举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题4.9 函数的应用（二）-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题4.9函数的应用（二）-重难点题型精讲1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点①二次函数的零点

一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点.②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.

③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.

④反比例函数y=(k≠0)没有零点.

⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.

⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.

⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；

​​​​​​​否则重复步骤2~4.【题型1求函数的零点】【方法点拨】(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函数y=f(x)的零点.(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.【例1】（2022·全国·高一课时练习）函数fx=logA．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）若32是函数fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【变式1-2】（2022·河北·高一开学考试）函数y=x2−4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【变式1-3】（2021·全国·高一课时练习）函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x−2的零点之差的绝对值不超过0.25A．f(x)=4x−1 B．f(x)=C．f(x)=4x−1−1【题型2函数零点存在定理的应用】【方法点拨】确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对应的函数值是否异号.【例2】（2022·内蒙古·高一阶段练习（文））函数fx=6A．0，1 B．1，2 C．【变式2-1】（2022·全国·模拟预测（文））函数f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【变式2-2】（2022·天津·模拟预测）函数y=lnx−2A．(1e,1)C．(2,e) 【变式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函数f(x)=−x2+(k−1)x+1−k在区间(−1,0)和(0,2)上各有一个零点，则实数kA．12,1 B．1,32 C．【题型3利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】【方法点拨】函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准确找到交点所在的位置.【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））函数f(x)=lnx−xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知函数fx=e−x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数fx=2x,0⩽x⩽1,ln−x,x<0,若关于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3] 【变式3-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=−log2(x+1)．若关于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．16,【题型4用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】【方法点拨】根据二分法的步骤进行求解，即可确定.【例4】（2021·全国·高一课前预习）方程x3−2x2+3x−6=0A．−2,1上 B．52,4上 C．1,74上【变式4-1】（2021·四川省高一阶段练习）用二分法求函数f(x)=x+lgx−2的零点，可以取的初始区间是（A．(0,1) B．(1,2) C．【变式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是（

）A．[−2,−1] B．[−1,1] C．[2,4] D．[5,6]【变式4-3】（2021·湖北·高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，则方程的根落在区间（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定【题型5用二分法求方程的近似解】【方法点拨】由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解.【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151则方程x3−x−1=0的一个近似根（误差不超过0.05）为（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数f(x)=x3+x2f(1)=−2f(1.5)=0.625f(1.25)≈−0.984f(1.375)≈−0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【变式5-2】（2021·广东·高一阶段练习）若函数fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f1=−2

ff1.375=−0.260

f那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【题型6用二分法求函数的近似值】【方法点拨】用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小零点所在区间的过程，有时也利用数轴来表示这一过程.【例6】（2022·陕西·模拟预测（理））某同学用二分法求函数fx=2x+3x−7的零点时，计算出如下结果：fA．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B．1.375是满足精度为0.1的近似值C．1.4375是满足精度为0.01的近似值D．1.25是满足精度为0.1的近似值【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数fx=x5+8x3A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，C．0.5,1，f0.75 D．0,0.5，【变式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函数fxx10.50.750.6250.5625f0.6321−0.10650.27760.0897−0.007那么函数fx的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（

