2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理2第2课时排列数的应用学案北师大版选择性必修第一册

PAGE第2课时排列数的应用新课程标准学业水平要求理解排列数的概念，能利用排列数公式解决简洁的排列问题．1.进一步理解排列的概念，驾驭一些排列问题的常用解决方法．(数学建模)2．能应用排列学问解决简洁的实际问题．(数学建模、逻辑推理)3．驾驭几种有限制条件的排列的解法．(逻辑推理)关键实力·合作学习类型一数字排列问题(数学建模)1．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有________个．2．我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为3的共有________个．3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数．(1)假如组成的四位数必需是偶数，那么这样的四位数有多少个？(2)假如组成的四位数必需大于6500，那么这样的四位数有多少个？【解析】1.由题设可知：当首位排5和3时，末位可排2和4，中间三数全排，两种状况共有4Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种；当首位排2和4时，末位只能排4和2，中间三个数全排，两种状况共有2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))，所以由分类加法计数原理可得全部符合条件的五位数共有6Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6×6＝36个．答案：362．由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4，有以下四种可能：0，0，4；0，1，3；0，2，2；1，1，2；各种组合对应的排列个数分别为3，6，3，3，合计15个．答案：153．(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必需是偶数，个位数字只能是2，4，6之一，所以有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种排法；其次步排千、百、十这三个数位上的数字，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))种排法．依据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝3×6×5×4＝360.故这样的四位数有360个．(2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))种不同的排法；其次类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种不同的排法．依据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝160.故这样的四位数有160个．数字排列问题的解题原则(1)数字排列问题的本质是“对象”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某对象不排在某个位子上，或某个位子不排某些对象．(2)解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特别对象或优先满意特别位子，若一个位子支配的对象影响到另一个位子的对象个数时，应分类探讨．提示：解决数字问题时，应留意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其留意特别对象“0”的处理．【补偿训练】用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数．(2)能被3整除的五位数．【解析】(1)个位上的数字必需是0或5.个位上是0，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))个；个位上是5，若不含0，则有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))个；若含0，但0不作首位，则0的位置有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种排法，其余各位有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝216个能被5整除的五位数．(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1，2，3，4，5}和{0，1，2，4，5}两种状况，能够组成的五位数分别有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))个和Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))个．故能被3整除的五位数有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝216(个).类型二“排队”问题(数学建模、数学运算)角度1对象“相邻”与“不相邻”问题【典例】3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列状况下，各有多少种不同的站法．(1)男、女各站在一起．(2)男生必需排在一起．(3)男生不能排在一起．(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．【思路导引】利用排列数公式解决相关问题时，特别对象应特别考虑，相邻对象捆绑处理，不相邻对象插空处理．【解析】(1)(相邻问题捆绑法)男生必需站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法，女生必需站在一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种排法，由分步乘法计数原理知共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝288种不同的站法．(2)(捆绑法)把全部男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝720种不同的站法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种排法，把3名男生支配在4名女生隔成的5个空中，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种排法，故有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440种不同的站法．(4)先排男生有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法．让女生插空，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝144种不同的站法．角度2定序问题【典例】1.某运动会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的竞赛项目，竞赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参与竞赛，依据仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力依次，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场．若某个参赛队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能担当仰泳或者自由泳，男运动员乙只能担当蝶泳或者蛙泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以担当，则这个队参赛的支配共有()A．144种B．8种C．24种D．12种2．7人站成一排．(1)甲必需在乙的前面(不肯定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的依次不变(不肯定相邻)，则有多少种不同的排列方法？【思路导引】1.分两类，(1)甲担当仰泳，(2)甲担当自由泳，依据分类计数原理求．2．(1)先将7人全排，考虑甲在乙的前面和在乙的后面是等可能的，即可得出结果．(2)先将7人全排，甲、乙、丙三人排列有6种状况，考虑三人依次肯定只是6种状况中的一种即可求得结果．【解析】1.选B.由题意，若甲担当仰泳，则乙运动员有2种支配方法，其他两名运动员有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种支配方法，共计2×2＝4种方法，若甲担当自由泳，则乙运动员有2种支配方法，其他两名运动员有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种支配方法，共计2×2＝4种方法，所以这个队共有4＋4＝8种不同的支配方法．2．(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝2520种不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的依次保持不变，即甲、乙、丙自左向右依次的排法种数占全体全排列种数的eq\f(1,Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))).故有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝840种不同的排法．角度3对象“在”与“不在”问题【典例】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，乙不在末位的排法有多少种？【思路导引】(1)优先考虑甲，再结合排列数公式求解．(2)先在除甲以外的6名同学中选2名排在首、末位，再排剩余的5名同学．(3)先在甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末位，再排剩余的5名同学．(4)用间接法求解．【解析】(1)方法一：把同学作为探讨对象．第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))种排法．其次类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种排法．依据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种排法．由分类加法计数原理，共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))＋4×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝2160种排法．