2022年新高考数学各地市期末好题分类汇编专题15 数列解答题（解析版）

专题15数列解答题

一、解答题

1.(2022・河北唐山•高三期末)已知S“是数列｛4｝的前〃项和，2S”=(〃+l)a“，且4=1.

⑴证明：｛半｝为常数列；

(2)若由=,求数列｛〃｝的前〃项和T”.

。”+1,an+2

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由已知得2(q+%)=M，即/=2,利用/与工的关系化简可得(〃-1)4=解』化简

即可得出结果.

(2)由(1)可得4=〃，化简可知〃=2二一工，通过裂项求和可得出结果.

n+2n+\

(1)

由已知得2(q+%)=3t?2，即出=2,

〃之2时，由2s〃=5+1)4,,2s“_|=〃〃…两式相减得(〃-1)凡=〃％,

则2=七=~=?=目=1,又7=1

nn-\221

于是标｝为常数列.

⑵

由(1)得见=〃.

a-2nn-T2n+,2n

nillfb=—2------=--------------=--------------.

、"-q+2(〃+i)(〃+2)#+2〃+i

(222'^(32｝‘2川2n+,,

722T\

故K7一句+〔彳一句+…7rL

2.(2022•河北保定•高三期末)在数列｛勺｝中，6=12,且数歹u｛〃“-2"｝是公差为2的等差

数歹IJ.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设白=2"七二2%,求数列也｝的前〃项和S”.

“Mi-i

【答案】⑴勺=2"+2〃-2

(2电二—^—

"2"+〃

【解析】

【分析】

(I)根据数列｛%-2"｝是公差为2的等差数列写出通项公式即可:

(2)由"==一竺:利用裂项用消法求和即可.

an%

(1)

因为数列｛4-2"｝是公差为2的等差数列，

所以/-2"=q_2+2(〃_1)=2,+6-4,

则为=2"+2〃+6-4.

因为％=12,所以23+6+4—4=12,解得4=2.

故q=2、2〃—2.

(2)

a-2a(12、2"2rt+l

因为功—2".2""—2"-———----

凡4”(44+Jan%

2

所以S”=__♦

aa〃3a

422n4川46+i

二]2向=]2"x=2九二八

~~an~-rl~-2向+2屋2向+2〃-2"+〃'

3.(2022•河北张家口•高三期末)已知S”是数列｛4｝的前〃项和，S,”/

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列，的前〃项和0・

【答案】⑴―

（2）北=六7

【解析】

【分析】

5.,72=1

（1）利用为=:《'-求得/.

（2）利用裂项求和法求得q.

（1）

当瓜.2时，由S,二〃2,得S“T=（〃_I）2,

则a〃=S”—S.T=/—（〃—1）2=2〃—1.

当〃=1时，有S]=l=4，符合上式.

综上，an=2n-\.

（2）

/11_If111

由得，4q「⑵1）（2〃+1）羽.亦T卜

则7；」口」+_1」+_1」+...+^_一_q

”2（1335572n-\2n+lJ

=斗__!_]=」.

2（2n+\）2n+\

4.（2022河北深州市中学高三期末）己知数列｛4｝的前n项和为S，4-3,

a»i=2S.+3（〃eN*）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设若数列厂二|的前〃项和为北，证明：Tn<\.

[她+J

【答案】（1）勺="；（2）证明见解析；

【解析】

【分^5】

（1）根据、。得到｛q｝是首项为3,公比为3的等比数列，即可得到数列｛4｝

，一，1，〃之2

的通项公式；

（2）首先求出々=〃，令S-,再利用裂项相消法求和即可得证；

【详解】

解：（1）因为4=3,%+]=254+3（〃cN*）,当〃=1时出=2$+3=9,当-22时,an=2Sn.,+3,

所以"-4=25+3-（2%+3）,即4.「q=2%,即q.广瓯，又％=3q,所以｛4｝是

首项为3,公比为3的等比数列，即％=3”.

（2）由（1）知％=3",「.bLlog3a0=1吗3"=〃,令6=住~,则

111__1_

C""%n（n+l）n〃+1'

所以q=G+G+..G=l」+L—+...+--=1----<1.

"12"223nn+\n+\

5.（2022•山东莱西•高三期末）已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，且q,勺，S”为等差数列；

数列｛2｝满足仇=6,"=S”+，+4.

⑴求数列也｝的前〃项和，；

3〃一207m—4

⑵若对于\/〃£N，总有------〈一加一成立，求实数机的取值范围.

