举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题5.5导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.2．函数的极值极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.3．函数的最大值与最小值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.4．导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数fx=2x−5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52,+【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数y=12xA．−1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数f(x)=(x−3)ex的单调递减区间是（A．(−∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，且A．(0,2) B．(−3,3) C．【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江苏·高二期末）设函数fx=12ax2A．−1，+∞C．0，+∞【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=1−xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．−∞,0 C．0,+【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=x2−ax+lnxA．3,+∞ B．−∞,3 C．3,【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数fx=x3+x2A．−∞,−13 B．−∞,−【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格按照步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.【例3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））函数fx=xA．−43 B．1 C．−5【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若x=−4是函数fx=x2+ax−5A．-3 B．7e−5 C．−3【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数fx=xA．当x=1时，fx取得极小值1 B．当x=−1时，fC．当x=3时，fx取得极大值33 D．当x=−13时，【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数fx=sinx+cosxexx≥0的极大值从大到小依次为x1、x2A．e3π B．e4π C．e6π【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．4【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．43【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数fx=a−3x−ax3在−1,1上的最小值为A．−∞,−1 B．12,+∞ C．−1,12【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数f(x)=lnx+1−ax−2,x>0x+1x+a,x<0A．(−∞,eC．1e,+∞【题型5导数中的零点（方程根）问题】【方法点拨】利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数fx=lnx−ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e,+【变式5-1】（2022·四川·模拟预测（理））已知函数f(x)=1+ex(alnx−xa+x)（其中A．(−∞,−e2) B．(−e【变式5-2】（2022·陕西·一模（理））若函数f(x)=kex−x2A．0,6e3 B．−2e,6【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数fx满足fx=f'x，且f0A．−∞,1C．0,1e 【题型6利用导数解（证明）不等式】【方法点拨】(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【例6】（2022·吉林·高三阶段练习（文））已知函数fx=x−a(1)若a=−1，求曲线y=fx在点1,f(2)当a∈−1e【变式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函数fx(1)当a=1时，求fx(2)证明：fx【变式6-2】（2022·北京高三阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a≥1时，讨论函数fx(3)当a≥2时，证明：fx【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数fx=ln(1)若b=1，求函数fx(2)证明：当0<b≤1时，fx【题型7导数中的恒成立（存在性）问题】【方法点拨】解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f(x)=x(1)若a=−1，证明：f(x)≥xe(2)若fx>0对任意的x∈0,+【变式