举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题4.5 对数-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题4.5对数-重难点题型精讲1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.

用图表示为：2．常用对数与自然对数3．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：4．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型1对数的运算性质的应用】【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【变式1-1】（2022·天津·高考真题）化简(2log43+A．1 B．2 C．4 D．6【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）计算：2lg5−A．10 B．1 C．2 D．lg【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）化简1og62A．−log62 B．−log6【题型2换底公式的应用】【方法点拨】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知a=lg2，b=lg3，则log36A．2a+2bC．2−2aa+【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知log23=m，log37=A．mn+3mn+1 B．m+n+3【变式2-2】（2022·安徽·安庆市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log365，则A．2a+2b1−a B．1−a【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，则logca的值为（）A．45 B．35 C．54【题型3指数式与对数式的互化】【方法点拨】根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.【例3】（2021·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式7x=9等价的是（A．log7x=9 B．log9x=7【变式3-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【变式3-2】（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（

）A．e0=1与ln1=0 B．log39=2与91C．8-13=12与log812=-13【变式3-3】（2022·湖南·高一课时练习）将13−2=9A．log913=−2；C．log139=−2； 【题型4指、对数方程的求解】【方法点拨】解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模拟）方程lnlog3xA．1 B．2 C．e D．3【变式4-1】（2021·全国·高一专题练习）方程log2A．12 B．14 C．22【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【变式4-3】（2022·陕西·高一阶段练习）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7⋅lg5=0的两根为α、A．135 B．lg35 C．lg7⋅lg5 D．【题型5带附加条件的指、对数问题】【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x−1【变式5-1】（2022·天津市高二期末）计算下列各题：(1)已知2a=5(2)求2log【变式5-2】（2022·辽宁·高一开学考试）已知3a=5，(1)27a(2)a+【变式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x−2y（2）已知a+a−1=7，分别求a2【题型6对数的实际应用】【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【例6】（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0为DNA的初始数量，A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【变式6-1】（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（

）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）A．12 B．11 C．10 D．9【变式6-2】（2022·河南安阳·高三开学考试（理））香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C=Blog21+SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（WA．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍【变式6-3】（2022·陕西·长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T−Ta=12tℎT0−Ta，A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟专题4.5对数-重难点题型精讲1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.

用图表示为：2．常用对数与自然对数3．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：4．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型1对数的运算性质的应用】【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【解题思路】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.【解答过程】因为lg4+2lg5=lg4+lg5log28=所以lg4+2lg5+log故选：B.【变式1-1】（2022·天津·高考真题）化简(2log43+A．1 B．2 C．4 D．6【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.【解答过程】原式=(2×=4故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）计算：2lg5−A．10 B．1 C．2 D．lg【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.【解答过程】2lg故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）化简1og62A．−log62 B．−log6【解题思路】运用对数的运算性质即可求解.【解答过程】解析：log故选：A.【题型2换底公式的应用】【方法点拨】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知a=lg2，b=lg3，则log36A．2a+2bC．2−2aa+【解题思路】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．【解答过程】因为a=lg2，blog36故选：D.【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知log23=m，log37=A．mn+3mn+1 B．m+n+3【解题思路】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.【解答过程】由换底公式得：log27=log23⋅log37=mn，故选：C.【变式2-2】（2022·安徽·安庆市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log365，则A．2a+2b1−a B．1−a【解题思路】利用换底公式即可求解.【解答过程】由题意知log36故选:D．【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，则logca的值为（）A．45 B．35 C．54【解题思路】利用对数的运算性质以及换底公式将等式logabc+logbc＝5化简变形，即可得到答案．【解答过程】5＝loga（bc）+logbc＝logab+logac+logbc，5=15=log5=35=4解得logc故选：A．【题型3指数式与对数式的互化】【方法点拨】根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.【例3】（2021·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式7x=9等价的是（A．log7x=9 B．log9x=7【解题思路】根据指数式和对数式的关系即可得出.【解答过程】根据指数式和对数式的关系,7x=9等价于故选：C.【变式3-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【解题思路】对数式改写为指数式，再由幂的运算法则计算．【解答过程】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．故选：D．【变式3-2】（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（

）A．e0=1与ln1=0 B．log39=2与91C．8-13=12与log812=-13【解题思路】利用指对互化公式进行互化，得出结果.【解答过程】对于A，e0=1可化为0=loge1=ln1，所以A中互化正确；对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；对于C，8-13=12可化为log8对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.故选：B.【变式3-3】（2022·湖南·高一课时练习）将13−2=9A．log913=−2；C．log139=−2； 【解题思路】根据指数式和对数式间的互化公式求解即可．【解答过程】根据对数的定义和13故选：C．【题型4指、对数方程的求解】【方法点拨】解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模拟）方程lnlog3xA．1 B．2 C．e D．3【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果.【解答过程】∵lnlog3x=0，∴log故选：D.【变式4-1】（2021·全国·高一专题练习）方程log2A．12 B．14 C．22【解题思路】把对数式化为指数式即可得出．【解答过程】方程log2x=1故选：D．【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【解题思路】结合指数运算化简已知条件，求得2x，再求得x【解答过程】方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故选：C.【变式4-3】（2022·陕西·高一阶段练习）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7⋅lg5=0的两根为α、A．135 B．lg35 C．lg7⋅lg5 D．【解题思路】利用根与系数的关系和对数的运算性质直接求得.【解答过程】由题意知，lgα、lgβ是一元二次方程依据根与系数的关系得lgα+lgβ=−(lg7+lg5)，lg(故选：A.【题型5带附加条件的指、对数问题】【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x−1【解题思路】（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算求出a，再根据乘法公式求出x−【解答过程】（1）解：由loga3=m，loga2=因此am（2）解：∵m+n=log32+1=log3于是x−由0<x<1知x−∴x2【变式5-1】（2022·天津市高二期末）计算下列各题：(1)已知2a=5(2)求2log【解题思路】（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；【解答过程】(1)解：因为2a=5b=所以1a=log所以1a(2)解：2====2lg3【变式5-2】（2022·辽宁·高一开学考试）已知3a=5，(1)27a(2)a+【解题思路】（1）根据指数的运算化简求值即可；（2）根据对数的运算性质及换底公式求解即可.【解答过程】(1)由b=log25∴27(2)∵3∴a∴=(log【变式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x−2y（2）已知a+a−1=7，分别求a2【解题思路】（1）利用对数式的运算化简后，变形即可得出xy=1或xy（2）将等式两边平方即可求处a2+a−2；先算出(a【解答过程】（1）要使对数式有意义，必须满足{x在此前提下，原等式可化为lg(从而(x−2y因为y>0，上式等号两边同除以y2，得解得xy=1当xy=1时，当xy=4时，x−2（2）将a+a−1得a2（a由a+a−1=7知a>0a=(=3×(7−1)=18.【题型6对数的实际应用】【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【例6】（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0为DNA的初始数量，A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【解题思路】由题意Xn【解答过程】解：由题意知，lg(1000X即lg10即3+lgX所以1+p=10故