【答案】（1）（=2"「击+3〃.

（2）m>-.

7

【解析】

【分析】

（1）由等差数列的性质得2q=q+S”，继而有2q.1=4+S“…两式相减得为“=2%,由此

得数列｛〃“｝是以2为公比的等比数列，求得耳，S“，再由此求得以，运用分组求和法和等

比数列的求和公式可求得

（2）由（1）将不等式转化为7〃L4>64X2，，再令。“=今券，作与网，

判断出当〃=8时，％取得最大值上，由此得7"-4>64x3,求解即可.

（1）

解：因为q，4，S”为等差数列，所以2，三%十邑，所以2%+I=q+S”,1,两式相减得

2%—2%=S”+「S”，

即=2q,所以数列｛〃“｝是以2为公比的等比数列，

又伪=6,bn=Sn+—+4,所以6=4+,+4,解得4=1,所以勺=2小，

ana\

0l-2rt-，x2.

□„=-------------=2—1»

“1-2

所以%=2T+击+4=2”+击+3,

所以7；=/-=（2+击+3*?+表+3>...+（2"+击+3）

=（2+22*1-----k2"）II"j"1-----Z'T卜3〃

.11

l-2flx21――

"2J

2

=2日-击+3%

所以7>2””-击+3〃：

（2）

,,3丁3­、13〃-2077w-43r,一3〃一20

解：由（z1x）得不等式为亍整理得7m-4>64x亍=，

人3〃—20...3（〃+1）-203n-2023-3〃

令。=下「，则%-------近L下L，

所以当0v〃W7,〃€N'时，c”+「c”>0,即。+/q,

当心7,〃cN*时，*「c”<0,即所以当“8时，c“取得最大值c产至辞=],

所以7/〃—4>64x-!-,即7/〃一4>2,解得心士

327

所以实数小的取值范围为用>:

6.（2022•山东省淄博实验中学高三期末）已知数列｛〃“｝的前〃项和配,满足：4=1,

Sn+i=2s“+1,〃wN*.

（1）证明：数歹Ms,+1｝为等比数歹|J；

⑵设包=金一,求数列｛〃｝的前"项和

【答案】(1)证明见解析；

(2)4=1_

Z-1

【解析】

【分析】

(1)利用给定的递推公式变形即可推理作答.

(2)由(1)求出么的表达式，再借助裂项相消法计算作答.

(1)

数列｛。力的前〃项和S”，由5向=2邑+1,有S〃X+1=2(S,+1),而E+l=4+l=2,

所以｛S〃十1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)

由(1)知，S.+l=2",于是得a“u=Sw-S.=2"+「l-(2"-l)=2",

肉叶b=2"-QI)=1______1_

”一(2用一1)(2"-1)(2w+,-l)(2w-l)2W-12川一1，

所以(=4+4+...+么=(-^-------------------^―)+•••+(------J—)=i——5—.

"12"2'-122-122-123-12"-12n+l-l2n+l-l

7.(2022•山东青岛•高三期末)给定数列｛4｝,若满足4=。(。＞0,且々¥1),对于任意的

丸nwN*，都有分+”=品•,则称包｝为“指数型数列

⑴已知数列｛4｝的通项公式为可=3",证明：｛4｝为“指数型数列”；

(2)若数列｛4｝满足：a｝=la„=2an+i+ana„+ii

(I)判断J'+l是否为“指数型数列“，若是给出证明，若不是说明理由；

(H)若4=9〃，求数列也｝的前〃项和九

【答案】(1)证明见解析

(2)(I)是，证明见解析；(II)北=2田+殁5-2.

【解析】

【分析】

(1)由新定义直接验证即可证明

121

(2)(I)由题意可得一=一+1,先求出一+1的通项公式，再由新定义直接验证即可.

%+1an(A.

(H)由题意可得以=2"+〃-1,由分组求和即可得出答案.

(1)

%•4=3MS"=3g"=M为”指数型数列“

(2)

(1)将4=M1.1+4，。/1两边同除4・4+]

得：—=—+1,.-.—+1=2(—+1)

是以2为首项，公比为2的等比数列

+l=2rt

°n

(―+1)(—+1)=2M+W=—+1

Ofn4-rn

是“指数型数列”

(II)因为」~+1=2"，则么='+〃=2"+"-1

%4

.-.7；,=(2+22+L+2")+(l+2+L+〃)-〃

2x(12)(1+〃)x〃,

1-22

2

8.(2022・山东临沂・高三期末)设数列｛4｝的前〃项和为力，且满足〃=，+可+2(〃6川)，

2'=3(4+。6).