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数f(x)=1(1)若f(x)在R上是单调递减，求实数m的取值范围；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【变式7-2】（2022·北京·高三阶段练习）已知函数f(x)=1(1)a=3时，y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函数f(x)(2)若对∀x1,x2【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，然后利用导数研究，进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1【变式8-1】（2022·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB,AD的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.（1）当a=80，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a,b,x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(512x所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元.（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低【变式8-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足s=10−x+10lnx．已知s件该商品的进价成本为40+s元，商品的销售价格定为(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数；(2)促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少?（结果取整数）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.099，专题5.5导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.2．函数的极值极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.3．函数的最大值与最小值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.4．导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数fx=2x−5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52,+【解题思路】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数小于0，即可求得答案.【解答过程】由题意函数fx=2x−5lnf'x=2−5x故函数fx=2x−5ln故选：D.【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数y=12xA．−1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【解题思路】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.【解答过程】解：由题意，x>0在y=12当y'=0时，解得x=−1当y'<0即∴单调递减区间为0,1故选：B.【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数f(x)=(x−3)ex的单调递减区间是（A．(−∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【解题思路】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式f'(x)<0进行求解即可.【解答过程】函数的导数f'由f'x<0即x−2<0得x<2，即函数的单调递减区间为(−∞,2]故选：A.【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，且A．(0,2) B．(−3,3) C．【解题思路】求导，结合f'(x)是偶函数得到f'−x=【解答过程】因为f(x)=x3+(a−1)又因为f'(x)是偶函数，所以即3−x2−2a−1x−所以f'(x)=3x2−3所以f(x)的单调递减区间为(−1,1).故选：C．【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江苏·高二期末）设函数fx=12ax2A．−1，+∞C．0，+∞【解题思路】函数fx在1,  +∞上单调递增等价于【解答过程】由题意f'x=ax+1x≥0在1,  +∞上恒成立，即a≥−故选：C．【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=1−xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．−∞,0 C．0,+【解题思路】因为f(x)在1,+∞上不单调，故利用f'x在1,+∞上必有零点，利用a=lnx−1x【解答过程】依题意f'x=−lnx+1x+a−1，故f'(x)在1,+∞上有零点，令则z'(x)=1x+1x2，由x>1，得z'(x)>0，故a=z(x)>0，所以，a的取值范围0,+故选：A.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=x2−ax+lnxA．3,+∞ B．−∞,3 C．