举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题1.1集合的概念-重难点题型精讲1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．4．常用的数集及其记法5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型1集合的基本概念】【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．【例1】（2021秋•雨花区期末）下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值【变式1-1】（2021秋•鲤城区校级期中）以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形【变式1-2】（2021春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数 B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家【变式1-3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【题型2判断元素与集合的关系】【方法点拨】直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（）①12∈Q；②2∉R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【变式2-2】（2021秋•岳阳期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．﹣1∈N B．0∉N* C．3∈Q D．【变式2-3】（2021秋•绿园区校级月考）设集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x∉B，则x的值为（）A．2 B．3 C．5 D．6【题型3利用集合中元素的特异性求参数】【方法点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例3】（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【变式3-1】（2021秋•兴宁区校级月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【变式3-2】（2021秋•大安市校级月考）已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，那么a为（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【变式3-3】（2021春•西湖区期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【题型4用列举法表示集合】【方法点拨】①求出集合的元素；②把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．③用花括号括起来．【例4】（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【变式4-1】（2021秋•昌吉州期末）集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【变式4-2】（2021秋•重庆月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列举法表示为（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【变式4-3】（2021秋•番禺区校级期中）将集合{（x，y）|x+y=52x−y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【题型5用描述法表示集合】【方法点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【例5】（2021秋•金山区校级期中）用描述法表示所有偶数组成的集合．【变式5-1】（2021秋•浦东新区校级月考）用描述法表示被5整除的整数组成的集合．【变式5-2】（2021秋•长宁区校级月考）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合．【变式5-3】（2020秋•徐汇区校级月考）平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为．【题型6集合中的新定义问题】【方法点拨】根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合的相关知识，进行转化求解即可.【例6】（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式6-1】（2021秋•秦淮区校级月考）设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4 B．5 C．19 D．20【变式6-2】（2021秋•黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【变式6-3】（2021秋•黄陵县校级月考）定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{2，0}，B＝{0，8}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）A．16 B．18 C．20 D．22专题1.1集合的概念-重难点题型精讲1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．4．常用的数集及其记法5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型1集合的基本概念】【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．【例1】（2021秋•雨花区期末）下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数 B．π的近似值 C．方程x2＝1的实数根 D．函数y＝x2，x∈R的最小值【解题思路】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．【解答过程】解：A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；B、π的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合；C、方程x2＝1的实数根为﹣1，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D、函数y＝x2，x∈R的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；故选：B．【变式1-1】（2021秋•鲤城区校级期中）以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形【解题思路】根据集合元素的特点：互异性、确定性、无序性，判断各选项即可．【解答过程】解：对于选项A：中国古代四大发明是指指南针、造纸术、印刷术、火药，满足集合元素的特征，构成集合；对于选项B：地球上的小河流，没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．对于选项C：方程x2﹣7＝0的实数解为±7，满足集合元素的特征，构成集合；对于选项D：周长为10cm的三角形也有明确的判断标准，满足集合元素的特征，构成集合；故选：B．【变式1-2】（2021春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数 B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家【解题思路】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可．