⑴求数列的通｛〃“｝项公式：

⑵若以=见+仁『，求数列也〃｝的前〃项和0.

【答案】（1）可=2〃

【解析】

【分析】

（1）根据凡+i=S"+「S”化简条件可得数列为等差数列，再由2%=3（%+4）求出首项即可

得出等差数列的通项公式；

（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.

（1）

•・F+i=%+a“+2（〃wN'）

4=2，

.•・｛〃“｝是以2为公差的等差数列，

♦.•*5=3（《+4）

2x56=3x2a5,

即10（4+4）=6（4+8）,

解得q=2,

/.«„=2+（n-1）x2=2n

（2）

\_

4

Tn=2(1+2+3+…+m)+

9.（2022•山东淄博.高三期末）己知数列｛«）满足

a2~a\a3~a2a4~a3q+1一””

⑴设"=凡+「凡，求｛〃｝的通项公式；

(2)若q=2,求｛4｝的通项公式.

【答案】⑴以吟;

⑵%=4-兴

【解析】

【分析】

(1)分析可得厂+丁+7+…+:=2向-2,由前〃项和与通项的关系可求得数列出｝的通

项公式；

(2)由已知可得。川-勺=£，利用累加法与错位相减法可求得数列｛4｝的通项公式.

(1)

123n_„|_

解：由已知可得7■+1+丁+…+r=2+-2.

b\打,bn

当〃=1时，则有上=2,可得4=(,

123n__1_123〃-15-

当〃22时，由一丁+1++…+丁=2"-2pJ^-+—+-+•■•+—=2-2,

AAbybn瓦h24%

上述两个等式作差可得/=2角-2”=2"，所以，b：

满足以=£，故"=£.

(2)

解；由⑴可得*_%=袭，

设s”=g+最+―+…+/，则;S“整+京+…品，

上述两个等式作差可得殳=2+《+!+…+占-磊=2，:)$

1--

2

〃+2

F，

所以，S.=2一噤,

)2

由已知可得小-4=3，〃3-。2=至，L，(1“八-4=果，

累加得。.「6=2=2-噤，所以，q”9

'/r+1T

因此，aa=4一2，

因为4=2符合上式,

所以…一貂

10.（2022•山东枣庄•高三期末）已知等差数列｛&｝中，4=2,公差d>0,其前四项中去

掉某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列｛〃｝的前三项.

⑴求d的值：

⑵设｛4｝中不包含也｝的项按从小到大的顺序构成新数列匕｝,记匕｝的前〃项和为S“，求

,^200•

【答案】（1）4=2

（2）42962

【解析】

【分析】

（1）等差数列｛勺｝的前四项为2,2+4,2+24,2+34,分别讨论去掉第一项、去掉第

二项、去掉第三项、去掉第四项，余下的三项成等比中项列可得答案；

（2）由⑴。“=〃，a=2"，计算出的。。，瓦，酊嗫，得｛7｝的前200项是由｛为｝的

前208项依次去掉｛〃｝的前8项得到的.再利用等差数列、等比数列的前n项和求和可得答

案.

（1）

等差数列｛〃“｝的前四项为2,2+d,2+2d,2+34,

若去掉第一项，则有（2+2dy=（2+d/2+3d）,解得d=0,不符合题意，

若去掉第二项，则有（2+2jy=2（2+3d）,即4/+2d=0,

由题意，这是不可能的，

若去掉第三项，则有（2+4）2=2（2+34）,解得4=0（舍去），或d=2,

若去掉第四项，则有（2+d）2=2（2+2d）,解得d=o,不符合题意,

综上，d=2.

⑵

由⑴，an=2+2（n-l）=w,

等比数列也｝的前三项为2,4,8,故也｝的公比。=%=2,

所以2=2,2"T=2",

9

由嗫=2x200=400,々=28=256,/?9=2=512,=2x208=416,

知£｝的前200项是由｛为｝的前208项依次去掉也｝的前8项得至U的,

于是$200=(4+&+L+%8)-伯+H+L+&)

(4+〃208)X2084一散

—1-2

(2+2x208)x2082-2x28

=42962.

