,x2故选:C.【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【例4】(2021·宁夏·高二期中(文))函数y=xex在x∈2,4A.2e2 B.1e C.4【解题思路】利用导数研究函数f(x)的单调性,结合单调性即可求得最小值.【解答过程】∵y=xe∴y'当x∈2,4时,∴函数y=xex在区间∴当x=2时,函数y=xex取得最小值,∴函数y=xex在x∈2,4故选:A.【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(文))函数f(x)=13x3+4A.563 B.203 C.43【解题思路】根据f(x)在[−1,【解答过程】由f(x)=13x令f'(x)=0,解得当−1<x<1,f'(x)<0,f(x)单调递减;当1<x<2,f'所以f(x)的极小值,也为最小值为f(1)=1故选:C.【变式4-2】(2022·江西·高三阶段练习(理))已知函数fx=a−3x−ax3在−1,1上的最小值为A.−∞,−1 B.12,+∞ C.−1,12【解题思路】取a=0可排除AB;取a=−3【解答过程】当a=0时,fx=−3x在且最小值为f1当a=−32时,fxx∈−1,1时,f'x≤0,所以最小值为f1故选:D.【变式4-3】(2022·广东·高二开学考试)若函数f(x)=lnx+1−ax−2,x>0x+1x+a,x<0A.(−∞,eC.1e,+∞【解题思路】由基本不等式求得x<0时,f(x)的值域,由题意可得x>0时,f(x)的值域应该包含在x<0时的值域内,转化为a≥ln(x+1)x+1在x【解答过程】当x<0时,fx当且仅当x=−1时,f(x)取得最大值f(−1)=a−2,由题意可得x>0时,fx=ln即ln(x+1)−ax−2≤a−2在x>0时恒成立即a≥ln(x+1)x+1在即a≥ln设g(x)=ln∴g当0<x<e−1时,g'当x>e−1时,g'∴g(x)∴a≥1故选:C.【题型5导数中的零点(方程根)问题】【方法点拨】利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法:(1)利用导数研究函数f(x)的最值,转化为f(x)图象与x轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量,即由f(x)=0分离参变量,得a=g(x),研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】(2022·河南·高三阶段练习(理))已知函数fx=lnx−ax+2=0a∈RA.0,+∞ B.0,e C.e,+【解题思路】先求函数定义域,进而转化为gx=lnx+2x,x∈【解答过程】fx=ln故lnx+2x=a有两个不同的根,即gx=其中g'当x>1e时,g'x<0故gx=lnx+2x从而gx=lngx且当x>1e2当0<x<1e2画出gx显然要想gx=lnx+2x需要满足a∈0,综上:实数a的取值范围是0,e故选:B.【变式5-1】(2022·四川·模拟预测(理))已知函数f(x)=1+ex(alnx−xa+x)(其中A.(−∞,−e2) B.(−e【解题思路】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程lnxa−xa=lne−x−e−x有2个不同的解,构造函数f(x)=lnx−x【解答过程】函数f(x)=1+e则方程1+e方程alnx−x设函数f(x)=lnx−x(x>1),则所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,由得xa=e−x,即1a=−ln设函数g(x)=−lnxx令g'(x)<0⇒1<x<e所以函数g(x)在(1,e)上单调递减,在故g(x)所以a<01a>−故选:D.【变式5-2】(2022·陕西·一模(理))若函数f(x)=kex−x2A.0,6e3 B.−2e,6【解题思路】运用分离变量法将k与x分开,将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题,数形结合容易得到答案.【解答过程】由f(x)=0,得k=x2−3ex,设g(x)=x2−3ex,g'(x)=−(x+1)(x−3)ex若使得函数f(x)有3个零点,则0<k<6故选:A.【变式5-3】(2022·贵州·高三阶段练习)已知函数fx满足fx=f'x,且f0A.−∞,1C.0,1e 【解题思路】根据题意,构造并求出函数fx的表达式,则函数gx有两个零点转化为ℎx=x【解答过程】由fx=f'x,可设fx=k⋅所以fx=2e令ℎx=x当x<1时,ℎ'x>0,所以函数f当x>1时,ℎ'x<0,所以函数f故ℎx又ℎ0=0,当x>1时,ℎx观察图象可知a∈0,1e故选:C.【题型6利用导数解(证明)不等式】【方法点拨】(1)一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.【例6】(2022·吉林·高三阶段练习(文))已知函数fx=x−a(1)若a=−1,求曲线y=fx在点1,f(2)当a∈−1e【解题思路】(1)利用导数求切线斜率,然后可得;(2)利用二次导数求导函数的零点,从而可得函数的最值,然后可证.