举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修2专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题6.3平面向量的运算（重难点题型精讲）1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则(2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向量的数乘的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；

②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有()=.5．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.

(2)向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.【题型1向量的加减法运算】【方法点拨】向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）AB−AD+A．BC B．CB C．BD D．DB【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简AC−BD+A．0 B．DA C．BC D．AB【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（

）A．AB+BC=C．AB+AD=【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（

）A．AB+BC+C．OA−OD+【题型2三角形（平行四边形）法则的应用】【方法点拨】根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可.【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量b−a等于（A．e1−3e2 B．−4e1【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量a−b等于（A．−e1+3C．e1−3e【变式2-2】（2022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a=λe1A．−4 B．−2 C．2 D．4【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则AB−A．2a+3C．−3a+1【题型3向量的线性运算】【方法点拨】向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）3a+bA．5a B．5b C．−5a【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知a=2e，b=−3e，c=6A．18e B．−3e C．20e【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）32a−A．4a+3b B．4a−9b【变式3-3】（2022·高一课时练习）a+2b+2A．2a B．3a C．−b【题型4用已知向量表示相关向量】【方法点拨】用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.【例4】（2022·高一课时练习）如图，▱ABCD中，AB=a，AD=b，点E是AC的三等分点(EC=1A．13a−23b B．2【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形ABCD中，设AB=a，AD=A．−a+bC．a+b+【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA=a，OB=b，则A．a+b C．b−a 【变式4-3】（2022秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量AB=a，AC=b，CD=A．a+b+c B．a−b【题型5向量共线定理的应用】【方法点拨】向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.【例5】（2022·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若PA+PB=A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上【变式5-1】（2022·高一课时练习）P是△ABC所在平面内一点，CB=λPA+PB，则A．△ABC内部 B．在直线AC上C．在直线AB上 D．在直线BC上【变式5-2】（2022春·湖南长沙·高二阶段练习）已知a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【变式5-3】（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP＝OA+λ(AB+AC),λ>0，则直线A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【题型6向量线性运算在三角形中的运用】【方法点拨】结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB+yAD，则A．25 B．45 C．1【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ESA．5+12 B．5−12 C．【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5−12A．BPB．CQC．ESD．AT【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且EB=3DE，若AE=λA．λ=12μ B．λ=2μ C．λ=3μ 专题6.3平面向量的运算（重难点题型精讲）1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则(2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向量的数乘的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；

②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有()=.5．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.

(2)向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.【题型1向量的加减法运算】【方法点拨】向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)；(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）AB−AD+A．BC B．CB C．BD D．DB【解题思路】根据向量的加法和减法运算即可求解.【解答过程】因为AB−故选：B.【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简AC−BD+A．0 B．DA C．BC D．AB【解题思路】利用向量的线性运算直接求解.【解答过程】AC===BC故选：C.【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（

）A．AB+BC=C．AB+AD=【解题思路】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【解答过程】根据三角形法则可得AB+根据向量减法的运算法则可得AB−四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB+根据三角形法则可得BC+故选：D.【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（

）A．AB+BC+C．OA−OD+【解题思路】根据向量加减法运算法则计算即可【解答过程】对A，原式=AC对B，原式=AB对C，原式=OA对D，原式=AB故选：D．【题型2三角形（平行四边形）法则的应用】【方法点拨】根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可.【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量b−a等于（A．e1−3e2 B．−4e1【解题思路】根据向量的减法法则可得选项．【解答过程】由向量的减法得b−故选：A．【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量a−b等于（A．−e1+3C．e1−3e【解题思路】根据向量线性运算法则，结合图像即可求解.【解答过程】a−b等于向量b的终点指向向量分解后易知a−故选：A.【变式2-2】（2022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a=λe1A．−4 B．−2 C．2 D．4【解题思路】根据图象求得正确答案.【解答过程】由图象可知a=故选：D.【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则AB−A．2a+3C．−3a+1【解题思路】由向量加减法运算法则，得到所求向量为DC，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.【解答过程】由题意，得AB−故选：C.【题型3向量的线性运算】【方法点拨】向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）3a+bA．5a B．5b C．−5a【解题思路】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解.【解答过程】根据向量运算公式可知，3a故选：B.【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知a=2e，b=−3e，c=6A．18e B．−3e C．20e【解题思路】由向量的运算可得答案.【解答过程】3a故选：A.【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）32a−A．4a+3b B．4a−9b【解题思路】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.【解答过程】由题意，32故选：B.【变式3-3】（2022·高一课时练习）a+2b+2A．2a B．3a C．−b【解题思路】利用向量的线性运算求解即可.【解答过程】依题意得：a+2故选：B.【题型4用已知向量表示相关向量】【方法点拨】用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.【例4】（2022·高一课时练习）如图，▱ABCD中，AB=a，AD=b，点E是AC的三等分点(EC=1A．13a−23b B．2【解题思路】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【解答过程】DE故选：B.【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形ABCD中，设AB=a，AD=A．−a+bC．a+b+【解题思路】根据向量加法、减法的运算求得DC.【解答过程】DC=故选：D.【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA=a，OB=b，则A．a+b C．b−a 【解题思路】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.【解答过程】在平行四边形ABCD中，依题意，OC=−OA=−所以BC=故选：D.【变式4-3】（2022秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量AB=a，AC=b，CD=A．a+b+c B．a−b【解题思路】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【解答过程】BD=故选：C.【题型5向量共线定理的应用】【方法点拨】向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.【例5】（2022·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若PA+PB=A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上【解题思路】由向量的运算可得CA=【解答过程】∵PA+∴PB−∴CB=即CA=故点P在边AC所在的直线上.故选：D.【变式5-1】（2022·高一课时练习）P是△ABC所在平面内一点，CB=λPA+PB，则A．△ABC内部 B．在直线AC上C．在直线AB上 D．在直线BC上【解题思路】根据共线定理可知即PC与PA共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答过程】∵∴PB∴−PC∴PC//PA，即PC∴P点一定在AC边所在直线上.故选：B．【变式5-2】（2022春·湖南长沙·高二阶段练习）已知a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【解题思路】根据给定条件，求出BD,【解答过程】a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，则BD=BC+因1−2≠58，则AB与BC不共线，A，因AB=BD，即AB→与BD→共线，且有公共点B，则A，因−23≠8−3，则BC与CD不共线，B，因−13≠13−3，则AC与CD不共线，A，故选：B.【变式5-3】（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP＝OA+λ(AB+AC),λ>0，则直线A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解题思路】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE．动点P满足：OP=【解答过程】取线段BC的中点E，则AB+动点P满足：OP=OA+λ(则OP则AP=2λ则直线AP一定通过△ABC的重心．故选：C．【题型6向量线性运算在三角形中的运用】【方法点拨】结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB+yAD，则A．25 B．45 C．1【解题思路】利用平面向量线性运算法则以及平