~1-2

11.（2022•山东泰安•高三期末）在等比数列｛4｝中，4，出，4分别是下表第一，二，三列中

的某一个数，且4M2，%中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列｛q｝的前〃项和为S”.

第一列第二列第三列

第一行1-416

第二行27-10

第三行5128

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）证明：数列｛S“｝中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.

【答案】（1）q=2（-2产

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）分别讨论4=1、4=2、0-5时与小、内的值构成的等比数列可得答案;

（2）求出S.、5向、S..2根据等差中项性质可得答案.

（1）

当4=1时，不论生取7还是12都不能与-10或8构成等比数列，不合题意

当4=2时，当且仅当生=-4,%=8时符合题意，

当4=5时，不论生取7还是-4都不能与-10或16构成等比数列，不合题意,

・,.q=_2,.・.q=2・(_2严.

Q)

2[1-(-2)[

"-1-(-2)

4?44

.・•，+%=]+；(-2严W(-2)”

'?7'

=2---(-2/=25„,

,Sn,Sa+2或S„+2,S“,5”.i成等差数列,

・•・数列｛S,｝中的任意连续一.•项按适当顺序排列后可以成等差数列.

12.（2022•山东日照•高三期末）数列应｝中，已知q=lMe=S”+l,数列｛加｝满足4=々，

点P（2也z）（〃eN・）在直线x-y+3=。上.

⑴求数列｛《｝,｛"｝的通项公式；

（2）数列｛4｝中满足：①%<999；②存在〃?wN“使久=。”的项组成新数列｛©•〃｝,求数列｛C7?｝

所有项的和.

【答案】（1）凡=2小，bn=3n-2

(2)341

【解析】

【分析】

(1)由凡与S”的关系式可得｛q｝通项公式，再由点P与直线的关系可得｛〃｝的通项公式;

(2)找出｛《｝,｛"｝满足条件的共同项再求和即可.

(1)

q+1=2〃“①，%=S1+1=2,满足①，

所以｛凡｝是以1为首项2为公比的等比数列，

所以勺=2"1

因为点P电也+1)(〃eN')在直线x-y+3=0上，

所以々+「勿=3,…=1,低｝是首项为1公差为3的等差数列，所以以=3八-2.

(2)

%<999且满足/=勺的｛&｝中项一定是除3余1的数，即形如4”=22”的数，

2345

同时。=4=1满足，所以°2=4,c3=4,c4=4,c5=4=256,4=1024>999

数列｛。〃｝所有项的和为：1+4+42+43+4,=341.

13.(2022•山东青岛•高三期末)已知数列｛尺｝满足：

(1)求证：存在实数义，使得6+46T=；(EI+义工.2)；

(2)求数列｛乙｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

⑵工=32"--[(-5

【解析】

【分析】

(1)先假设存在，再通过变形论证存在即可；

（2）通过⑴先得到工-2工一尸-（一夕咒再变形为《+*夕=2［&+„］即可

求解.

（1）

证明：由6+46T=；（EI+丸工.2）变形整理得：K=J—4）KT+EL2，

AA

所以:-4=1,解得4=一2或2=；,经检验，％=-2或4=；都满足题意.

故存在实数;I，使得K+"；T=2优T+/-2）・

A

（2）

由（1）不妨取2=-2,则有E一2&=—"厂2立2），

而鸟-2耳=-1=0,所以数列｛工-2Kl是首项为T,公比为-g的等比数列，

所以工-2居」=-（-g）T,（〃N2,〃eN*）,即居-2居」=-4（-5”,

设其可变形为笈+«-夕=2［Fn_x+/（-:产］,解得”;

即有K+*/而£+*；）=|»

故数列｛工+《（-》”｝是首项为公比为2的等比数列，

所以"+%-=］、2小，即

J/JJ。乙

经检验，〃=1也满足上式，故乙=321-（（-；）”.

14.（2022•山东德州•高三期末）已知等差数列｛4｝中，d=4,首项％>0,其前四项中删去

某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列｛2｝的前三项.

（I）求｛4｝的通项公式：

⑵设｛4｝中不包含也｝的项按从小到大的顺序构成新数列匕｝,记｛&｝的前〃项和为S.,

求SQ

【答案】⑴?=4〃

⑵S20=1176

【解析】

【分析】

(1)根据题意求出q=4,从而求出通项公式；(2)先求出｛4｝的前25项和，再减去前25

项中含有数列｛"｝中的项的和，求出答案.

