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专题4.6等差数列的前n项和公式(重难点题型检测)【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间:60分钟;满分:100分姓名:___________班级:___________考号:___________考卷信息:本卷试题共22题,单选8题,多选4题,填空4题,解答6题,满分100分,限时60分钟,本卷题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可衡量学生掌握本节内容的具体情况!一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2022·四川省模拟预测(文))已知Sn是等差数列an的前n项和,若S9=36,则A.3 B.4 C.6 D.82.(3分)(2022·陕西·高二阶段练习(理))已知等差数列an的前n项和为Sn.若S4=6,S8A.35 B.42 C.24 D.633.(3分)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnA.12 B.712 C.584.(3分)(2022·陕西咸阳·高二期中(文))设等差数列an的前n项和为Sn,a3+a5=−18,SA.11或12 B.12 C.13 D.12或135.(3分)(2022·重庆·高一阶段练习)设{an}是等差数列,a1>0,a2007+a2008A.4013 B.4014 C.4015 D.40166.(3分)(2022·全国·高三专题练习)等差数列an的前n项和为Sn,若S20212021=A.an=2n+1 C.Sn=2n7.(3分)(2022·四川·高二阶段练习(文))已知等差数列an的前n项和为Sn,则(A.若S9>S8,S9>S10,则S17>0,C.若S17>0,S18<0,则a17>0,a18<0 8.(3分)(2022·江苏·高二期末)风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图2是某风雨桥亭的大致俯视图,其中正六边形的边长的计算方法如下:A1B1=A0B0−B0B1,A2BA.120m B.210m C.130m D.310m二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·福建省高二阶段练习)等差数列an中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点A. B. C. D.10.(4分)(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且n+1Sn=A.2 B.3 C.4 D.511.(4分)(2023·全国·高三专题练习)在等差数列{an}中,其前n的和是Sn,若a1A.{an}是递增数列C.当Sn取最小值时,n的值只能是3 D.Sn12.(4分)(2022·全国·高二专题练习)已知数列an满足:a1=1,an+2=2an+1A.Sn的通项公式可以是B.若a3,a7为方程xC.若S4SD.若S4=S8,则使得三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·上海市高三开学考试)若Sn为等差数列an的前n项和,且a1+a5=22,14.(4分)(2021·天津市高二期末)已知等差数列an的通项公式为an=-2n+11,其前n项和为Sn,则当15.(4分)(2021·江西南昌·高一期中)各项不全为0的等差数列an,前n项和为Sn.若S100=S10416.(4分)(2022·江苏·高二期末)我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题:今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量变化均匀,问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中,九节总容量是.四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022·全国·高二课时练习)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,18.(6分)(2022·广西·高二期中(文))等差数列an,S11=−11(1)求通项公式和前n项和公式;(2)当n取何值时,前n项和最大,最大值是多少.19.(8分)(2022·上海市高三阶段练习)公差不为零的等差数列an满足a(1)求an(2)记an的前n项和为Sn,求使Sn20.(8分)(2022·全国·高二课时练习)已知一个等差数列an(1)求S12、S(2)通过计算观察,寻找S4、S8、S12(3)根据上述结论,请你归纳出对于等差数列而言的一般结论,并证明.21.(8分)(2021·全国·高二课时练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围,并求{Sn}的最大(或最小)的项;(3){Sn}有多少项大于零?22.