【解答过程】(1)因为a=−1,所以fx=x+1lnx−1又f1=−2,所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)f'x设函数gx=xln所以gx在1因为a∈−1e,0,所以所以gx在1e,+∞上存在唯一零点x0当x∈1e,x0时,gx<0,f因此fxmin=f设函数φx=−xlnx−12所以φx在1e,1即fxmin=φ【变式6-1】(2022·河北·高三期中)已知a>0,函数fx(1)当a=1时,求fx(2)证明:fx【解题思路】(1)代入a=1,求出f'x=ex−1(2)原题可转化为证明ex+lna−x−ln【解答过程】(1)当a=1时,fx=e则f'x=所以f'x在−1,+∞所以当x∈−1,0时,f'x<0;当故fx在−1,0上单调递减,在0,+(2)证明:因为a>0,由ax+a>0可得x>−1,则fx定义域为−1,+要证aex−只需证aex−令gx=ex−x,则g'x=ex−1,所以当x∈−∞,0时,g'令ℎx=lnx+1−x+1,则ℎ'x=1x+1−1=−xx+1,所以当x∈−1,0时,ℎ'故ex+lna【变式6-2】(2022·北京高三阶段练习)已知函数fx(1)当a=1时,求曲线y=fx在点1,f(2)当a≥1时,讨论函数fx(3)当a≥2时,证明:fx【解题思路】(1)根据导数的几何意义求出切线的斜率,再根据点斜式求出切线方程;(2)求导后根据导数的符号可得函数f(x)的单调性;(3)根据(2)中函数f(x)的单调性求出函数f(x)的最大值,再利用导数证明函数f(x)的最大值小于0即可得证.【解答过程】(1)当a=1时,f(x)=lnx−1f'(x)=1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为(2)因为fx=ln所以f'(x)=1因为a≥1,所以当0<x<1a时,f'(x)>0;当所以f(x)在(0,1a)(3)当a≥2时,由(2)知,f(x)在(0,1a)所以f(x)max=f(1a)=令g(a)=12a−则g'(a)=−12a2−所以g(a)≤g(2)=14−ln2所以f(x)max=g(a)<0【变式6-3】(2022·四川自贡·一模(理))设函数fx=ln(1)若b=1,求函数fx(2)证明:当0<b≤1时,fx【解题思路】(1)代入b,求出f(x),再求出f'(x),利用导数的性质,即可求出函数(2)设ℎ(b)=f(x)+lnb=ln再设s(b)=ebb(0<b≤1),t(x)=(1−x)ex(x>0),通过导数s'(b)和t'(x)的性质,s(b)的最小值和t(x)【解答过程】(1)b=1,f(x)=lnx−(x−1)e∵g∴g(x)在x∈(0,+∞)单调递减,而∴x∈(0,1),f'(x)>0,x∈(1,+∞∴f(x)的最大值为f(1)=0,无最小值.(2)当0<b≤1时,ℎ(b)=f(x)+lnℎ'设s(b)=ebbs(b)在b∈0,1上是单调递减函数,∴s(b)≥s(1)=设t(x)=(1−x)ex(x>0)t(x)在x∈(0,+∞∴t(x)<t(0)=1,∴s(b)−t(x)=e∴ℎ'(b)=ℎ(b)=ln∴ℎ(b)≤ℎ(1)=ln∴ln∴f(x)+ln【题型7导数中的恒成立(存在性)问题】【方法点拨】解决不等式恒(能)成立问题有两种思路:(1)分离参数法解决恒(能)成立问题,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题,即可解决问题.(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题,将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对参数进行分类讨论,在参数的每一段上求函数的最值,并判断是否满足题意,据此进行求解即可.【例7】(2022·黑龙江·高三阶段练习)已知函数f(x)=x(1)若a=−1,证明:f(x)≥xe(2)若fx>0对任意的x∈0,+【解题思路】(1)证明不等式f(x)≥xex+2(2)对a的正负分类讨论,当a<0时,可以直接去绝对值.当a>0【解答过程】(1)证明:因为fx的定义域为0,+∞,所以若a=−1,要证f(x)≥xex+2,即证1+x(令ℎ(x)=lnx+1x−1,所以ℎ'(x)=1x−1x2=x−1所以ℎ(x)≥ℎ(1)=0,所以f(x)≥xe(2)若fx>0对任意的即xex−a令g(x)=x若a≤0,则g(x)=e由(1)知lnx+1x−1≥0,所以lnx+又ex>0,所以若a>0,令u(x)=xex−a(x>0),u所以ux在0,+∞上单调递增,又u(0)=−a<0,所以存在唯一的x0∈0,a,使得u所以gx=ax−所以g'(x)=−ax2当x>x0时,g(x)=e当x>x0时,y=ex−所以当x>x0时,g'(x)=e所以g(x)min=g设y=xex,x∈0,1e所以y=xex在0,1e上单调递增,所以综上所述,a的取值范围为−∞【变式7-1】(2022·四川高三期中)已知函数f(x)=1(1)若f(x)在R上是单调递减,求实数m的取值范围;(2)