(1)

等差数列｛4｝中，4＞。，d=4,其前四项4，q+4,q+8,q+12中删去某一项后(按

原来的顺序)恰好是等比数列｛a｝的前二项.

根据题意，当删去数列｛凡｝中第三项4+8时，

满足(4+4)2=4x(4+12),解得4=4；

删去叫时，满足(q+8)2=(q+4)x0+⑵，此方程无解,不满足题意,同理可证，删除4+4

与q+12时，均不满足题意；

故％=4；

所以q=4+4(〃-1)=4〃，

(2)

已知等差数列｛an｝中，。“=4〃,

数列｛四｝中的项为:4,8,16,32,64,128,256,...»

所以a2s=100.

故数列｛4｝的前25项和为&=4x25+至/x4=1300,

数列｛4｝的前25项中含有数列｛4｝中的项的和为4+8+16+32+64=124,

所以%=1300—124=1176.

Ln-2k-\

15.(2022・山东烟台.高三期末)已知数列｛4｝满足4=4,5""+〃'〃=(kwN).

an-2%n=2k

(1)记"=生”-2,证明：数列,/为等比数列，并求｛〃｝的通项公式；

⑵求数列｛q｝的前2n项和S2n.

【答案】(1)证明见解析：”=g产，〃eN;

⑵S2n=-2n2+6n+6-.

【解析】

【分析】

⑴根据给定的递推公式依次计算并探求可得或求出4即可得证，并求出通项公式.

(2)由(1)求出色.，再按奇偶分组求和即可计算作答.

(1)

依题意，=叼"2一2=3生〃+】+(2〃+1)-2=3(。2“一2乂2〃)+(2〃+1)-2=3%-1

1,一、1,

=5(出“_2)=#

而b]=%-2=gq+1-2=1>0,

所以数列｛〃｝是以1为首项，g为公比的等比数列，"=g)"T,〃eN.

(2)

i_(i)n

由(1)知，々2.=2+2=(；)"T+2,则有a2+6+…+W”=--^-+2n=2-(^-)n~l+2n,

21--2

2

又出”=g«2»-i+2〃-1，则a2n_x=2a2n-2(2〃-1)，

于是有4+/+…+/”-i=2(%+%+…^x〃=2[2-g)"T+2川-2/

2

=-2/?2+4/1+4-,

2

因此，S2n=(ai+a3+-+a2n_l)+(a2+a4+-+a2n)=(-2n+4n+4-：^)+(2-^+2n)

=-2n2+6/1+6--,

3

所以S?”=一2/?+6n+6-尸p•

【点睛】

思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，有的可

借助累加、

累乘求通项的方法分析、探讨项间关系，有的可利用奇偶分析逐步计算探求项间关系而解决

问题.

16.（2022•山东济南•高三期末）已知数列｛《｝满足：%+2+（-1）"。”=3，6=1，%=2.

（1）记以=生小，求数列｛〃｝的通项公式；

（2）记数列｛%｝的前〃项和为S”,求％.

【答案】⑴―

（2）353

【解析】

【分析】

（1）令〃取2〃-1代入已知条件可以得到%-勿=3,从而求出数列｛〃｝的通项公式

（2）先分奇偶求出数列｛q｝的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到

（I）

因为。”+2+（一1）"。”=3，令〃取2〃一1,则。2”+1一。2〃-1=3,

即以+「2=3,耳=4=1,所以数列也｝是以1为首项，3为公差的等差数列，所以以=3〃-2

（2）

令〃取2”,则。2”+2+生==3,

所以&）=（4+%4---卜％）+（出+。4----1"%）），

由（1）可知，％+%+…+々29=4+"+…+/=330；

_|

02+a4H---卜4“=02+（4+46）---1-（^4-^）=2+21=23；所以S30=330+23=353

17.（2022•湖北武昌•高三期末）已知数列｛q｝满足％=1,生=2,且对任意〃cN’，都有

an+2=3an+i-2an.

⑴求证：｛%「4｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

12m15

（2）求使得不等式一+—+…+—"Z成立的最大正整数m.

a\a2am4

【答案】（1）证明见解析；%=2"

（2）m=6

【解析】

【分析】

(1)由条件可得％+2一”川=2(q用-4)从而可证明，再根据累加法可求出｛4｝的通项公式.

⑵由错位相减法求;1;一+—+…+2的表达式，然后再解不等式从而得出答案.

4%%

(1)

由q+2=3q+i-24，得%-*=2(%-a”),

所以｛。用-2｝是等比数列.

