2025届高考数学统考第二轮专题复习第9讲数列等差数列与等比数列学案理含解析

第9讲数列、等差数列与等比数列高考年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2024等比数列求和·T6递推关系·T122024等差数列求通项及前n项和·T9等比数列的基本量运算·T14等比数列的基本量运算·T5等差数列的基本量运算·T142024等差数列的基本量运算·T4数列求和·T141.[2024·全国卷Ⅱ]数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k= ()A.2 B.3 C.4 D.52.[2024·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-23.[2024·全国卷Ⅰ]几位高校生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的爱好,他们推出了“解数学题获得软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满意如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ()A.440 B.330 C.220 D.1104.[2024·北京卷]在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} ()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项5.[2024·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S56.[2024·全国新高考Ⅱ卷]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

7.[2024·江苏卷]设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是.

等差、等比数列的基本量1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn3+an+1=0,则S5= (A.827 B.1681 C.21181 (2)设等差数列{an}满意:a1=3,公差d∈(0,10),其前n项和为Sn.若数列{Sn+1}也是等差数列,则Sn【规律提炼】等差、等比数列的基本量问题主要涉及函数与方程的思想,难度不大,重点在于利用数列的基本性质构建方程,进而求得基本量,运算时要避开马虎的问题.测题1.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18,S3-a1=34,则S4= (A.116 B.18 C.3116 2.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a2+a7+a9=27,且S8=S9,则d= ()A.-3 B.-1 C.1 D.3等差、等比数列的性质2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,an)在某条斜率存在且不为0的定直线上,同时满意2S5-13a4+5a8=10,则下列数中为定值的是 ()A.a8 B.S9 C.a17 D.S17(2)设等比数列{an}的公比为q,其前n项之积为Tn,并且满意条件:a1>1,a2024a2024>1,a2019-1a2020-1<0,给出下列结论:①0<q<1;②a2024a2024-1>0;③T2024是数列{Tn}中的最大项;④使Tn>1成立的最大自然数n等于A.①② B.①③C.①③④ D.①②③④测题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则S9S5= A.2 B.259 C.9 D.2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11= ()A.66 B.55 C.44 D.33等差、等比数列的综合问题3(1)已知数列{an}的各项均为正数,且满意an+12-an2-2(an+1+an)=0,且a2,a4,a8成等比数列,则数列1anaA.20192020 B.10098080 C.20198080 (2)假设你有一笔资金,现有三种投资方案,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.现准备投资10天,三种投资方案的总收益分别为A10,B10,C10,则 ()A.A10<B10<C10 B.A10<C10<B10C.B10<A10<C10 D.C10<A10<B10【规律提炼】解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系,假如同一数列中部分项成等差,部分项成等比,那么要把两个数列的项单独抽出来探讨;假如两个数列通过运算综合在一起,那么要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清各自的特征,然后求解.当涉及不等式时,要敏捷选择方法,如比较法、分析法、综合法与放缩法.同时要留意对式子进行变形,尤其是遇到函数与数列交汇问题时.测题1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a2a5=3a3,且a4与9a7的等差中项为2,则S5= ()A.1123 B.112 C.12127 D2.在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an+tn(n∈N*,t为非零常数),且a1,a2,a3成等比数列,则an=.