若对任意的x∈(0,+∞),不等式f(x)>x(3【解题思路】(1)转化为f'x=x−mex≤0在(2)代入fx并分离参数得m<−x2+x(lnx+1)【解答过程】(1)由题意得f'x=x−m∴m≥xexmax,设ℎx解得x=1,当x<1时,ℎ'x>0,此时ℎ当x>1时,ℎ'x<0,此时ℎ故ℎxmax=ℎ(2)f(x)>x32x−即12x2即m<−x2设gx=−令g'x=0,∵显然有一根为1,当x−2−lnx=0时,令则φ'x=x−1x,当0<x<1当x>1时,φ'x>0故当x=1时,φxmin=φ故存在x1∈e−2,1故存在x2∈1,而当x>x2时,φx>0,且单调递增,故在x>x同理0<x<x1时,φx>0,且单调递减,故在0<x<x1<x<x2时,φx故在x1<x<x2故g'x=0只存在3个根x当x∈0,x1时,g当x∈x1,1时,g当x∈1,x2时,gx∈x2,+∞时,故gx存在两个极小值,gx1x1,xx1−2−lnxg==−e同理可得gx故gxmin=−【变式7-2】(2022·北京·高三阶段练习)已知函数f(x)=1(1)a=3时,y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立,求【解题思路】(1)将a=3代入函数解析式,求出f1的值,再根据函数f(x)(2)求出导函数,对参数a进行分类讨论即可得到答案;(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立,即可寻找区间上【解答过程】(1)根据题意,当a=3时,fx=1所以f'x=x−2x,当x=1所以y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−0=−1x−1,即x+y−1=0(2)因为函数f(x)=12xf'x=x−a−1x=x当a−1<0即a<1时,x2−a−1因为f'x=x−所以函数f(x)在区间0,+∞当a−1>0即a>1时,令f'x>0,即x2−a−1>0令f'x<0,即x2−a−1<0综上,当a<1时,函数f(x)的单调增区间为0,+∞当a>1时,函数f(x)的单调增区间为a−1,+∞,单调递减区间为(3)由(2)得,当a<1时,函数f(x)在区间0,+∞所以当x∈[1,+∞)时,函数f(x)在区间所以f(x)可得对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立,所以当a>1,函数f(x)的单调增区间为a−1,+∞,单调递减区间为所以对于x∈[1,+∞),当a−1≤1,即1<a≤2时,函数f(x)所以f(x)可得对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立,所以当a−1>1时,即a>2,此时函数f(x)的单调增区间为a−1,+∞所以f(x)又因为f1根据函数f(x)的单调区间可知fa−1所以存在x0∈[1,+∞)有综上,a的取值范围为−∞【变式7-3】(2022·广东·高三阶段练习)已知f(x)=e(1)若x∈0,2π,求函数f(x)(2)若对∀x1,x2【解题思路】(1)直接求导计算即可.(2)将问题转化为fx2+ax2【解答过程】(1)f令f'x=0,因为x∈0,2π得x0,3π37π7f+0−0+f(x)↑极大值↓极小值↑所以f(x)的单调增区间为0,3π4和7f(x)极大值为f(3π4)=22e3π(2)对∀x1,f(x设g(x)=f(x)+ax2,则g(x)在故g'(x)=e方法一:(含参讨论)设ℎx则ℎ0=1>0,ℎπℎ'x=2ex①当a≥eπ时,故,当x∈0,π4时,ℎ当x∈π4,π时,ℎ此时,ℎ'x≥minℎ'0②当eπ2π≤a<eπ时,同①,当x∈0,π∵ℎ'π4∴由连续函数零点存在性定理及单调性知,∃x0∈于是,当x∈0,x0时,ℎ当x∈x0,π时,ℎ∵ℎ0=1>0,ℎπ=−综上,实数a的取值范围是eπ方法二:(参变分离)由对称性,不妨设0≤x则fx1−f设gx=fx+ax故g'x=∵g'0=1>0,∴,⇔−2a≤exsin设ℎx=exsinx+cos设φx=2x−tan则φ'x=2−由φ'x>0,x∈0,π2∪由φ'x<0,x∈0,π2∪故x∈0,π2x∈π2,π从而,φxcosx=2x又x=π2时,2xcosx−sinℎx=eℎxmin=ℎ于是,−2a≤−e综上,实数a的取值范围是eπ【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时,首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式,然后利用导数研究,进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1【解题思路】设出长方体的宽为xm,表达出长方体的长和高,从而体积V=−6x3+9x2【解答过程】设长方体的宽为xm,则长方体的长为2xm,故长方体的高为18−12x4由x>02x>092设长方体的体积为V,故V=2x⋅x⋅92则V'令V'=−18x令V'=−18x故V=−6x3
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