3,【解题思路】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【解答过程】依题意f'x=2x−a+1x≥0在区间令gx=2x+1x1<x<e，则g'x=2−故选:B.【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数fx=x3+x2A．−∞,−13 B．−∞,−【解题思路】由题设可得f'(x)≥0在R上恒成立，结合判别式的符号可求实数【解答过程】f'因为f(x)在R上为单调递增函数，故f'(x)≥0在所以Δ=4+12a≤0即a≤−故选：A.【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格按照步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.【例3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））函数fx=xA．−43 B．1 C．−5【解题思路】根据函数求极小值的过程求解：先求f'(x)=0的解x0【解答过程】因为fx=x令f'x=0当x∈−∞,−43∪1,+故fx的单调递增区间为−∞,−43则当x=1时，fx取得极小值，且极小值为f故选：C.【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若x=−4是函数fx=x2+ax−5A．-3 B．7e−5 C．−3【解题思路】根据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数极小值作答.【解答过程】函数f(x)=(x2+ax−5)因x=−4是函数fx的极值点，即f'(−4)=(3−3a)f'(x)=(x2+3x−4)ex−1=(x+4)(x−1)ex−1，当即x=−4是函数fx的极值点，函数fx在x=1处取得极小值故选：A.【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数fx=xA．当x=1时，fx取得极小值1 B．当x=−1时，fC．当x=3时，fx取得极大值33 D．当x=−13时，【解题思路】求导可得f'(x)解析式，令f'(x)=0，可得极值点，利用表格法，可得f(x)的单调区间，代入数据，可得【解答过程】由题意得f'令f'(x)=0，解得x=−1或当x变化时，f'(x)、x−-1−1,11f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以当x=−1时，fx当x=13时，故选：B.【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数fx=sinx+cosxexx≥0的极大值从大到小依次为x1、x2A．e3π B．e4π C．e6π【解题思路】利用导数分析函数fx的单调性，求出函数fx的极大值点，利用极值的单调性可求出x2【解答过程】因为fx=sinx+cos令f'x=0可得x=nπn∈N当x∈2k−2π,2k−1π时k∈当x∈2k−1π,2kπ时k∈N当x∈2kπ,2k+1π时所以，函数fx的极小值点为x=2k−1π所以，函数fx的极大值为f因为函数gk=1e2k因此，x2故选：C.【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．4【解题思路】利用导数研究函数f(x)的单调性，结合单调性即可求得最小值.【解答过程】∵y=xe∴y'当x∈2,4时，∴函数y=xex在区间∴当x=2时，函数y=xex取得最小值，∴函数y=xex在x∈2,4故选：A.【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．43【解题思路】根据f(x)在[−1，【解答过程】由f(x)=13x令f'(x)=0，解得当−1<x<1，f'(x)<0，f(x)单调递减；当1<x<2，f'所以f(x)的极小值，也为最小值为f(1)=1故选：C.【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数fx=a−3x−ax3在−1,1上的最小值为A．−∞,−1 B．12,+∞ C．−1,12【解题思路】取a=0可排除AB；取a=−3【解答过程】当a=0时，fx=−3x在且最小值为f1当a=−32时，fxx∈−1,1时，f'x≤0，所以最小值为f1故选：D.【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数f(x)=lnx+1−ax−2,x>0x+1x+a,x<0A．(−∞,eC．1e,+∞【解题思路】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为a≥ln(x+1)x+1在x【解答过程】当x＜0时，fx当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，fx=ln即ln(x+1)−ax−2≤a−2在x＞0时恒成立即a≥ln(x+1)x+1在即a≥ln设g(x)=ln∴g当0<x<e−1时，g'当x>e−1时，g'∴g(x)∴a≥1故选：C．【题型5导数中的零点（方程根）问题】【方法点拨】利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数fx=lnx−ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e,+【解题思路】先求函数定义域，进而转化为gx=lnx+2x，x∈【解答过程】fx=ln故lnx+2x=a有两个不同的根，即gx=其中g'当x>1e时，g'x<0故gx=lnx+2x从而gx=lngx且当x>1e2当0<x<1e2画出gx显然要想gx=lnx+2x需要满足a∈0,综上：实数a的取值范围是0,e故选：B.【变式5-1】（2022·四川·模拟预测（理））已知函数f(x)=1+ex(alnx−xa+x)（其中A．(−∞,−e2) B．