所以%「%=他一4)><2”7=2〃7

从而4=(4一6”)+(。1一%_2)+…+3-％)+(生一4)+4

=2n~2+2"3+…+2°+q=2n-2+2”-+…+1+1=2M

所以，勺=2一.

⑵

12

设L=—I-----1-----1-----

□nc123m-\m”-23m-\m

即5”,=,+]+齐+…++广，所以,2S-=2+,+/+…+

于是，S=2d----1----F…H-------H-----7------r=4--------.

•m]22M3-2"'-22阳-2度一

因为鼠1=鼠+等〉鼠，且56=?，

所以，使—[+—2+…+型AW"丁]5成立的最大正整数〃?=6.

4出外4

18.(2022•湖北江岸•高三期末)已知数列｛4｝中，4=1,%=3,且满足

%二4।1/V、

〃(％+2-%+J(〃+1)(%-%)2〃(〃+1)("，卜

⑴设2=T」(〃eN)证明：也｝是等差数列；

4.1一%

⑵若C”吟(〃€N)求数列｛叫｝的前〃项和S“.

n

【答案】(1)证明见解析；

⑵S*3"-1.

【解析】

【分析】

(1)利用等差数列的定义可证得数列｛4｝是等差数列：

(2)求出数列｛a｝的通项公式，可求得数列｛4｝的通项公式，可得由〃%=2X3”-\再利用

等比数列的求和公式可求得

(1)

a””_an1

"明：'〃(%+2-q+1)(〃+1)(《川・％)+2〃(〃+1)，

.(〃+%+]所以.%="+；,即％-2二；,

-i4“一勺222

所以，数列｛〃｝是以々=g为首项，公差的等差数列.

(2)

解：由(1)可得：2=〃+(〃—lN=](〃eN'),所以，丁色丁=3，

整理可得。向=3%，所以，数列｛④｝是以4=1为首项，公比夕=3的等比数列，

a2x3”"

所以，勺=尸，则-----,则〃%=2X3"T

hn〃

l2w|21-3n

所以，Sn=2x(l+3+3+---+3-)=^=3-l-

19.(2022•湖北襄阳•高三期末)设｛4｝是正项等比数列，也｝是等差数列，已知q=l,

a4=a3+2a2,a4=b2+bb,%=2+4".

⑴求｛4｝和｛a｝的通项公式；

⑵设数列k”｝满足c'=3"log2%,是否存在实数〃、q,使得｛c“｝前〃项和为

(=(今江)3川+4，如果存在，求实数〃、4的值，如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)。“=2「勿=〃；

9

(2)存在，P=4,q=~.

4

【解析】

【分析】

（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式即求；

（2）由题可得％=（〃-1>3”，然后利用错位相减法可得看=（&^）37+名，再结合条件

即得.

（1）

设数列｛4｝的公比为小,数列低｝的公差为d，则

由4=4+2%，得七夕：=七41+2a2，即夕；一1一2=0,

解得［=2或q=T（舍），又4=1,

所以勺二2小,

伪+4=82&+6d=8

,即

b4+4b7=3254十27d=32

（b.

解得「

所以4=〃；

(2)

,••c”=3'/og2凡，

n,nn

.\cfl=log22--3=(w-l)3

于是7；=03+1了+21+...+(〃-2>3”T+(〃-1>3”,

37；=0-32+l-33+2-344-.+(n-2)-3n+(/i-l)-3rt+,,

两式相减可得:

驾户—（〃7）.3yl一〃卜9

-27；=32+33+34+.••+3W-(n-1)-3rt+,

2

平卜"+'又因为k］等上+4

所以存在P=4,g使得匕｝前〃项和为7；=（写

20.（2022•湖北省鄂州高中高三期末）己知数列｛4｝满足4=1,勺+%=2〃：数列出｝前

〃项和为s”,且4=1,2Sn=bll+i-\.