方法二：把位置作为探讨对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))种方法．其次步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种方法．由分步乘法计数原理，可得共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝2160种排法．方法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满意条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能状况有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(7))种；甲在首位的状况有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种，所以符合要求的排法有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＝2160种排法．(2)把位置作为探讨对象，先满意特别位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))种排法．其次步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种排法．依据分步乘法计数原理，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1800种排法．(3)把位置作为探讨对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种排法．其次步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种排法．依据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1200种排法．(4)用间接法．总的可能状况是Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(7))种，减去甲在首位的Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种，再减去乙在末位的Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种．留意到甲在首位同时乙在末位的状况被减去了两次，所以还需补回一次Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(7))－2Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))＋Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1860种排法．1．定序问题的解题策略这类问题的解法是采纳分类法．n个不同对象的全排列有Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))种排法，m个不同对象的全排列有Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))种排法．因此Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))种排法中，关于m个对象的不同分法有Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个对象依次确定时，共有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))种排法．2．对象“在”与“不在”问题的解题原则与方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从对象入手也可以从位置入手，原则是谁特别谁优先．(2)方法：从对象入手时，先给特别对象支配位置，再把其他对象支配在其他位置上；从位置入手时，先支配特别位置，再支配其他位置．1．元旦晚会期间，高三二班的学生打算了6个参赛节目，其中有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目肯定排在首尾，2个舞蹈节目肯定要排在一起，则这6个节目的不同编排种数为()A．48B．36C．24D．12【解析】选C.分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种排法．②将2个小品节目支配在歌曲节目的中间，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种排法．③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，支配在中间的3个空位，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝6种排法．则这6个节目出场的不同编排种数为2×2×6＝24.2．8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有________种排法．【解析】依据前排甲、乙，后排丙，其余5人的依次考虑，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝5760种．答案：57603．7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的依次站，有多少种不同的站法？【解析】7人全排列中，4名男生不考虑身高依次的站法有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，所以共有2eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝420种不同的站法．类型三排列问题的综合应用(数学建模、数学运算)1．(2024·柳州高二检测)某单位支配7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二人支配在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的支配方法有()A．120种B．240种C．360种D．720种2．从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成________个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中有实根的方程有________个．3．由四个不同数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数，(1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？(2)若x＝0，其中的偶数共有多少个？(3)若x≠0且全部这些三位数的各位数字之和是252，求x.【解析】1.选D.依据题意：甲只能在2，4，6这三天值班，共三种状况，又甲、乙二人支配在相邻两天，甲确定后，乙有两种选择，其余5人没有限制，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))种状况，故不同的支配方法有3×2×Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝720种．2．先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种．由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝48个．方程要有实根，必需满意Δ＝b2－4ac≥0.分类探讨如下：当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种；当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种．此时共有(Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝18(个).答案：48183．(1)若x＝5，则末位为5的三位数共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6个，即能被5整除的共有6个．(2)若x＝0，当末位是0时，三位数共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6个；当末位是2或4时，三位数共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝8个，故共有6＋8＝14个．(3)4个不同的数，组成无重复数字的三位数共有4×3×2＝24个，每个数字用了3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝18次．因为全部这些三位数的各位数字之和是252，所以18×(1＋2＋4＋x)＝252，即x＝7.排列综合问题解题策略实际问题中，既要能视察出是排列问题，又要能搞清哪些是特别对象，还要依据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做肯定量的排列应用题，渐渐驾驭解决问题的基本思想．【补偿训练】A，B，C，D，E，F共6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D同学分别穿着白色和黑色文化衫，E和F分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为()A．72B．112C．160D．192【解析】选D.共有7个位置，老师站中间，两边各三个位置，两位穿白色文化衫的同学不站老师两边，且他们不能相邻，所以他们有2×2×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8种站法，其他没有限制，所以共有8×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝192种站法．课堂检测·素养达标1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最终一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种【解析】选C.第一步：排甲，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种不同的排法；其次步：排其他人，共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))种不同的排法，因此不同的演讲次序共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝480种．2．有4名司机、4名售票员安