2024-2025学年高中数学第1章数列1.1数列的概念讲义教案北师大版必修5

PAGE8-数列§1数列1．1数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能依据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能依据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)1．通过数列基本概念的学习培育数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培育逻辑推理及数学运算素养．1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．(1)数列的有关概念数列按肯定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项an叫数列的通项(2)数列的表示①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；②字母表示：上面数列也可记为{an}．③数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4，…，n无穷数列项数无限的数列1,4,9，…，n2，…思索：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？[提示]数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区分？[提示]数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1．2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)假如数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思索：(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？[提示]因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8．(2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示]数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量依据从小到大的依次依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必需是从1起先且连续的正整数，函数的定义域可以是随意非空数集．1．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的()A．第9项 B．第10项C．第11项 D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11．故选C．]2．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为()A．an＝n B．an＝n＋1C．an＝n＋2 D．an＝2nC[经检验可知，它的一个通项公式为an＝n＋2．]3．若数列{an}的通项公式为an＝sineq\f(nπ,2)，则a2＝________．0[a2＝sineq\f(2π,2)＝sinπ＝0．]4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1－1[当n＝8时，a8＝(－1)8＝1．当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1．]数列的概念【例1】(1)下列说法错误的是()A．数列0,1,2,3，…的首项是0B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3C．数列中的每一项都是数D．假如已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的随意一项(2)下列各组元素能构成数列吗？假如能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B[同一个数可以在一个数列中重复出现，故B错误．](2)[解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必需是由一列数按肯定的依次排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1，…．数列及其分类的判定方法1推断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按肯定次序排列的数．2推断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需视察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．eq\o([跟进训练])1．下列说法正确的是()A．1,2,3,4，…，n是无穷数列B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列{2n＋1}的第6项是13D[A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13．]依据数列的前n项写出数列的通项公式【例2】依据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，…；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2222，…．[解](1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．故an＝eq\f(2n,2n－12n＋1)．(2)将分母统一成2，则数列变为eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，其各项的分子为n2．∴an＝eq\f(n2,2)．(3)该数列的前4项的肯定值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n．(4)通过视察分析可知所求通项公式为an＝eq\f(2,9)(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过视察、分析、联想、比较，去发觉项与序号之间的关系．(2)假如关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．eq\o([跟进训练])2．(1)数列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一个通项公式an＝()A．eq\f(n,2n＋1) B．eq\f(n,2n－1)C．eq\f(n,2n－3) D．eq\f(n,2n＋3)(2)依据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①eq\f(1,2×4)，eq\f(1,3×5)，eq\f(1,4×6)，eq\f(1,5×7)，…；②－3,7，－15,31，…；③2,6,2,6，…．(1)B[由已知得，数列可写成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…，故通项公式为eq\f(n,2n－1)．](2)[解]①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，其次个因数比第一个因数大2，所以an＝eq\f(1,n＋1n＋3)．②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的肯定值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以an＝(－1)n(2n＋1－1)．③此数列为摇摆数列，一般求两数的平均数eq\f(2＋6,2)＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以an＝4＋(－1)n·2或an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n是奇数，,6，n是偶数.))通项公式的应用[探究问题]1．已知数列{an}的通项公式，如何求数列的某一项？[提示]把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n的方程．2．已知数列{an}的通项公式，如何推断某一个数是否为该数列中的项？[提示]假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得关于n的方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n2－21n,2)(n∈N＋)．(1)0和1是不是数列{an}中的项？假如是，那么是第几项？(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？思路探究：(1)eq\x(令an＝0，an＝1)⇒eq\x(求n)⇒eq\x(推断)(2)eq\x(假设存在连续且相等的两项)⇒eq\x(列方程)⇒eq\x(求解)⇒eq\x(推断)[解](1)若0是{an}中的第n项，则eq\f(n2－21n,2)＝0，因为n∈N＋，所以n＝21．所以0是{an}中的第21项．若1是{an}中的第n项，则eq\f(n2－21n,2)＝1，所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0．因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10．所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“an＝eq\f(n2－21n,2)”改为“an＝n2－3n”，解答(1)(2)两题．[解](1)若0是{an}中的第n项，则n2－3n＝0，因为n∈N＋，所以n＝3，故0是{an}中的第3项．若1是{an}中的第n项，则n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0，因为方程n2－3n－1＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项．(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)，解得m＝1．所以数列{an}中存在连续的两项，第1项与第2项相等．2．(变结论)例3的条件不变，求a3＋a4的值和a2n．[解]a3＋a4＝eq\f(32－21×3,2)＋eq\f(42－21×4,2)＝－61，a2n＝eq\f(2n2－21×2n,2)＝2n2－21n．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．推断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，依据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．视察法写通项公式的留意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需细致视察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的改变特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和肯定值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，例如由eq\r(2)的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列中的项不能相等． ()(2)数列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1项． ()(3)数列1,2,3,4，…，n2是无穷数列． ()[答案](1)×(2)√(3)×[提示]数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n2共n2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中0．08是它的()A．第100项 B．第12项C．第10项 D．第8项C[由题意知，an＝eq\f(n－2,n2)．令an＝0．08，即eq\f(n－2,n2)＝eq\f(8,100)，所以n＝10，n＝eq\f(5,2)(舍去)，故选C．]3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，eq\f(a2,a3)＝________．3－4neq\f(1,5)[依据通项公式我们可以求出这个数列的随意一项．因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(3－22,3－23)＝eq\f(1,5)．]4．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(4,n2＋3n)．(1)写出数列的前三项；(2)eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是数列{an}中的项？假如是，是第几项？[解](1)数列的前三项：a1＝eq\f(4,12＋3×1)＝1，a2＝eq\f(4,2