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文档简介
2025届甘肃省临泽一中高三数学第一学期期末质量检测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()A. B. C. D.2.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()A. B. C. D.3.设,则““是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必条件4.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.5.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度6.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.67.已知集合A,B=,则A∩B=A. B. C. D.8.阅读下侧程序框图,为使输出的数据为31,则①处应填的数字为A.4 B.5 C.6 D.79.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是10.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.1211.已知,,分别是三个内角,,的对边,,则()A. B. C. D.12.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.14.满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________15.观察下列式子,,,,……,根据上述规律,第个不等式应该为__________.16.已知为双曲线:的左焦点,直线经过点,若点,关于直线对称,则双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线上一点到焦点的距离为2,(1)求的值与抛物线的方程;(2)抛物线上第一象限内的动点在点右侧,抛物线上第四象限内的动点,满足,求直线的斜率范围.18.(12分)如图,在中,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)若,,求的面积.19.(12分)已知函数,设为的导数,.(1)求,;(2)猜想的表达式,并证明你的结论.20.(12分)设函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)若在上存在两个极值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,函数与函数的图象交于,且线段的中点为,证明:.21.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.22.(10分)已知椭圆的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.(I)求椭圆C的方程;(II)若M,N分别为椭圆C的左,右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线交于点Q,且,求点P的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据空间向量的线性运算,用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,,则即,故选:D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.2、C【解析】
根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.3、B【解析】
解出两个不等式的解集,根据充分条件和必要条件的定义,即可得到本题答案.【详解】由,得,又由,得,因为集合,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.4、C【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.5、B【解析】
分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可.详解:将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选B.点睛:本题主要考查三角函数的图象变换,结合和的关系是解决本题的关键.6、C【解析】
根据题意,将a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,当且仅当时取“=”号.
答案:C【点睛】本题考查基本不等式的应用,“1”的应用,利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是首先要判断参数是否为正;二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是最后一定要验证等号能否成立,属于基础题.7、A【解析】
先解A、B集合,再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为,故选A【点睛】一般地,把不等式组放在数轴中得出解集。8、B【解析】考点:程序框图.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环求S的值,我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况,不难给出答案.解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i<5时退出,故选B.9、D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.10、B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B11、C【解析】
原式由正弦定理化简得,由于,可求的值.【详解】解:由及正弦定理得.因为,所以代入上式化简得.由于,所以.又,故.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,三角函数恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,属于中档题.12、D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
根据为焦点,得;又求得,从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上,则又本题正确结果:【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于基础题.14、1【解析】
作出不等式组表示的平面区域,将直线进行平移,利用的几何意义,可求出目标函数的最大值。【详解】由,得,作出可行域,如图所示:平移直线,由图像知,当直线经过点时,截距最小,此时取得最大值。由,解得,代入直线,得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。15、【解析】
根据题意,依次分析不等式的变化规律,综合可得答案.【详解】解:根据题意,对于第一个不等式,,则有,对于第二个不等式,,则有,对于第三个不等式,,则有,依此类推:第个不等式为:,故答案为.【点睛】本题考查归纳推理的应用,分析不等式的变化规律.16、【解析】
由点,关于直线对称,得到直线的斜率,再根据直线过点,可求出直线方程,又,中点在直线上,代入直线的方程,化简整理,即可求出结果.【详解】因为为双曲线:的左焦点,所以,又点,关于直线对称,,所以可得直线的方程为,又,中点在直线上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因为,所以.故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质,先由两点对称,求出直线斜率,再由焦点坐标求出直线方程,根据中点在直线上,即可求出结果,属于常考题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1;(2)【解析】
(1)根据点到焦点的距离为2,利用抛物线的定义得,再根据点在抛物线上有,列方程组求解,(2)设,根据,再由,求得,当,即时,直线斜率不存在;当时,,令,利用导数求解,【详解】(1)因为点到焦点的距离为2,即点到准线的距离为2,得,又,解得,所以抛物线方程为(2)设,由由,则当,即时,直线斜率不存在;当时,令,所以在上分别递减则【点睛】本题主要考查抛物线定义及方程的应用,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题,18、(1)(2)【解析】
(1)先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出;(2)分别在和中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即可求出,再根据余弦定理求出,即可根据求出的面积.【详解】(1)由,得,所以.由正弦定理得,,即,得.(2)由正弦定理,在中,,①在中,,②又,,,由得,由余弦定理得,即,解得,所以的面积.【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.19、,;,证明见解析【解析】
对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中,的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用数学归纳法证明:①当时,成立,②假设时,猜想成立即当时,当时,猜想成立由①②对成立【点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)依题意在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由参变分类可得,令,利用导数研究的单调性、极值,从而得到参数的取值范围;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:,即:,只需证:,设,即证:,再分别证明,即可;【详解】解:(Ⅰ)由题意可知,,在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由可得,,令,则,令,可得,当时,,所以在上单调递减,且当时,单调递增;当时,单调递减;所以是的极大值也是最大值,又当,当大于0趋向与0,要使在有两个根,则,所以的取值范围为;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:即:,只需证:设,即证:要证,只需证:令,则在上为增函数,即成立;要证,只需证明:令,则在上为减函数,,即成立成立,所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用导数证明不等式,属于难题;21、(1);(2)当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;(3)证明见解析.【解析】
(1)当时,,求得其导函数,,可求得函数的图象在处的切线方程;(2)由已知得,得出导函数,并得出导函数取得正负的区间,可得出函数的单调性;(3)当时,,,由(2)得的单调区间,以当方程有两个不相等的实数根,不妨设,且有,,构造函数,分析其导函数的正负得出函数的单调性,得出其最值,所证的不等式可得证.【详解】(1)当时,,所以,,所以函数的图象在处的切线方程为,即;(2)由已知得,,令,得,所以当时,,当时,,所以在上是减函数,在上是增函数;(3)当时,,,由(2)得在上单调递减,在单调递增,所以,且时,,当时,,,所以当方程有两个不相等的实数根,不妨设,且有,,构造函数,则,当时,所以,在上单调递减,且,,由,在上单调递增,.所以.【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程,讨论函数的单调性,以及证明不等式,关键在于构造适当的函数,得出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性,属于难度题.22、(I).(II)【解析】
(I)写出坐标,利用直线与直线垂直,得到.求出点的坐标代入,可得到的一个关系式,由此求得和的值,进而求得椭圆方程.(II)设出点的坐标,由此写出直线的方程,从而求得点的坐标,代入,化简可求得点的坐标.【详解】(I)∵椭圆的左焦点,上顶点,直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率,即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得:
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