⑴求数列｛凡｝和数列也｝的通项公式；

（2）设%=%力“，求匕｝前2〃项和

【答案】⑴叫（〃」，（n=2k-\,keZ）

IT

【解析】

【分析】

（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

（1）

n>2,q_]+q=2（〃一l）,，％+]—a“_|=2,又q=l,a2=lf

n=2k-1（2为正整数）时，｛4z｝是首项为1,公差为2的等差数列，

・・・%T=2"1,an=n,n=2k（女为正整数）时，｛出J是首项为1,公差为2的等差数列.

n,(n=2k-\,kGZ)

/.a=2k-\,a=n-

lkn/i-1,(/1=2k,kwZ)

•・・2，=%-1,・・.〃22时，2sL-1,工2—“,

-1

又3-3,・•・速/2时,bn-3""，々=1=3°,/.bn—3"；

⑵

w

,fw3-',(n=2k-ltkeZ)

由⑴得%=1(〃_I)3T(〃=2QZ)，

=(1X30+3x3?+5x3'+…+(2A—1)・32"-2)+0X3|+3X33+5X35+・・・+(2〃-1),32小)

=4(1x3°+3x324-5x34+.-(2n-l)-32rt-2)

设K“=lx3°+3x32+5x34+…(2〃-1>32"-2①

贝ij9K“=1X32+3X34+5X36+・・・+(2〃-1>32"(2)

①一②得-8K,,=1+2(32+34+--+32"-2)_(2〃_1).32"=5+(8〃-5)9,

5+(8〃-5)9”5(81)9”

l322"―8

21.（2022•湖北•高三期末）已知等比数列｛4｝的公比为心前〃项和为S“，an>0,

3a2+2%~a4»S§=\34+4.

⑴求｛4｝；

⑵记数列血｝中不超过正整数机的项的个数为,，求数列也“｝的前100项和小.

【答案】（1）勺=打

（2）384

【解析】

【分析】

（1）根据等比数列的定义和求和公式，列出方程组，解出片和公比9,则可求出其通项公

式；

（2）由（1）可求得仇=1,且当3"-七〃?<3"时，九=〃，可依次求出力的值，再求和即可.

（I）

由3%+2%=4得342+2,4，则q2-24-3=0,

因为例>0,则4>0,4=3,

又S$=IM+4,皿二工2=]3%・9+4,则q=l,

1-3

所以e=3i.

(2)

(2)由题设及(1)得4=1,且当3"T«〃7<3"时，鼠=%即

瓦=a=1力3=b、=…=瓦=2,b§=%=…=&6=3,

b27=%=.,•=%=4也]=%=.••=£»=5,

所以Zoo=1x2+2x6+3x18+4x54+5x20=384.

22.（2022•湖北・恩施土家族苗族高中高三期末）已知｛4｝是公差为1的等差数列，且“,电,

4成等比数列.

（I）求s〃｝的通项公式；

（II）求数列糕｝的前〃项和.

【答案】（1）4=〃.（2）S.=2-噤.

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得凡的通项公式.

（2）数列祟可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解.

【详解】

（1）由题意得。2?=44，「.（4+1）2=4（4+3）,故巧=1,

所以｛《』的通项公式为

（2）设数列C的前「项和为S“，则

c123n

5/1=2+2T+F+，，*+27，

4+盘+卷+…+3，两式相减得gsO=：+（《+《+!+…+/

所以S.=2-骞.

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基

础题.

23.（2022•湖南娄底•高三期末）在等差数列｛《,｝中，己知。2,%是一元二次方程

d-i9x+70=0的两个根.

⑴求出，生;

（2）求｛《,｝的通项公式.

【答案】（1）%=5,%=14或%=14,a5=5

(2)。“=3〃-1或勺=-3〃+20

【解析】

【分析】

(1)求出方程的根即可.

(2)由(1)可解出等差数列的公差即可.

(1)

因为炉一19X+70=0,所以x=5或14,

所以出=5,«5=14；或%=14,%=5.

⑵

设公差为其

若电=5,6=14,得d二(-=3,

5-2

所以通项公式为q=&+(〃-2)d=3〃-l；

若%=14,%=5,则d=^l=_3,

所以通项公式为=a2+(n-2)d=-3n+20.

故｛4｝的通项公式：%=3〃-1或q=-3〃+20.

24.(2022・湖南常德・高三期末)已知数列｛4｝的前〃项和为%且5“=(〃+1)(勺-〃乂〃£”).

(1)求修，生并求数列｛4｝的通项公式；

an,\</;<10

(2)若数列也｝满足：btt=-4求数列低｝前20项的和7.

4%'

【答案】(1)4=2,生=4,atl=2n

(2)2201

I'20

【解析】

【分析】

(1)在已知条件中分别取〃=L〃=2可求得4生的值，当"N2时利用和与项的一般关系

%=S.-Si得到4-凡一尸2(〃22),从而判定数列为等差数列，然后得到通项公式;

（2）利用分段求和法、等差数列求和公式和裂项求和法求得数列｛仇｝前20项的和（0.