数列的递推关系4(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+(-1)n·n2(n∈N*),则a101= ()A.-5150 B.-5151 C.5050 D.5051(2)数列的发展史,折射出很多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要作用,比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,也即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*).若此数列的各项被4整除后的余数构成一个新的数列{bn},则b1+b2+b3+…+b2024= ()A.2695 B.3535 C.2024 D.2024【规律提炼】利用数列的递推公式求解数列的项,常常会运用等差、等比数列的定义与前n项和公式,解答中依据数列的递推关系式,合理利用累加法、推理、归纳等是解答的关键,着重考查了推理与运算实力.测题1.已知数列{an}的各项均为正数,a1=2,an+1-an=4an+1+an,若数列1an+1+aA.119 B.121 C.120 D.1222.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图M3-9-1所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个宏大成就.在“杨辉三角”中,第n行的全部数字之和为2n-1,若去除全部为1的数字,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前55项和为 ()图M3-9-1A.4072 B.2026 C.4096 D.2048第9讲数列、等差数列与等比数列真知真题扫描1.C[解析]取m=1,则an+1=a1an=2an,故数列{an}是公比为2的等比数列,又a1=2,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1(1-210)1-2=2k+11-2k+12.A[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意有4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,所以an=-3+(n-1)×3.A[解析]把已知数列分组,第一组1项,其次组2项,第三组3项,依此类推,则前n组项数之和为n(n+1)2,因为N>100,所以由n(n+1)2>100,解得n≥14.当n=13时,n(n+1)2=91,此时已知数列的前91项和S91=(21-1)+(22-1)+…+(213-1)=2×(1-213)1-2-13=214-15,第十四组的前4项之和为15,则该数列的前95项和为2的整数幂,但此时N=95,不合题意;当n=14时,n(n+1)2=105,此时已知数列的前105项和S105=215-16,第十五组前k项之和不行能等于16,故不合题意.类推可知,分组后的数列的前n组的各项之和为Sn(n+1)2=2n+1-(n+2),其第n+1组的前k项之和为4.B[解析]设{an}的公差为d,则d=a5-a15-1=-1+94=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-11,所以Tn=a1a2…an=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)×1×…×(2n-11).当n→+∞时,Tn→-∞;当n=4时,Tn取得最大值,最大值为T4=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)=945.所以{T5.1213[解析]因为a42=a2a6=a6,所以a2=1,所以公比为a2a1=3,所以S6.3n2-2n[解析]令2n-1=3m-2,可得n=3m-12,∵m,n∈N*,∴m=2k-1,k∈N*,∴an=3(2n-1)-2=6n-5,则{an}的前n项和Sn=n(6n7.4[解析]因为数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),所以当n=1时,a1+b1=S1=1,当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,又a1+b1=1满意上式,所以an+bn=2n-2+2n-1(n∈N*).因为{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,所以an+bn=2n-2+2n-1=dn+a1-d+b1qn-1对于随意正整数n都成立,所以d=q=2,即d+q=4.考点考法探究小题1例1(1)B(2)3[解析](1)由Sn3+an+1=0,得Sn3+Sn+1-Sn=0,即Sn+1=23Sn,所以{Sn}为等比数列,又S1=a1=1,所以S5=234=16(2)由题意可得2S2+1=S1+1+S3+1,即27+d=2+10+3d.又公差d∈(0,10),∴d=2,∴an=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n,∴Sn+10an+1=n【自测题】1.D[解析]∵a4=18,S3-a1=34,公比q>0且q≠1,∴a1q3=18,a1(2.A[解析]在等差数列{an}中,a2+a7+a9=(a1+d)+(a1+6d)+(a1+8d)=3(a1+5d)=3a6=27,所以a6=9.又S8=S9,所以a9=0,所以a9-a6=3d=-9,解得d=-3.故选A.小题2例2(1)D(2)B[解析](1)由点(n,an)在某条斜率存在且不为0的定直线上,得{an}为等差数列.∵2S5-13a4+5a8=10,∴(10a1+20d)-13(a1+3d)+5(a1+7d)=10,化简得a1+8d=5,即a9=5,∴S17=17×12(a1+a17)=17a9=85,为定值,故选D(2)∵a1>1,a2024a2024>1,a2019-1a2020-1<0,∴a2024>1,0<a2024<1,∴0<q<1,故①正确;a2024a2024=a20202<1,∴a2024a2024-1<0,故②不正确;∵a2024>1,0<a2024<1,∴T2024是数列Tn中的最大项,故③正确;T4039=a1a2…a4038a4039=a20204039<1,T4038=a1a2…a4037a4038=(a2024a2024)2024>1,∴使T故选B.【自测题】1.C[解析]∵{an}为等差数列,a5=5a3,∴S9S5=9(a1+a9)2.D[解析]因为数列{an}是等差数列,所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=12a6=36,故a6=3,所以S11=11(a1+a11)2=11小题3例3(1)C(2)B[解析](1)由题得,(an+1+an)(an+1-an)=2(an+1+an),∵an+an+1≠0,∴an+1-an=2,∴{an}是公差d=2的等差数列.又∵a2,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),解得a1=d=2,∴数列{an}的通项公式为an=2n.∵1anan+1=12n×2(n+1)=141n-1n+1,∴数列1anan+1的前2024项和为S2024=14×1-12+12-13(2)设三种方案第n天的回报分别为an,bn,cn,则an=40,{an}为常数列;{bn}是首项为10,公差为10的等差数列;{cn}是首项为0.4,公比为2的等比数列.因为投资10天三种投资方案的总收益分别为A10,B10,C10,所以A10=400,B10=10×10+10×92×10=550,C10=0.4×(1-210)1-2=【自测题】1.D[解析]∵数列{an}是等比数列,a2a5=a3a4=3a3,∴a4=a1q3=3.∵a4与9a7的等差中项为2,∴a4+9a7=a4(1+9q3)=4,解得q=13,a1=81,∴S5=81×[1-(12.n2-n+22[解析]由题可知,a2=a1+t=1+t,a3=a2+2t=因为a1,a2,a3成等比数列,所以(1+t)2=1·(1+3t),解得t=0(舍去)或t=1.当n≥2时,a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=n-1,以上各式相加得an-a1=1+2+…+(n-1)=12n(n-1),所以an=n当n=1时,上式也成立,所以an=n2小题4例4(1)D(2)A[解析](1)由题意,数列{an}中,a1=1,an+1=an+(-1)n·n2(n∈N*),则a2-a1=-12,a3-a2=22,a4-a3=-32,…,a101-a100=1002,各式相加,可得a101-a1=-12+22-32+42-…-992+