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文档简介

广东惠州市2025届数学高三第一学期期末达标检测模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.643.若集合,,则=()A. B. C. D.4.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知等差数列的前n项和为,且,,若(,且),则i的取值集合是()A. B. C. D.6.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知集合.为自然数集,则下列表示不正确的是()A. B. C. D.8.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为A.-40 B.-20 C.20 D.409.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.10.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()A. B. C. D.11.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或12.设,命题“存在,使方程有实根”的否定是()A.任意,使方程无实根B.任意,使方程有实根C.存在,使方程无实根D.存在,使方程有实根二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点,则该双曲线的标准方程为________.14.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.15.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)16.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为(,为常数),离心率等于0.8,过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若时,,求实数;⑶试问的值是否与的大小无关,并证明你的结论.18.(12分)在平面直角坐标系中,直线的倾斜角为,且经过点.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线,从原点O作射线交于点M,点N为射线OM上的点,满足,记点N的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线与曲线C交于P,Q两点,求的值.19.(12分)已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.(1)求和的值;(2)若函数,求的单调递增区间及图象的对称轴方程.20.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.21.(12分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.22.(10分)如图,平面四边形中,,是上的一点,是的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.2、B【解析】

根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.3、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.4、C【解析】

化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.5、C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差,然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d,由题知,,解得,,所以数列为,故.故选:C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解,属于基础题.6、B【解析】

先解不等式化简两个条件,利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式可得,解绝对值不等式可得,由于为的子集,据此可知“”是“”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定,考查了学生数学运算,逻辑推理能力,属于基础题.7、D【解析】

集合.为自然数集,由此能求出结果.【详解】解:集合.为自然数集,在A中,,正确;在B中,,正确;在C中,,正确;在D中,不是的子集,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.8、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通项,由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80,由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为40,选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘,若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x,选3个提出;若第1个括号提出,从余下的括号中选2个提出,选3个提出x.故常数项==-40+80=409、A【解析】

由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.10、D【解析】

通过分析函数与的图象,得到两函数必须有相同的零点,解方程组即得解.【详解】如图所示,函数与的图象,因为时,恒成立,于是两函数必须有相同的零点,所以,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、D【解析】

由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.12、A【解析】

只需将“存在”改成“任意”,有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题,知“存在,使方程有实根”的否定是“任意,使方程无实根”.故选:A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,此类问题要注意在两个方面作出变化:1.量词,2.结论,是一道基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

设双曲线方程为,代入点,计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为,则设双曲线方程为:,代入点,则.故双曲线方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线,设双曲线方程为是解题的关键.14、【解析】

由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切设直线的方程为,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.15、【解析】

根据空间位置关系,将平面旋转后使得各点在同一平面内,结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;将平面绕旋转至与平面共面的位置,将绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;因为,且由诱导公式可得,所以最短距离为,故答案为:.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法,注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法,三角函数诱导公式的应用,综合性强,属于难题.16、18【解析】

根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)为定值【解析】试题分析:(1)利用待定系数法可得,椭圆方程为;(2)我们要知道=的条件应用,在于直线交椭圆两交点M,N的横坐标为,这样代入椭圆方程,容易得到,从而解得;(3)需讨论斜率是否存在.一方面斜率不存在即=时,由(2)得;另一方面,当斜率存在即时,可设直线的斜率为,得直线MN:,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和焦半径公式,就能得到,所以为定值,与直线的倾斜角的大小无关试题解析:(1),得:,椭圆方程为(2)当时,,得:,于是当=时,,于是,得到(3)①当=时,由(2)知②当时,设直线的斜率为,,则直线MN:联立椭圆方程有,,,=+==得综上,为定值,与直线的倾斜角的大小无关考点:(1)待定系数求椭圆方程;(2)椭圆简单的几何性质;(3)直线与圆锥曲线18、(Ⅰ)(t为参数),;(Ⅱ)1.【解析】

(Ⅰ)直接由已知写出直线l1的参数方程,设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由题意可得,即ρ=4cosθ,然后化为普通方程;(Ⅱ)将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中,得到关于t的一元二次方程,再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值.【详解】(Ⅰ)直线l1的参数方程为,(t为参数)即(t为参数).设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),则,即,即ρ=4cosθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中,得,即,t1,t2为方程的两个根,∴t1t2=-1,∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化,训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用,是中档题.19、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】(1)由题意得,,(2)由,解得,所以对称轴为,.由,解得,所以单调递增区间为.,【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.20、(1)(2)【解析】试题分析:(1)由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程;(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果试题解析:解:(Ⅰ)由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0设t1,t2是上述方程的两实数根,所以t1+t2=3又直线l过点P,A、B两点对应的参数分别为t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.21、(1)(2)不存在;详见解析【解析】

(1)设,,,通过,即为的中点,转化求解,点的轨迹的方程.(2)设直线的方程为,先根据,可得,①,再根据韦达定理,点在椭圆上可得,②,将①代入②可得,该方程无解,问题得以解决【详解】(1)设,,则,,由题意知,所以为中点,由中点坐标公式得,即,又点在圆:上,故满足,得.曲线的方程.(2)

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