⑴

解：由题可知，4=S1=2（4-1）,解得4=2.

在Sn=(〃+1)(4一〃)中令〃=2,得4+电=$2=3(&-2),解得出=4；

•・・S”=(〃+l)&-〃)①,

・•・S.T=〃--叨(〃之2)②,

由①一②得：%=(〃+1)4—〃4“一2〃，即〃一4T-2)=0(〃22),

・・・q_*=2(〃22).

・•・数列｛4｝是首项与公差都为2的等差数列,

an=q+(w-l)J=2/i.

⑵

解：题可知，当时，”=2〃.

…+%=1°佃;兀）=11。

当〃对时，“最T扁刁=润1

n，

…+演=4-扑(*=)+…+(=-±)4-±4,

4=(4+…+40)+(4］+…+%)=110+==^^.

25.（2022•湖南郴州•高三期末）已知数列｛an｝的前〃项和为S“，q=2,且S,川=2+2S”（〃21）,

也」是公差不为0的等差数列，且々也也成等比数列，/曲。必成等差数歹U.

⑴求｛6｝,也｝的通项公式；

72〃+1/、

⑵若%=（-1）（包+1）幅4,求｛c”｝的前2〃项和心.

［答案］⑴…“；b,=n

⑵篇

【解析】

【分析】

(1)由已知列式解方程组可得解.

(2)裂项求和即可.

(1)

『S—2+2s

•・•当〃22,两式相减可得以=4(〃之2)

由S1=%=2,代入S»i=2+2S”可得S?=6,%=4,满足%=24,

所以M,｛勺｝为等比数列、：.⑸=2",

不妨设等差数列｛〃｝公差为d，由条件可得

b；=btb4,2bi0=%+4,

他+d)2=a(a+3d)

解得&=l,d=l,

2(4+94)=4+16

所以2=1+(〃-l)xl=〃

⑵

./i\"+i2〃+1

由⑴可知c*(T)*而可

2/2+12〃+1

26.(2022•广东揭阳•高三期末)在各项均为正数的等比数列｛4｝中，々=区%-4=48.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)2=log,空，求数列H的前"项和S”.

■2〔她+2)

【答案】⑴凡=2x3”

32/2+3

⑵12(八+1)(〃+2)'

【解析】

【分析】

(1)由条件可得＜।24Q，从而可解得4闯，得到答案.

aq-«1=48.

(2)由(1)可得d=〃，则[二二一白齐=；仁一=],利用裂项相消法可得答案.

她-2〃(〃+2)2(〃n+2)

(I)

设数列｛4｝的公比为q,依题意可得

%=67^=18,

%-4=4夕2-at-48.

解得4=3或q=-g,又因为数列｛《,｝的各项均为正数，所以4=3.

从而可求得4=6,

所以，q=6X3”T=2X3".

⑵

d=1嗝甘=晦3"=〃，

1=1=1/1__

她+2〃(〃+2)5("n+2)

111]1

S”=------1---------1-------F・・・+

1x32x43x5(〃-1)5+1)〃(〃+2)

32/7+3

12(〃+1)(〃+2)

【点睛】

27.(2022・广东潮州•高三期末)设等差数列｛&｝的前〃项和为S”,4=6%=14.

⑴求数列｛q｝的通项公式4及前〃项和S”；

(2)若,求数列2“｝的前〃项和

在①4=24%;②"二"磬上这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并求解.

(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】⑴%=2〃，=1+〃；

⑵若选①"=2%q，?；=枷-1):+8；

若选②包,7；=8ZZ+^L

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列的通项公式，结合等差数列前〃项和公式进行求解即可；

(2)若选①2=2"〃/，利用错位相减法进行求解即可；

若选②"=%三%,利用裂项相消法进行求解即可.

(1)

设等差数列的公差为d,由《=6%=14,可得：

q+2J=6八ccc(2+2〃)〃

•=>d=2,4=2=2+(〃-1)•2=2n,S=-------=/T2+〃；

4+64=142

(2)

若选①a=2%可.

因为。=2",

所以。=2/a”=22n(2n)=4"•(2以,

因止匕7；=4x2+42x4+43x6+…+4”.(2〃)，

4£=42x2+43x4+4$x6+…+4”(2通,两个等式相减得:

-37；=4x2+42x2+43x2+...+