）A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．【变式6-3】（2021·全国·高一专题练习）用二分法求函数fx的一个正实数零点时，经计算，f0.54<0，f0.72>0，fA．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6专题4.9函数的应用（二）-重难点题型精讲1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点①二次函数的零点一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=+bx+c(a≠0)的零点.②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.④反比例函数y=(k≠0)没有零点.⑤指数函数y=(a>0,且a≠1)没有零点.⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.⑦幂函数y=,当a>0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．二分法(1)二分法的定义：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.(3)用二分法求方程的近似解：用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；​​​​​​​否则重复步骤2~4.【题型1求函数的零点】【方法点拨】(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)=0，它的实数根就是函数y=f(x)的零点.(2)几何法或性质法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点；因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)=0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)=0，从而y=f(x)的零点是0.【例1】（2022·全国·高一课时练习）函数fx=logA．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【解题思路】令fx=0，解对数方程，求出【解答过程】令fx=log3x−1−2=0，即log3故选：A.【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）若32是函数fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【解题思路】由32是函数fx=2x2【解答过程】因为32是函数fx=2x2−ax+3的一个零点，所以f32=2×32故选：A．【变式1-2】（2022·河北·高一开学考试）函数y=x2−4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【解题思路】令fx【解答过程】解：令x2−4x+3=0，解得x=1或故选：C．【变式1-3】（2021·全国·高一课时练习）函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x−2的零点之差的绝对值不超过0.25A．f(x)=4x−1 B．f(x)=C．f(x)=4x−1−1【解题思路】根据题意，画出函数y1=4x与函数y2【解答过程】由题意，函数g(x)=4x+2x−2，令g(x)=0画出函数y1=4当x=0.5时，y1可得g(x)的零点在区间(0，对于A中，函数f(x)=4x−1，令f(x)=0，解得x=0.25；对于B中，函数f(x)=(x−1)2，令f(x)=0，解得对于C中，函数f(x)=4x−1−1，令f(x)=0对于D中，函数f(x)=x4−1，令f(x)=0故选：A.【题型2函数零点存在定理的应用】【方法点拨】确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，通常利用函数零点存在定理将问题转化为判断区间的两个端点对应的函数值是否异号.【例2】（2022·内蒙古·高一阶段练习（文））函数fx=6A．0，1 B．1，2 C．【解题思路】先判断出函数的单调性，然后得出f3【解答过程】由y=6x在0,+∞上单调递减，y=所以函数fx=6又f3所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C.【变式2-1】（2022·全国·模拟预测（文））函数f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】由函数的单调性与零点存在性定理判断【解答过程】易得函数f(x)=2x+又f(0)=−2<0,f(1)=1>0，所以f(0)f(1)<0，故函数f(x)=2x+故选：B.【变式2-2】（2022·天津·模拟预测）函数y=lnx−2A．(1e,1)C．(2,e) 【解题思路】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【解答过程】解：y=fx=ln又y=lnx与y=−2所以fx=ln又f1=ln1−2=−2<0，所以f2⋅fe<0，所以故选：C.【变式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函数f(x)=−x2+(k−1)x+1−k在区间(−1,0)和(0,2)上各有一个零点，则实数kA．12,1 B．1,32 C．【解题思路】利用零点存在定理列不等式组，即可求解.【解答过程】因为函数f(x)=−x2+(k−1)x+1−k在区间(−1,0)和(0,2)所以f(−1)=−1−(k−1)+1−k<0f(0)=1−k>0解得12所以实数k的取值范围是12故选：A.【题型3利用图象交点来处理函数零点（方程的根）问题】【方法点拨】函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的行生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要准确把握各类函数的性质，画出函数简图，准确找到交点所在的位置.【例3】（2022·江西·高三阶段练习（文））函数f(x)=lnx−xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】当x>0时，将函数f(x)的零点个数转化为函数y=lnx与函数y=x2−2x，在x∈【解答过程】当x>0时，f(x)=0⇒ln则函数f(x)的零点个数为函数y=lnx与函数y=x作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当x>0时，函数f(x)的零点有两个，当x≤0时，f(x)=x2−2x−3=0，可得x=−1即当x≤0时，函数f(x)的零点有一个；综上，函数f(x)的零点有三个.故选：C.【变式3-1】（2022·四川·高二阶段练习（文））已知函数fx=e−x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【解题思路】将问题转化为方程f2x−10fx+m=0有四个不等实根，令t=fx，可知t2−10t+m=0有两个不等实根t1【解答过程】gx有四个零点等价于方程f作出fx令t=fx，则t2−10t+m=0即Δ=100−4m>0，解得：m<25要使gx有四个零点，则需fx与y=t在图象中平移直线y=t1和y=t2，要使fx与y=t1∴42−10×4+m≥0综上所述：实数m的取值范围为24,25.故选：A.【变式3-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数fx=2x,0⩽x⩽1,ln−x,x<0,若关于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3] 【解题思路】画出f(x)的图象，根据f(x)=t并讨论t研究其实根的分布情况，将问题化为ℎ(t)=t2−at+2【解答过程】如图，画出f(x)的图象，设f(x)=t结合图象知：当t<1或t>2时f(x)=t有且仅有1个实根；当1≤t≤2时f(x)=t有2个实根；问题转化为ℎ(t)=t2−at+2从而{ℎ(1)=3−a≥0ℎ(2)=6−2a≥01≤故选：D.【变式3-3】（2022·江苏·高三阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=−log2(x+1)．若关于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．16,【解题思路】根据题意和函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数奇偶性求出函数gx=fx+fx分别在0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3、【解答过程】因为fx+1是偶函数，所以函数fx的对称轴为x=1，而fx所以有−fx=f−x，因此有f(x)=−f(x+2)，所以f(x)=f(x+4)，因此函数f设gx易知y=g(x)是偶函数，且当x≥0时，gx所以gx+4因此有：当0≤x≤1时，gx当1<x≤2时，gx当2<x≤3时，gx当3<x≤4时，gx作出函数gx关于x的方程gx等价于函数y=g(x)的图象与直线y=mx+2有5个不同的交点，当直线y=mx+2过点(−12,0)时，有6个交点，此时m=1当直线y=mx+2过点(−8,0)时，有4个交点，此时m=1所以当16,14时，函数故选：B.【题型4用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】【方法点拨】根据二分法的步骤进行求解，即可确定.【例4】（2021·全国·高一课前预习）方程x3−2x2+3x−6=0A．−2,1上 B．52,4上 C．1,74上【解题思路】设f(x)=x3−2x2+3x−6，运用二分法，依次计算f(−2)，f(4)，【解答过程】解析：设f(x)=x则f(−2)=−8−8−6−6=−28<0，f(4)=64−32+12−6=38>0，因为−2+42=1且f(1)=1−2+3−6=−4<0，所以函数f(x)在又因为1+42=52且f(5又因为1+522=74且即方程的根必在74故选：D.【变式4-1】（2021·四川省高一阶段练习）用二分法求函数f(x)=x+lgx−2的零点，可以取的初始区间是（A．(0,1) B．(1,2) C．【解题思路】根据二分法求函数零点的条件，结合f(x)即可判断和选择.【解答过程】因为y=x,y=lgx是单调增函数，故又f1=−1,f2故选：B.【变式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是（