(8分)(2022·浙江·高三期中)流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病,秋冬季节是其高发期,其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感,据资料统计,12月1日该市新增患者有20人,此后12月的某一段时间内,每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此,该市医疗部门紧急采取措施,有效控制了病毒传播.从12月的某天起,每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天,该市新增患者人数最多.(1)求第n天的新增患者人数(结果用n表示);(2)求前n天的新增患者的人数之和(结果用n表示);(3)若截止12月30日,该市30天内新增患者总共有8670人,求n的值.专题4.6等差数列的前n项和公式(重难点题型检测)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)1.(3分)(2022·四川省模拟预测(文))已知Sn是等差数列an的前n项和,若S9=36,则A.3 B.4 C.6 D.8【解题思路】用等差数列前n项和的公式展开,结合等差数列的性质,整体代入即可得到..【解答过程】因为数列an为等差数列,∴a1+a故选:B.2.(3分)(2022·陕西·高二阶段练习(理))已知等差数列an的前n项和为Sn.若S4=6,S8A.35 B.42 C.24 D.63【解题思路】根据等差数列an的前n项和Sn满足【解答过程】因为等差数列an的前n项和为Sn,故S4,S故选:C.3.(3分)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且SnA.12 B.712 C.58【解题思路】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式求得正确答案.【解答过程】a5b5由题意可得S9故选:B.4.(3分)(2022·陕西咸阳·高二期中(文))设等差数列an的前n项和为Sn,a3+a5=−18,SA.11或12 B.12 C.13 D.12或13【解题思路】设等差数列an的公差为d,根据题意求得首项与公差,从而可求得数列的通项,令an≤0【解答过程】设等差数列an的公差为d因为a3+a则有2a1+6d=−18所以an令an=n−13≤0,则又a13=0,所以当n=12或13时,故选:D.5.(3分)(2022·重庆·高一阶段练习)设{an}是等差数列,a1>0,a2007+a2008A.4013 B.4014 C.4015 D.4016【解题思路】由题意利用等差数列的性质可得a2007>0,且a2008<0,推出S4013>0,【解答过程】因为首项为正数的等差数列an满足:a2007+所以{a所以a2007>0,且所以a1+a由Sn=n(a1又因为a2007+a故选:B.6.(3分)(2022·全国·高三专题练习)等差数列an的前n项和为Sn,若S20212021=A.an=2n+1 C.Sn=2n【解题思路】等差数列前n项和Sn构成的数列{S【解答过程】设an的公差为d∵S∴Sn即{Snn}为等差数列,公差为由S20212021−故an故选:A.7.(3分)(2022·四川·高二阶段练习(文))已知等差数列an的前n项和为Sn,则(A.若S9>S8,S9>S10,则S17>0,C.若S17>0,S18<0,则a17>0,a18<0 【解题思路】根据等差数列前n项和、通项公式的知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.【解答过程】设等差数列an的公差为dA选项,若S9>S8,S9>SS17=aS18B选项,S17=a所以S8+aS18=a所以S9>SC选项,若S17>0,S18S17=aS18=a则a1>0,dD选项,若a17>0,a18当1≤n≤17,n∈N但S18故选:B.8.(3分)(2022·江苏·高二期末)风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图2是某风雨桥亭的大致俯视图,其中正六边形的边长的计算方法如下:A1B1=A0B0−B0B1,A2BA.120m B.210m C.130m D.310m【解题思路】由题意得图2中五个正六边形的边长(单位:m)构成以a1=8为首项,d=−0.5为公差的等差数列ak【解答过程】由已知得AnBn=AB3以a1=8为首项,d=−0.5为公差的等差数列设数列akk∈N∗,1≤k≤5所以图2中的五个正六边形的周长总和为6S故选:B.二.多选题(共4小题,满分16分,每小题4分)9.(4分)(2022·福建省高二阶段练习)等差数列an中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点A. B. C. D.【解题思路】等差数列的前n项和关于n的二次函数,根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向,可判断A,B;判断图象对称轴位置,判断C,D,即可到答案.【解答过程】∵等差数列{an}中,a1>0,公差d<0∴S∴点(n,Sn)∵d<0,∴二次函数开口向下,故A,B不可能;∵对称轴x=−a∴对称轴在y轴的右侧,故C可能,D不可能.故选:ABD.10.(4分)(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,且n+1Sn=A.2 B.3 C.4 D.5【解题思路】首先利用等差数列前n项和公式,求出an与S2n−1之间的关系,进而可求出【解答过程】由题意,可得Sn∵an和b∴S2n−1同理,T2n−1∴an若anbn为整数,则只需n=1,2,4故选:AC.11.