【解答过程】解：对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误，对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确，对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误，对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误，故选：B．【变式1-3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】根据集合的元素的确定性可判断①②是错误的，根据集合的定义即可判断③④正确．【解答过程】解：因为集合的元素必须是确定的，而①②中的数没有标准，故①②不能构成集合，根据集合的定义可判断③④可以构成集合，故选：A．【题型2判断元素与集合的关系】【方法点拨】直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（）①12∈Q；②2∉R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合的关系进行判断．【解答过程】解：①12∈Q正确，②2∉R不正确，③0∈N*不正确，④π∈故选：A．【变式2-1】（2021秋•桂林期末）下列关系中，正确的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【解题思路】根据元素与集合的关系，用∈∉符号，可得结论．【解答过程】解：根据元素与集合的关系，用∈∉符号，﹣2∉{0，1}，32∉Z，π∈R，5∉∅，可知C故选：C．【变式2-2】（2021秋•岳阳期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．﹣1∈N B．0∉N* C．3∈Q D．【解题思路】根据集合N，N*，Q，R的元素的性质对应各个选项即可判断求解．【解答过程】解：选项A：因为集合N中没有负数，故A错误，选项B：因为集合N*中的元素是所有正整数，故B正确，选项C：因为集合Q表示所有有理数，故C错误，选项D：R为实数集，25是实数，故D故选：B．【变式2-3】（2021秋•绿园区校级月考）设集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x∉B，则x的值为（）A．2 B．3 C．5 D．6【解题思路】利用x与集合A和集合B的关系确定x的值．【解答过程】解：∵x∈{2，3，5}，∴x＝2或x＝3或x＝5．∵x∉{2，3，6}，∴x≠2且x≠3且x≠6，∴x＝5．故选：C．【题型3利用集合中元素的特异性求参数】【方法点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例3】（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【解题思路】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．【解答过程】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），故选：C．【变式3-1】（2021秋•兴宁区校级月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【解题思路】利用集合与元素的关系，可得：a＝1或a＝a2﹣2a+2，再利用集合中元素的互异性进行判断即可．【解答过程】解：a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a＝1或a＝a2﹣2a+2，当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1（舍去）；或a＝2；故选：B．【变式3-2】（2021秋•大安市校级月考）已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，那么a为（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【解题思路】根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有2、4，从而得到a的值．【解答过程】解：集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，a＝2∈A，6﹣a＝4∈A，∴a＝2，或者a＝4∈A，6﹣a＝2∈A，∴a＝4，综上所述，a＝2，4．故选：B．【变式3-3】（2021春•西湖区期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【解题思路】由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．【解答过程】解：∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．【题型4用列举法表示集合】【方法点拨】①求出集合的元素；②把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．③用花括号括起来．【例4】（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【解题思路】化简集合，将元素一一列举出来即可．【解答过程】解：集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．故选：D．【变式4-1】（2021秋•昌吉州期末）集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解题思路】根据x∈N*，63−x∈N∗可得出x的取值分别为1，2，从而得出A＝{1，【解答过程】解：∵x∈N*，63−x∴A＝{1，2}．故选：B．【变式4-2】（2021秋•重庆月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列举法表示为（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【解题思路】先求出不等式的解，结合数的范围即可求解．【解答过程】解：{x∈N|x﹣4＜1}＝{x∈N|x＜5}＝{0，1，2，3，4}．故选：A．【变式4-3】（2021秋•番禺区校级期中）将集合{（x，y）|x+y=52x−y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【解题思路】本题考查的是集合的表示方法．在解答时应先分析元素所具有的公共特征，通过解方程组即可获得问题的解答．注意元素形式为有序实数对．【解答过程】解：解方程组：x+y=52x−y=1可得：x=2∴集合{(x，故选：B．【题型5用描述法表示集合】【方法点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【例5】（2021秋•金山区校级期中）用描述法表示所有偶数组成的集合{x|x＝2n，n∈Z}．【解题思路】根据描述法的定义即可求出．【解答过程】解：描述法为：{x|x＝2n，n∈Z}．故答案为：{x|x＝2n，n∈Z}．【变式5-1】（2021秋•浦东新区校级月考）用描述法表示被5整除的整数组成的集合{x|x＝5k，k∈Z}．【解题思路】利用集合的描述法的定义求解即可．【解答过程】解：用描述法表示被5整除的整数组成的集合为{x|x＝5k，k∈Z}，故答案为：{x|x＝5k，k∈Z}．【变式5-2】（2021秋•长宁区校级月考）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合{x|x＝3k+2，k∈N}．【解题思路】根据集合描述法的定义即可求出结果．【解答过程】解：用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N}，故答案为：{x|x＝3k+2，k∈N}．【变式5-3】（2020秋•徐汇区校级月考）平面直角坐标系中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为{（x，y）|xy＝0}．【解题思路】根据描述法的表示方法，不难求出答案．【解答过程】解：平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合表示为{（x，y）|xy＝0}，故答案为：{（x，y）|xy＝0}．【题型6集合中的新定义问题】【方法点拨】根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合的相关知识，进行转化求解即可.【例6】（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】由集合的定义代入写出所有元素即