(−e【解题思路】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程lnxa−xa=lne−x−e−x有2个不同的解，构造函数f(x)=lnx−x【解答过程】函数f(x)=1+e则方程1+e方程alnx−x设函数f(x)=lnx−x(x>1)，则所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，由得xa=e−x，即1a=−ln设函数g(x)=−lnxx令g'(x)<0⇒1<x<e所以函数g(x)在(1,e)上单调递减，在故g(x)所以a<01a>−故选：D.【变式5-2】（2022·陕西·一模（理））若函数f(x)=kex−x2A．0,6e3 B．−2e,6【解题思路】运用分离变量法将k与x分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.【解答过程】由f(x)=0，得k=x2−3ex，设g(x)=x2−3ex,g'(x)=−(x+1)(x−3)ex若使得函数f(x)有3个零点，则0<k<6故选：A.【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数fx满足fx=f'x，且f0A．−∞,1C．0,1e 【解题思路】根据题意，构造并求出函数fx的表达式，则函数gx有两个零点转化为ℎx=x【解答过程】由fx=f'x，可设fx=k⋅所以fx=2e令ℎx=x当x<1时，ℎ'x>0，所以函数f当x>1时，ℎ'x<0，所以函数f故ℎx又ℎ0=0，当x>1时，ℎx观察图象可知a∈0,1e故选：C．【题型6利用导数解（证明）不等式】【方法点拨】(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【例6】（2022·吉林·高三阶段练习（文））已知函数fx=x−a(1)若a=−1，求曲线y=fx在点1,f(2)当a∈−1e【解题思路】（1）利用导数求切线斜率，然后可得；（2）利用二次导数求导函数的零点，从而可得函数的最值，然后可证.【解答过程】（1）因为a=−1，所以fx=x+1lnx−1又f1=−2，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（2）f'x设函数gx=xln所以gx在1因为a∈−1e,0，所以所以gx在1e,+∞上存在唯一零点x0当x∈1e,x0时，gx<0，f因此fxmin=f设函数φx=−xlnx−12所以φx在1e,1即fxmin=φ【变式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函数fx(1)当a=1时，求fx(2)证明：fx【解题思路】（1）代入a=1，求出f'x=ex−1（2）原题可转化为证明ex+lna−x−ln【解答过程】（1）当a=1时，fx=e则f'x=所以f'x在−1,+∞所以当x∈−1,0时，f'x<0；当故fx在−1,0上单调递减，在0,+（2）证明：因为a>0，由ax+a>0可得x>−1，则fx定义域为−1,+要证aex−只需证aex−令gx=ex−x，则g'x=ex−1，所以当x∈−∞,0时，g'令ℎx=lnx+1−x+1，则ℎ'x=1x+1−1=−xx+1，所以当x∈−1,0时，ℎ'故ex+lna【变式6-2】（2022·北京高三阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a≥1时，讨论函数fx(3)当a≥2时，证明：fx【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；（2）求导后根据导数的符号可得函数f(x)的单调性；（3）根据（2）中函数f(x)的单调性求出函数f(x)的最大值，再利用导数证明函数f(x)的最大值小于0即可得证.【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=lnx−1f'(x)=1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（2）因为fx=ln所以f'(x)=1因为a≥1，所以当0<x<1a时，f'(x)>0；当所以f(x)在(0,1a)（3）当a≥2时，由（2）知，f(x)在(0,1a)所以f(x)max=f(1a)=令g(a)=12a−则g'(a)=−12a2−所以g(a)≤g(2)=14−ln2所以f(x)max=g(a)<0【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数fx=ln(1)若b=1，求函数fx(2)证明：当0<b≤1时，fx【解题思路】（1）代入b，求出f(x)，再求出f'(x)，利用导数的性质，即可求出函数（2）设ℎ(b)=f(x)+lnb=ln再设s(b)=ebb(0<b≤1)，t(x)=(1−x)ex(x>0)，通过导数s'(b)和t'(x)的性质，s(b)的最小值和t(x)【解答过程】（1）b=1，f(x)=lnx−(x−1)e∵g∴g(x)在x∈(0,+∞)单调递减，而∴x∈(0,1)，f'(x)>0，x∈(1,+∞∴f(x)的最大值为f(1)=0，无最小值.（2）当0<b≤1时，ℎ(b)=f(x)+lnℎ'设s(b)=ebbs(b)在b∈0,1上是单调递减函数，∴s(b)≥s(1)=设t(x)=(1−x)ex(x>0)t(x)在x∈(0,+∞∴t(x)<t(0)=1，∴s(b)−t(x)=e∴ℎ'(b)=ℎ(b)=ln∴ℎ(b)≤ℎ(1)=ln∴ln∴f(x)+ln【题型7导数中的恒成立（存在性）问题】【方法点拨】解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f(x)=x(1)若a=−1，证明：f(x)≥xe(2)若fx>0对任意的x∈0,+【解题思路】(1)证明不等式f(x)≥xex+2(2)对a的正负分类讨论，当a<0时，可以直接去绝对值.