）A．[−2,−1] B．[−1,1] C．[2,4] D．[5,6]【解题思路】根据二分法求函数零点的步骤，结合已知条件进行分析，即可判断.【解答过程】第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2],[2,6]；第三次所取的区间可能是[−2,0],[0,2],[2,4],[4,6].故选：C.【变式4-3】（2021·湖北·高一阶段练习）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，则方程的根落在区间（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定【解题思路】根据零点存在性定理即可确定零点所在区间.【解答过程】∵f（1）<0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f(x)=3x+3x﹣8存在一个零点又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，∴在区间（1.25，1.5）内函数f(x)=3x+3x﹣8存在一个零点，由此可得方程3x故选：B.【题型5用二分法求方程的近似解】【方法点拨】由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解.【例5】（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151则方程x3−x−1=0的一个近似根（误差不超过0.05）为（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【解题思路】由零点存在性定理即可求解.【解答过程】因为f1.3125<0，f1.375>0，且fx为连续函数，所以由零点存在定理知区间（1.3125，1.375）内存在零点，又1.3125−1.375故选：B.【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数f(x)=x3+x2f(1)=−2f(1.5)=0.625f(1.25)≈−0.984f(1.375)≈−0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解题思路】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.【解答过程】解：因为f(1.375)<0，f(1.4375)>0，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的一个近似根为1.4．故选：C.【变式5-2】（2021·广东·高一阶段练习）若函数fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【解题思路】根据零点存在定理判断求解．【解答过程】由表格结合零点存在定理知零点在(1.40625,1.4375)上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，故选：D．【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f1=−2

ff1.375=−0.260

f那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【解题思路】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可【解答过程】由所给数据可知，函数f(x)在区间(1,1.5)内有一个根，因为f1.5=0.625>0，所以根在(1.25,1.5)内，因为1.5−1.25=0.25>0.1继续取区间中点1.375，因为f1.375=−0.260<0，所以根在区间(1.375,1.5)，因为1.5−1.375=0.125>