2025届江苏睢宁中学北校数学高二上期末考试试题含解析

2025届江苏睢宁中学北校数学高二上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1 B.2C.3 D.42．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（）A.6 B.9C.14 D.103．在平行六面体中，，，，则（）A. B.5C. D.34．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A. B.C. D.5．已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）6．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为A.3 B.2C. D.7．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（）A. B.C. D.8．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件9．已知数列为递增等比数列，，则数列的前2019项和（）A. B.C. D.10．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是A. B.C. D.11．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.12．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A.2 B.5C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.14．已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为__________.15．已知点是抛物线上的两点，，点是抛物线的焦点，若，则的值为__________16．已知数列前项和为，且，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列为等差数列，，数列满足，且（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证：18．（12分）某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的（1）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？（2）这个飞机模型上升的最大高度能超过米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过米；如果不能，请说明理由19．（12分）在中，角的对边分别为，已知，,且.（1）求角的大小；（2）若，面积为，试判断的形状，并说明理由.20．（12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点（1）求圆A的方程（2）当时，求直线l方程21．（12分）在①，②是与的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：已知数列{}的前n项和为，，且满足___（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{}前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分22．（10分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：工龄x（单位：年）4681012生产速度y（单位：件/小时）4257626267根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件故随机事件有2个，故选：B2、A【解析】根据椭圆的定义，可求得答案.【详解】由可知：，由是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和为，故选：A3、B【解析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以，所以，故选：B.4、D【解析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.5、D【解析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围.【详解】解：设，AB的中点，则，所以，又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即，因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以，又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以点B的横坐标的取值范围是，故选：D.6、D【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选D【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题7、B【解析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.【详解】由题设，，因为回归直线方程过样本点中心，A：，排除；B：，满足；C：，排除；D：，排除.故选：B8、D【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.9、C【解析】根据数列为递增的等比数列，，利用“”法求得，再代入等比数列的前n项和公式求解.【详解】因为数列为递增等比数列，所以，解得：，所以.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、D【解析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得，由此得出正确选项.【详解】不妨设.对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11、A【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设双曲线的方程为，则，可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A.第II卷12、D【解析】根据渐近线方程求得关系，结合离心率的计算公式，即可求得结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则；又双曲线离心率.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长，短轴长，，故答案为：14、##【解析】先求出的范围，再利用面积公式可求面积的最大值.【详解】圆即为，直线为过原点的直线，如图，连接，故，解得，此时，故的面积为，当且仅当时等号成立，此时即，故答案为：.15、10【解析】由抛物线的定义根据题意可知求得p,代入抛物线方程,分别求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值【详解】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，故填.【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，利用已知相等关系求解抛物线方程，然后求解已知点的纵坐标，解题中需要熟练抛物的定义和性质，灵活应用.16、，.【解析】由的递推关系，讨论、求及，注意验证是否满足通项，即可写出的通项公式.【详解】当时，，当且时，，而，即也满足，∴，.故答案为：，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差数列的公差，进而可求得数列的通项公式，再由前项和与通项的关系可求得的表达式，可求得，然后对是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，利用不等式的性质和数列的单调性可证得所证不等式成立.【小问1详解】解：因为，，所以，因为，，所以，设数列公差为，则，所以，当时，由，可得，所以，所以，因为满足，所以，对任意的，【小问2详解】证明：因为，所以，因为，所以，因为，所以，故数列单调递增，当时，，所以18、（1）；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）由题得每分钟上升的高度构成等比数列，再利用等比数列的通项求解；（2）求出即得解.【小问1详解】解：由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，则米.即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米.【小问2详解】解：不能超过米.依题意可得，所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过米.19、（1）；（2）为等边三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，从而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；联立①②可求得b＝c＝，从而可判断△ABC的形状【详解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，∴A＝（2）△ABC为等边三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形【点睛】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题20、（1）；（2）或.【解析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆A半径r，所以，所以圆A的方程为（2）设的中点为Q，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知，设动直线l方程