举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.2 数列的概念（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题4.2数列的概念（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第一册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列an的通项公式为an=1+−1A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．0，2，0，2 D．2，0，2，02．（3分）（2022·重庆市高二阶段练习）若数列an的前6项为：1，−23，35，−47，59A．nn+2 B．−n2n−1 C．(−1)3．（3分）（2022·甘肃庆阳·高二期末（文））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第15项是（

）A．400 B．110 C．112 D．1134．（3分）（2022·河北高三期中）已知数列an满足：a1=1且an+1+A．2 B．−12 C．0 5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列an的第n项，则a10A．45 B．55 C．66 D．676．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列an，an=A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是aC．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是a7．（3分）（2022·新疆喀什·一模（理））对于数列an，若存在正整数kk≥2，使得ak<ak−1，ak<ak+1，则称ak是数列an的“谷值”，k是数列A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，78．（3分）（2022·山西省高三阶段练习）在数列an中，对任意的n∈N∗都有an>0①.对于任意的n≥3，都有an②.对于任意a1>0，数列③.若0<a1<2④.若a1>2，则当n≥2,A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①④二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列−2021，0，B．数列{an}C．在数列1,2,D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为a10．（4分）（2023·山东省高三阶段练习）下列数列an是单调递增数列的有（

A．an=nC．an=n+211．（4分）（2022·江苏盐城·高三期中）已知Sn是an的前n项和a1=2，A．a2021=2 C．a3na3n+1a3n+2=112．（4分）（2022·福建龙岩·高二期中）对于数列an，定义：bn=an+1A．若数列an是单调递增数列，则数列bB．若bn+1=bC．若anD．若an三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·河南安阳·高二期中）已知数列an的前几项为23，55，89，1117，…，则an14．（4分）（2022·甘肃省高二期中）已知数列an中，a1=1,an+1=−15．（4分）（2022·北京·高三期中）已知正项数列an满足an+1an+1−1①若a1=2②若a1≠2，则数列a③存在a1>0，使数列④存在实数M∈0,1，使a16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①已知数列an，an=②数列2,−5,2③已知数列an，an=kn−5，且a④已知an+1=a其中正确命题的个数为．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·山西省高二阶段练习）写出下列数列的一个通项公式．(1)−11×2，12×3，−(2)22−12，32−118．（6分）（2022·辽宁·高二期末）数列{an}(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列an中，a1=2，a（1）求a3，a（2）求an的前2021项和S20．（8分）（2022·辽宁丹东·高三期中）数列an的前n项和为Sn，已知a1（1）设bn=n+1nS（2）求an21．（8分）（2022·上海徐汇·高一期末）已知数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)令bn=922．（8分）（2022·全国·高二专题练习）已知数列xn．若存在B∈R，使得xn−B为递减数列，则x(1)是否存在B∈R使得有穷数列1 ， 3 ， 2为B型数列？若是，写出(2)已知2022项的数列un中，un=−1n⋅2022−n（n∈(3)已知存在唯一的B∈R，使得无穷数列an是B型数列．证明：存在递增的无穷正整数列n1<n2专题4.2数列的概念（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知数列an的通项公式为an=1+−1A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．0，2，0，2 D．2，0，2，0【解题思路】根据数列an【解答过程】依题意，a1故选：A.2．（3分）（2022·重庆市高二阶段练习）若数列an的前6项为：1，−23，35，−47，59A．nn+2 B．−n2n−1 C．(−1)【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母上的数的规律，即可找出数列的通项公式.【解答过程】通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，故用(−1)n+1故第n项的分母为2n−1，所以数列an的通项可为a故选：D.3．（3分）（2022·甘肃庆阳·高二期末（文））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第15项是（

）A．400 B．110 C．112 D．113【解题思路】由已知数列可得n为偶数时，an=n22【解答过程】观察此数列可知，当n为偶数时，an=n22所以，a15故选：C.4．（3分）（2022·河北高三期中）已知数列an满足：a1=1且an+1+A．2 B．−12 C．0 【解题思路】由a1=1计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到【解答过程】因为a1=1，an+1所以a2=−11+a故数列an所以a2018故选：B.5．（3分）（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列an的第n项，则a10A．45 B．55 C．66 D．67【解题思路】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与a10【解答过程】由已知可得数列的递推公式为an−an−1=n，n≥2故anan−1an−2⋯a3a2等式左右两边分别相加得anana10故选：B.6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列an，an=A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是aC．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是a【解题思路】令t=n−1≥0，则n=t+1，y=t【解答过程】令t=n−1≥0，则n=t+1，y=当t=0时，y=0当t>0时，y=1t+4t+6，由双勾函数的知识可得y所以当t=2即n=3时，y取得最大值，所以此数列的最大项是a3，最小项为故选：B．7．（3分）（2022·新疆喀什·一模（理））对于数列an，若存在正整数kk≥2，使得ak<ak−1，ak<ak+1，则称ak是数列an的“谷值”，k是数列A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7【解题思路】先求出a1=2，a2=32，a3=2，a4再得到n≥7，n∈N，n+【解答过程】因为an所以a1=2，a2=32，a3=2，a4当n≥7，n∈N，n+9n因为函数y=x+9x−8所以n≥7时，数列an所以a2<a1，a2所以数列an的“谷值点”为2，7故选：C.8．（3分）（2022·山西省高三阶段练习）在数列an中，对任意的n∈N∗都有an>0①.对于任意的n≥3，都有an②.对于任意a1>0，数列③.若0<a1<2④.若a1>2，则当n≥2,A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①④【解题思路】对数列递推关系变形得到an−2=an+12−an+1−2=an+1当a1=2时，推导出此时an作差法结合0<a1<2时，0<an+1由an−2与an+1−2同号，得到当a1>2，有【解答过程】因为an+12−因为任意的n∈N∗都有an所以an−2与an+1−2同号，当0<a1<2当a1=2时，a2−2=a1−2a2an+1由A选项知：若0<a1<2所以an+1则数列an为递增数列，③由an−2与an+1−2同号，当a1且此时an+1所以数列an综上：若a1>2，则当n≥2,时，2<a故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·福建漳州·高二期中）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列−2021，0，B．数列{an}C．在数列1,2,D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为a【解题思路】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,使n(n+1)=110,即可得出项数,判断选项B的正误,根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.【解答过程】对于选项A,数列−2021，0，不是同一个数列,所以选项A不正确;对于选项B,令an解得n=10或n=−11（舍去）,所以选项B正确;对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,第8个数为8,即22所以选项C正确;对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为an=所以选项D正确.故选:BCD.10．（4分）（2023·山东省高三阶段练习）下列数列an是单调递增数列的有（