(4分)(2023·全国·高三专题练习)在等差数列{an}中,其前n的和是Sn,若a1A.{an}是递增数列C.当Sn取最小值时,n的值只能是3 D.Sn【解题思路】由公差的正负性判断等差数列的单调性,由首项、公差写出等差数列通项公式,进而可得前n项和公式,即可判断各选项的正误.【解答过程】由d=3>0,可知等差数列{a由题设,anSn故当n=3或4时,Sn取最小值且为−18故选:ABD.12.(4分)(2022·全国·高二专题练习)已知数列an满足:a1=1,an+2=2an+1A.Sn的通项公式可以是B.若a3,a7为方程xC.若S4SD.若S4=S8,则使得【解题思路】根据an+2=2an+1−an求出a1利用韦达定理可得a3+a根据S4S2根据S4=S8求得公差,从而可求得【解答过程】解:因为an+2=2a所以数列an是等差数列,设公差为d,则S对于A,若Sn=n2−n+1所以a3−a对于B,若a3,a7为方程x2即2a1+8d=−6,解得d=−1所以a6=−4,a对于C,S4S2所以S8对于D,由S4=S8,得所以Sn由Sn>0,即−1所以正整数n的最大值为11,故D正确.故选:BD.三.填空题(共4小题,满分16分,每小题4分)13.(4分)(2022·上海市高三开学考试)若Sn为等差数列an的前n项和,且a1+a5=22,Sn【解题思路】根据已知,利用等差数列的性质以及通项公式求解.【解答过程】因为等差数列an满足a所以2a3=22又因为Sn所以S2=a1+所以an=a故答案为:an=4n−1,14.(4分)(2021·天津市高二期末)已知等差数列an的通项公式为an=-2n+11,其前n项和为Sn,则当【解题思路】根据通项公式,设n=k时,Sk【解答过程】n∈N*,设nak≥0ak+1≤0故当n=k=5故答案为:5.15.(4分)(2021·江西南昌·高一期中)各项不全为0的等差数列an,前n项和为Sn.若S100=S104【解题思路】根据等差数列an的前n项和可看成关于n【解答过程】因为等差数列an的前n项和为S可看成关于n的二次函数且无常数项,由二次函数的对称性及S100=S得100+1042所以k=98,S所以k+S故答案为:98.16.(4分)(2022·江苏·高二期末)我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题:今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量变化均匀,问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中,九节总容量是20122【解题思路】设由下到上九节容量分别记为a1,a2,...,【解答过程】设由下到上九节容量分别记为a1,a2,则a1+a2+a3=4,a6故S9故答案为:20122四.解答题(共6小题,满分44分)17.(6分)(2022·全国·高二课时练习)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,【解题思路】根据等差数列下标和性质得到a2+a5+【解答过程】解:∵数列an,bn为等差数列,且前n项和分别为An∴a2+a又AnBn=3n+1n+1,18.(6分)(2022·广西·高二期中(文))等差数列an,S11=−11(1)求通项公式和前n项和公式;(2)当n取何值时,前n项和最大,最大值是多少.【解题思路】(1)根据等差中项可得S11=11a6=−11(2)a6=−1,a5=2知当n=5时,前【解答过程】(1)由Sn为等差数列an的前n项和,则S11an=aSn(2)由an=17−3n,则数列由a6=−1<0,a5=2>0,则当n=5时,19.(8分)(2022·上海市高三阶段练习)公差不为零的等差数列an满足a(1)求an(2)记an的前n项和为Sn,求使Sn【解题思路】(1)根据等差数列公式,代入计算得到答案.(2)根据等差数列求和公式,考虑两种情况,代入数据得到不等式,解得答案.【解答过程】(1)a15=a3a5,即故an=3n−5(2)当an=3n−5时,Sn<an,即3n当an=1Sn<an,即18综上所述:当an=3n−5时,n=3;当an20.(8分)(2022·全国·高二课时练习)已知一个等差数列an(1)求S12、S(2)通过计算观察,寻找S4、S8、S12(3)根据上述结论,请你归纳出对于等差数列而言的一般结论,并证明.【解题思路】(1)设{an}公差为d,由等差数列前n项和公式列方程组求得a1和d,再计算出(2)由(1)求出S4,S8−S4(3)根据等差数列的定义证明.【解答过程】(1)设{an}公差为d,则SS12S16(2)由(1)得S4=32,S8−S所以S4,S8−S4(3)设{an}则Skt同理S(k+1)t所以(S(k+1)t−所以St,S2t−St,S21.(8分)(2021·全国·高二课时练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围,并求{Sn}的最大(或最小)的项;(3){Sn}有多少项大于零?【解题思路】(1)利用等差数列的求和公式得到Sn关于n的二次函数表达式Sn=-n2+13n,画出二次函数的图象上对应的横坐标为正整数值的点即为所求图像;(2)利用配方法,利用二次函数的性质可以得到单调性,根据单调性和对称性可以得到最大项及最大值;(3)
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