北京市顺义第九中学2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析_第1页
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文档简介

北京市顺义第九中学2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某地区高中分三类,A类学校共有学生2000人,B类学校共有学生3000人,C类学校共有学生4000人,若采取分层抽样的方法抽取900人,则A类学校中的学生甲被抽到的概率()A. B.C. D.2.执行如图所示的流程图,则输出k的值为()A.3 B.4C.5 D.23.椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为()A. B.C. D.4.若等差数列,其前n项和为,,,则()A.10 B.12C.14 D.165.已知等比数列的各项均为正数,且,则()A. B.C. D.6.若直线与圆只有一个公共点,则m的值为()A. B.C. D.7.已知三棱锥,点分别为的中点,且,用表示,则等于()A. B.C. D.8.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.为了解青少年视力情况,统计得到名青少年的视力测量值(五分记录法)的茎叶图,其中茎表示个位数,叶表示十分位数,则该组数据的中位数是()A. B.C. D.10.设函数在定义域内可导,的图像如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.11.在中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则的面积为()A. B.1C. D.212.2021年6月17日9时22分,搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射.此后,神舟十二号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,并快速完成与“天和”核心舱的对接,聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”,并在轨驻留3个月,开展舱外维修维护,设备更换,科学应用载荷等一系列操作.已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆,设地球半径为R,其近地点与地面的距离大约是,远地点与地面的距离大约是,则该运行轨道(椭圆)的离心率大约是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在空间直角坐标系中,点到x轴的距离为___________.14.已知双曲线,(,)的左右焦点分别为,过的直线与圆相切,与双曲线在第四象限交于一点,且有轴,则直线的斜率是___________,双曲线的渐近线方程为___________.15.设为曲线上一点,,,若,则__________16.设是数列的前项和,且,,则__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)两个顶点、的坐标分别是、,边、所在直线的斜率之积等于,顶点的轨迹记为.(1)求顶点的轨迹的方程;(2)若过点作直线与轨迹相交于、两点,点恰为弦中点,求直线的方程;(3)已知点为轨迹的下顶点,若动点在轨迹上,求的最大值.18.(12分)正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为4.E为棱上的动点,F为棱的中点.(1)证明:;(2)若E为棱上的中点,求直线BE到平面的距离.19.(12分)如图,在空间四边形中,分别是的中点,分别在上,且(1)求证:四点共面;(2)设与交于点,求证:三点共线.20.(12分)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)证明:对任意正整数n,21.(12分)设数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为,求不等式的解集.22.(10分)已知椭圆的上一点处的切线方程为,椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为,离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P为直线上任一点,过P作椭圆的两条切线PA,PB,切点为A,B,求证:

