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文档简介
云南省大理州大理市下关第一中学2025届数学高三上期末质量检测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,是单位向量,若,则()A. B. C. D.2.函数的图象大致为A. B. C. D.3.正项等比数列中的、是函数的极值点,则()A. B.1 C. D.24.已知函数,若,则a的取值范围为()A. B. C. D.5.已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,,则()A. B.C. D.6.如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,且,,则与面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.7.已知,满足约束条件,则的最大值为A. B. C. D.8.若的展开式中的系数为150,则()A.20 B.15 C.10 D.259.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.10.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.211.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则12.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,且,则________.14.若在上单调递减,则的取值范围是_______15.若,则__________.16.已知,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明:.18.(12分)选修4—5;不等式选讲.已知函数.(1)若的解集非空,求实数的取值范围;(2)若正数满足,为(1)中m可取到的最大值,求证:.19.(12分)设函数,(1)当,,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值为1,求证:.20.(12分)如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,,,且,A为BE的中点将沿AD折到位置如图,连结PC,PB构成一个四棱锥.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大小;②在棱PC上存在点M,满足,使得直线AM与平面PBC所成的角为,求的值.21.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)曲线在点处的切线斜率为.(i)求;(ii)若,求整数的最大值.22.(10分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;(2)求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;【详解】设,,是单位向量,,,,联立方程解得:或当时,;当时,;综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.2、D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.3、B【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为,得出,再由等比数列的性质可得.【详解】解:依题意、是函数的极值点,也就是的两个根∴又是正项等比数列,所以∴.故选:B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用,属于中档题.4、C【解析】
求出函数定义域,在定义域内确定函数的单调性,利用单调性解不等式.【详解】由得,在时,是增函数,是增函数,是增函数,∴是增函数,∴由得,解得.故选:C.【点睛】本题考查函数的单调性,考查解函数不等式,解题关键是确定函数的单调性,解题时可先确定函数定义域,在定义域内求解.5、A【解析】
如图设平面,球心在上,根据正四面体的性质可得,根据平面向量的加法的几何意义,重心的性质,结合已知求出的值.【详解】如图设平面,球心在上,由正四面体的性质可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因为为重心,因此,则,因此,因此,则,故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质,考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质,属于中档题.6、A【解析】
首先找出与面所成角,根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且,是等边三角形,设中点为,连接,,可知,,同时易知,,所以面,故即为与面所成角,有,故.故选:A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算,属于基础题.7、D【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,等价于,作直线,向上平移,易知当直线经过点时最大,所以,故选D.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.8、C【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到,即得解.【详解】由已知得,故当时,,于是有,则.故选:C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、D【解析】
由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.10、C【解析】
由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.11、D【解析】A.若,则或,故A错误;B.若,则或故B错误;C.若,则或,或与相交;D.若,则,正确.故选D.12、C【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式,即可求得实数的值.【详解】,且,则,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数,涉及垂直向量的坐标表示,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】
由题意可得导数在恒成立,解出即可.【详解】解:由题意,,当时,显然,符合题意;当时,在恒成立,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.15、【解析】
由已知利用两角差的正弦函数公式可得,两边平方,由同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式即可计算得解.【详解】,得,在等式两边平方得,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.16、【解析】
对原方程两边求导,然后令求得表达式的值.【详解】对等式两边求导,得,令,则.【点睛】本小题主要考查二项式展开式,考查利用导数转化已知条件,考查赋值法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),.(Ⅱ)见解析【解析】
(1)由,分和两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由题,得,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)解:由题,得当时,,得;当时,,整理,得.数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,故.故得证.【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.18、(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)讨论三种情况去绝对值符号,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因为,要证,只需证,即证,只需证即可得结果.试题解析:(1)去绝对值符号,可得所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.(2)由(1)知,,所以.因为,所以要证,只需证,即证,即证.因为,所以只需证,因为,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy设:证明:x+y-2xy==令,∴原式====当时,19、(1)或;(2)证明见解析【解析】
(1)将化简,分类讨论即可;(2)由(1)得,,展开后再利用基本不等式即可.【详解】(1)当时,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根据,当且仅当时,等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题,考查学生基本的计算能力,是一道基础题.20、Ⅰ详见解析;Ⅱ①,②或.【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB,这样就可以证明出;Ⅱ以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可以求出相应点的坐标,求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量,利用空间向量的数量积,求出二面角的大小;求出平面PBC的法向量,利用线面角的公式求出的值.【详解】证明:Ⅰ在图1中,,,为平行四边形,,,,当沿AD折起时,,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由于平面ABCD则0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,设平面PBC的法向量为y,,则,取,得0,,设平面PCD的法向量b,,则,取,得1,,设二面角的大小为,可知为钝角,则,.二面角的大小为.设AM与面PBC所成角为,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直线AM与平面PBC所成的角为,,解得或.【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直,考查了利用向量数量积,求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.21、(1)在上增;在上减;(2)(i);(ii)2【解析】
(1)求导求出,对分类讨论,求出的解,即可得出结论;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求问题转化为,恒成立,设,,只需,根据的单调性,即可求解.【详解】(1)当时,,即在上增;当时,,,,,即在上增;在上减;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.当时,,在单调递增,所以满足题意;当时,,,,所以在上减,在上增,令,..在单调递减,所以所以在上单调递减,,综上可知,整数的最大值为.【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立,考查分类讨论思想,属于中档题.22、(1),;(2)见解析.【解析】
(1)将曲线的极坐标方程变形为,再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线的方程与曲线的方程
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