A．an=nC．an=n+2【解题思路】利用an+1【解答过程】因为n∈选项A：an+1−an=选项B：an+1−a选项C：an+1−an=n+1+选项D：an+1−a故选：BD.11．（4分）（2022·江苏盐城·高三期中）已知Sn是an的前n项和a1=2，A．a2021=2 C．a3na3n+1a3n+2=1【解题思路】推导出an+3【解答过程】因为a1=2，an=1−1an−1以此类推可知，对任意的n∈N∗，a2021S2021a3n故选：AC.12．（4分）（2022·福建龙岩·高二期中）对于数列an，定义：bn=an+1A．若数列an是单调递增数列，则数列bB．若bn+1=bC．若anD．若an【解题思路】对A：利用函数fx=x+1x单调性和举反例判断；对B：根据题意整理可得an+1=1an【解答过程】对A：fx=x+1x在−∞,−1,例如an=−1n，则bn对B：∵bn+1=b又∵an≠an+1，即an+1∴an+2=1对C：∵an=15−2n，则数列an令an=15−2n<0，则∴当n≤7时，则an≥a7=1>0,由B可得bn+1若n≤6时，则an+1an>0,a∴b1故其“倒和数列”有最大值b1对D：∵an=1−13n∴an+1an>0,a故数列bn故选：BC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·河南安阳·高二期中）已知数列an的前几项为23，55，89，1117，…，则an【解题思路】观察所给数列的规律，利用不完全归纳法求解即可.【解答过程】因为23=221+1，所以可以猜想an故答案为：3n−1214．（4分）（2022·甘肃省高二期中）已知数列an中，a1=1,an+1=−【解题思路】由a1=1求出a2=−12，a3【解答过程】因为a1=1，所以a2a4所以数列an故a2022故答案为：-2.15．（4分）（2022·北京·高三期中）已知正项数列an满足an+1an+1①若a1=2②若a1≠2，则数列a③存在a1>0，使数列④存在实数M∈0,1，使a【解题思路】化简得出an+1【解答过程】化简得，an+1对于①，a1=2，则a2=对于②，当0<a1<2，则a2=1+1当a1>2时，则a2=1+11+a1<1+2−1=2，a对于③，由an+1=1an+2−由(1+an+1)(1+an)>0，可得，若an+2<an+1，则an+1对于④，an+1=1an+1+1，当a若an≠an+1，由上知，又an为正项数列，可得，an+2−an+1an故答案为：①②④.16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①已知数列an，an=②数列2,−5,2③已知数列an，an=kn−5，且a④已知an+1=a其中正确命题的个数为4．【解题思路】令1nn+2=1120，以及数列a由a8=11，求得k=2，求得an=2n−5，可判定③正确；由【解答过程】对于①中，令1nn+2=1120所以最大项为第1项，所以①正确；对于②中，数列2，5，8，11，…的一个通项公式为an所以原数列的一个通项公式为an=−1对于③中，由an=kn−5且a8=11，即8k−5=−11，解得所以a17=29，所以对于④中，由an+1=an+3，可得a故答案为：4.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·山西省高二阶段练习）写出下列数列的一个通项公式．(1)−11×2，12×3，−(2)22−12，32−1【解题思路】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.【解答过程】（1）解：由−11×2，12×3，−13×4故该数列的通项公式可以为−1n（2）解：由22−12，32−1可得该数列的一个通项公式为n+1218．（6分）（2022·辽宁·高二期末）数列{an}(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？【解题思路】（1）利用数列{a（2）令an【解答过程】（1）解：数列{an}∴这个数列的第4项是：a4（2）解：令an=n解得n=16或n=−9（舍)，∴150是这个数列的项，是第16项．19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知数列an中，a1=2，a（1）求a3，a（2）求an的前2021项和S【解题思路】（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可；（2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.【解答过程】（1）当n=1时，a1a3当n=3时，a3a5（2）当n=2时，a2a4由anan+2=1知：an+2即a4n=a4=2，a所以S2021=505a20．（8分）（2022·辽宁丹东·高三期中）数列an的前n项和为Sn，已知a1（1）设bn=n+1nS（2）求an【解题思路】（1）利用an=S（2）利用“累加法”可得bn=n+1【解答过程】（1）由Sn=n2a可得Sn=n所以b=n（2）因为S1=a当n≥2时，bn=b当n=1时，11+12=所以n+1nSn由n22=21．（8分）（2022·上海徐汇·高一期末）已知数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)令bn=9【解题思路】（1）利用数列an的前n项和为Sn与通项（2）