2025届江苏省田家炳中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届江苏省田家炳中学高一数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设当时，函数取得最大值，则（）A. B.C. D.2．设全集，集合，则（）A. B.C. D.3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B.C. D.4．下列函数中，是幂函数的是（）A. B.C. D.5．函数，则的大致图象是（）A. B.C. D.6．若，则的值为（）A. B.C. D.7．已知，则的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.88．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos2的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度9．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）的表达式是A. B.C. D.10．定义域为R的偶函数满足对任意的,有=且当时,=,若函数=在(0,+上恰有六个零点,则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.12．已知，，，则有最大值为__________13．已知，，则___________（用a、b表示）.14．已知f（x）=mx3-nx+1（m，n∈R），若f（-a）=3，则f（a）=______15．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.16．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，.（1）运用五点作图法在所给坐标系内作出在内的图像（画在答题卡上）；（2）求函数的对称轴，对称中心和单调递增区间.18．改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：上市时间x天81032市场价y元826082根据上表数据，从下列函数：；；中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格19．已知函数，.（1）解方程；（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）若不等式对恒成立，求的取值范围.20．已知函数（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集21．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：，并求出和，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出的表达式，由诱导公式求出的值【详解】解：函数（其中，又时取得最大值，，，即，，，故选：2、A【解析】根据补集定义计算【详解】因为集合，又因为全集，所以，.故选：A.【点睛】本题考查补集运算，属于简单题3、C【解析】由题可列出，可求出【详解】的定义域是，在中，，解得，故的定义域为.故选：C.4、B【解析】根据幂函数的定义辨析即可【详解】根据幂函数的形式可判断B正确，A为一次函数，C为指数函数，D为对数函数故选：B5、D【解析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论【详解】，为偶函数，排除BC，又时，，时，，排除A，故选：D6、D【解析】，故选D.7、C【解析】，根据结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：，因为，又，所以，则，当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.故选：C8、B【解析】直接利用三角函数的平移变换求解.【详解】因函数y＝cos，所以要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos2的图象向左平移个单位长度，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，属于基础题.9、A【解析】由题意得，当时，则，当时，，所以，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选A考点：函数的奇偶性的应用；函数的表达式10、C【解析】因为=,且是定义域为R的偶函数，令,则，解得，所以有=，所以是周期为2的偶函数，因为当时，=，其图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，因为函数=在(0,+上恰有六个零点，令，因为所以，所以，要使函数=在(0,+上恰有六个零点，如图所示：只需要,解得.故选C.点睛：本题考查函数的零点及函数与方程，解答本题时要注意先根据函数给出的性质对称性和周期性，画出函数的图象，然后结合函数的零点个数即为函数和图象交点的个数，利用数形结合思想求得实数的取值范围.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，,则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积【详解】∵三棱锥P−ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，∴构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5,，则长方体的对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径.设长方体的棱长分别为x,y,z,则，∴三棱锥P−ABC外接球的直径为，∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为.故答案为：26π.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12、4【解析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.详解：因为x+y=4,所以4≥，所以故答案为4.点睛：（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.13、##【解析】根据对数的运算性质可得，再由指对数关系有，，即可得答案.【详解】由，又，，∴，，故.故答案为：.14、【解析】直接证出函数奇偶性，再利用奇偶性得解【详解】由题意得，所以，所以为奇函数，所以，所以【点睛】本题是函数中的给值求值问题，一般都是利用函数的周期性和奇偶性把未知的值转化到已知值上，若给点函数为非系非偶函数可试着构造一个新函数为奇偶函数从而求解15、【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，所以球体积为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.16、4【解析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.【详解】解：为递增的幂函数，所以，即，解得：，故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）函数的对称轴为；对称中心为；单调递增区间为：【解析】(1)五点法作图；(2)整体代入求对称轴，对称中心，单调递增区间.【小问1详解】列表：0010-10020-20描点画图：【小问2详解】求对称轴：，故函数的对称轴为求对称中心：，故函数的对称中心为求单调递增区间：，故函数的单调递增区间为：18、（1）见解析；（2）上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元【解析】根据函数单调性选择模型；求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值【详解】由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，而函数和均为单调函数，显然不符合题意；故选择函数模型把，，代入得：，解得：，∴∴上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，二次函数在实际中的应用，属于中档题19、（1）或（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析（3）【解析】（1）由已知得，解方程即可；（2）任取，且，则，分和讨论可得答案；（3）将不等式对恒成立问题转化为，的最小值问题，求出的最小值即可得的取值范围.【详解】（1）由已知.所以，得或，所以或；（2）任取，且，则因为，且，所以，.当时，恒成立，，即；当时，恒成立，，即.故在上单调递减，在上单调递增；（3），，令，.由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，故的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调性的判断和证明，考查函数不等式恒成立问题，转化为最值问题即可，是中档题.20、（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）【解析】（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）要使有意义，则，解得：∴的定义域为.（2）为奇函数，证明如下：由（1）知：且，∴为奇函数，得证（3）∵在内是增函数，由，∴，解得，∴不等式的解集是.21、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；（2）{a|1＜a≤2},【解析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得；（2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得.【小问1详解】∵A＝{x|2