当a>0【解答过程】（1）证明：因为fx的定义域为0,+∞，所以若a=−1，要证f(x)≥xex+2，即证1+x(令ℎ(x)=lnx+1x−1，所以ℎ'(x)=1x−1x2=x−1所以ℎ(x)≥ℎ(1)=0，所以f(x)≥xe（2）若fx>0对任意的即xex−a令g(x)=x若a≤0，则g(x)=e由（1）知lnx+1x−1≥0，所以lnx+又ex>0，所以若a>0，令u(x)=xex−a(x>0)，u所以ux在0,+∞上单调递增，又u(0)=−a<0，所以存在唯一的x0∈0,a，使得u所以gx=ax−所以g'(x)=−ax2当x>x0时，g(x)=e当x>x0时，y=ex−所以当x>x0时，g'(x)=e所以g(x)min=g设y=xex，x∈0,1e所以y=xex在0,1e上单调递增，所以综上所述，a的取值范围为−∞【变式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数f(x)=1(1)若f(x)在R上是单调递减，求实数m的取值范围；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【解题思路】（1）转化为f'x=x−mex≤0在（2）代入fx并分离参数得m<−x2+x(lnx+1)【解答过程】（1）由题意得f'x=x−m∴m≥xexmax，设ℎx解得x=1，当x<1时，ℎ'x>0，此时ℎ当x>1时，ℎ'x<0，此时ℎ故ℎxmax=ℎ（2）f(x)>x32x−即12x2即m<−x2设gx=−令g'x=0，∵显然有一根为1，当x−2−lnx=0时，令则φ'x=x−1x，当0<x<1当x>1时，φ'x>0故当x=1时，φxmin=φ故存在x1∈e−2,1故存在x2∈1,而当x>x2时，φx>0，且单调递增，故在x>x同理0<x<x1时，φx>0，且单调递减，故在0<x<x1<x<x2时，φx故在x1<x<x2故g'x=0只存在3个根x当x∈0,x1时，g当x∈x1,1时，g当x∈1,x2时，gx∈x2,+∞时，故gx存在两个极小值，gx1x1,xx1−2−lnxg==−e同理可得gx故gxmin=−【变式7-2】（2022·北京·高三阶段练习）已知函数f(x)=1(1)a=3时，y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【解题思路】（1）将a=3代入函数解析式，求出f1的值，再根据函数f(x)（2）求出导函数，对参数a进行分类讨论即可得到答案；（3）若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，即可寻找区间上【解答过程】（1）根据题意，当a=3时，fx=1所以f'x=x−2x，当x=1所以y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−0=−1x−1，即x+y−1=0（2）因为函数f(x)=12xf'x=x−a−1x=x当a−1<0即a<1时，x2−a−1因为f'x=x−所以函数f(x)在区间0,+∞当a−1>0即a>1时，令f'x>0，即x2−a−1>0令f'x<0，即x2−a−1<0综上，当a<1时，函数f(x)的单调增区间为0,+∞当a>1时，函数f(x)的单调增区间为a−1,+∞，单调递减区间为（3）由（2）得，当a<1时，函数f(x)在区间0,+∞所以当x∈[1,+∞)时，函数f(x)在区间所以f(x)可得对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，所以当a>1，函数f(x)的单调增区间为a−1,+∞，单调递减区间为所以对于x∈[1,+∞)，当a−1≤1，即1<a≤2时，函数f(x)所以f(x)可得对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，所以当a−1>1时，即a>2，此时函数f(x)的单调增区间为a−1,+∞所以f(x)又因为f1根据函数f(x)的单调区间可知fa−1所以存在x0∈[1,+∞)有综上，a的取值范围为−∞【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函数f(x)(2)若对∀x1,x2【解题思路】（1）直接求导计算即可．（2）将问题转化为fx2+ax2【解答过程】（1）f令f'x=0，因为x∈0,2π得x0，3π37π7f+0−0+f(x)↑极大值↓极小值↑所以f(x)的单调增区间为0，3π4和7f(x)极大值为f(3π4)=22e3π（2）对∀x1,f(x设g(x)=f(x)+ax2，则g(x)在故g'(x)=e方法一：（含参讨论）设ℎx则ℎ0=1>0，ℎπℎ'x=2ex①当a≥eπ时，故，当x∈0,π4时，ℎ当x∈π4,π时，ℎ此时，ℎ'x≥minℎ'0②当eπ2π≤a<eπ时，同①，当x∈0,π∵ℎ'π4∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，∃x0∈于是，当x∈0,x0时，ℎ当x∈x0,π时，ℎ∵ℎ0=1>0，ℎπ=−综上，实数a的取值范围是eπ方法二：（参变分离）由对称性，不妨设0≤x则fx1−f设gx=fx+ax故g'x=∵g'0=1>0，∴,⇔−2a≤exsin设ℎx=exsinx+cos设φx=2x−tan则φ'x=2−由φ'x>0，x∈0,π2∪由φ'x<0，x∈0,π2∪故x∈0,π2x∈π2,π从而，φxcosx=2x又x=π2时，2xcosx−sinℎx=eℎxmin=ℎ于是，−2a≤−e综上，实数a的取值范围是eπ【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，然后利用导数研究，进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1【解题思路】设出长方体的宽为xm，表达出长方体的长和高，从而体积V=−6x3+9x2【解答过程】设长方体的宽为xm，则长方体的长为2xm，故长方体的高为18−12x4由x>02x>092设长方体的体积为V，故V=2x⋅x⋅92则V'令V'=−18x令V'=−18x故V=−6x3