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为,所以所求概率为.故选:D2、B【解析】根据程序框图运行程序,直到满足,输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序,输入,则,,不满足,循环;,,不满足,循环;,,不满足,循环;,,满足,输出结果:故选:B.3、A【解析】与已知直线平行,与椭圆相切的直线有二条,一条距离最短,一条距离最长,利用相切,求出直线的常数项,再计算平行线间的距离即可.【详解】设与已知直线平行,与椭圆相切的直线为,则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选:A4、B【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列,,即,得.故选:B.5、B【解析】利用对数的运算性质,结合等比数列的性质可求得结果.【详解】是各项均为正数的等比数列,,,,.故选:B6、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程,化简求得的值.【详解】圆的圆心为,半径为,直线与圆只有一个公共点,所以直线与圆相切,所以.故选:D7、D【解析】连接,利用,化简即可得到答案.【详解】连接,如下图.故选:D.8、A【解析】由题意,在上恒成立,只需满足即可求解.【详解】解:因为,所以,因为函数在上单调递减,所以在上恒成立,只需满足,即,解得故选:A.9、B【解析】将样本中的数据由小到大进行排列,利用中位数的定义可得结果.【详解】将样本中的数据由小到大进行排列,依次为:、、、、、、、、、,因此,这组数据的中位数为.故选:B.10、D【解析】根据函数的单调性得到导数的正负,从而得到函数的图象.【详解】由函数的图象可知,当时,单调递增,则,所以A选项和C选项错误;当时,先增,再减,然后再增,则先正,再负,然后再正,所以B选项错误.故选:D.【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系,意在考查学生对该知识的掌握水平,属于基础题.一般地,函数在某个区间可导,,则在这个区间是增函数;函数在某个区间可导,,则在这个区间是减函数.11、C【解析】由余弦定理求出,利用正弦定理将边化角,再根据二倍角公式得到,即可得到,最后利用面积公式计算可得;【详解】解:因为,又,所以,因为,所以,所以,因为,所以,即,所以或,即或(舍去),所以,因为,所以,所以;故选:C12、A【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为右焦点建立平面直角坐标系,设椭圆方程为,根据题意列出方程组,解方程组即可.【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为右焦点建立平面直角坐标系,设椭圆方程为,其中,根据题意有,,所以,,所以椭圆的离心率故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由空间直角坐标系中点到轴的距离为计算可得【详解】解:空间直角坐标系中,点到轴的距离为故答案为:14、①.②.【解析】由题意,不妨设直线与圆相切于点,由可得,代入双曲线方程,可得,因此,即得解【详解】如图所示,不妨设直线与圆相切于点,,由于代入进入,可得,渐近线方程为故答案为:,15、4【解析】化简曲线方程,得到双曲线的一支,结合双曲线定义求出结果【详解】由,得,即,故为双曲线右支上一点,且分别为该双曲线的左、右焦点,则,.【点睛】本题考查了双曲线的定义,解题时要先化简曲线方程,然后再结合双曲线定义求出结果,较为基础16、【解析】原式为,整理为:,即,即数列是以-1为首项,-1为公差的等差的数列,所以,即.【点睛】这类型题使用的公式是,一般条件是,若是消,就需当时构造,两式相减,再变形求解;若是消,就需在原式将变形为:,再利用递推求解通项公式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)【解析】(1)先表示出边、所在直线的斜率,然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可;(2)联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率;(3)先表示出,然后利用椭圆的性质,进而确定的最大值.【小问1详解】设点,则由可得:化简得:故顶点的轨迹的方程:【小问2详解】当直线的斜率不存在时,显然不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为联立方程组消去可得:设直线与轨迹的交点,的坐标分别为由韦达定理得:点为、两点的中点,可得:,即则有:解得:故求直线的方程为:【小问3详解】由(1)可知,设则有:又点满足,即由椭圆的性质得:所以当时,18、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明计算作答.(2)利用(1)中坐标系,证明平面,再求点B到平面的距离即可作答.【小问1详解】在正四棱柱中,以点D为原点,射线分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,则,因E为棱上的动点,则设,,而,,即,所以.【小问2详解】由(1)知,点,,,,设平面的一个法向量,则,令,得,显然有,则,而平面,因此,平面,于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离,所以直线BE到平面的距离是.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)根据题意,利用中位线定理和线段成比例,先证明,进而证明问题;(2)先证明平面,平面,进而证明点P在两个平面的交线上,然后证得结论.【小问1详解】连接分别是的中点,.在中,.所以四点共面.【小问2详解】,所以,又平面平面,同理:,平面平面,为平面与平面的一个公共点.又平面平面,即三点共线.20、(1)见解析(2)见解析【解析】(1)由,令,得,或,又的定义域为,讨论两个根及的大小关系,即可判定函数的单调性;(2)当时,在,上递减,则,即,由此能够证明【小问1详解】的定义域为,,令,得,或,①当,即时,若,则,递增;若,则,递减;②当,即时,若,则,递减;若,则,递增;若,则,递减;综上所述,当-2<a<0时,f(x)在,单调递减,在单调递增;当a≥0时,f(x)在单调递增,在单调递减.【小问2详解】由(2)知当时,在,上递减,,即,,,,2,3,,,,【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,本题的关键是令a=1,用已知函数的单调性构造,再令x=恰当地利用对数求和进行解题21、(1)(2)【解析】(1)利用与的关系求解即可;(2)首先利用裂项求和得到,从而得到,再解不等式即可.【小问1详解】令,则,当时,,当时,也符合上式,即数列的通项公式为.【小问2详解】由(1)得,则,所以故可化为:,故,故不等式的解集为.22、(1)(2)证明见解析【解析】(1)设为椭圆上的点,为椭圆的右焦点,求出然后求解最小值,推出,,,得到

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