安徽省泗县刘圩高级中学2025届数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

安徽省泗县刘圩高级中学2025届数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线与曲线的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等2．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是A.3 B.4C.5 D.63．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)4．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A.15 B.C.6 D.35．已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（）A.增大 B.减小C.不变 D.无法确定6．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜17．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.8．已知，，若，则（）A.9 B.6C.5 D.39．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（）A. B.C. D.10．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）A. B.3C. D.11．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.C. D.12．已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，设以为对角线的椭圆内接平行四边形的一组邻边斜率分别为，则（）A.1 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知与所在平面垂直，且，，，点P、Q分别在线段BD、CD上，沿直线PQ将向上翻折，使D与A重合．则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为______14．若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________15．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.16．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上的动点到焦点的最大距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，弦的中垂线交轴于，当变化时，是否为定值?若是，定值为多少?18．（12分）已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B（1）求双曲线C的方程；（2）过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值19．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值20．（12分）各项都为正数的数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.21．（12分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆C与x轴正半轴的交点，直线AP的斜率为，若椭圆长轴长为8（1）求椭圆C的方程；（2）点Q为椭圆上任意一点，求面积的最大值22．（10分）已知曲线上任意一点满足方程，（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线在轴左、右两侧的交点分别是，且，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为,焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为,焦距为,故选：D2、B【解析】循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B考点：程序框图的功能3、C【解析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.故选C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{an}前6项的和公式中即可求出结果【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=故选C【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用5、C【解析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，则，为常数，故选：C.6、A【解析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故选A【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误7、A【解析】求出、的值，可得出双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：A.8、D【解析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】.故选：D.9、A【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，.故选：A【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.10、C【解析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.【详解】如示意图，由题意，，则，又，，所以，所以.故选：C.11、C【解析】先由已知结合抛物线的定义求出，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为，然后由题意可得，进而可求出双曲线的离心率详解】依题意，抛物线准线，由抛物线定义知，解得，则准线，双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，则面积，双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得故选：C12、C【解析】根据椭圆的对称性和平行四边形的性质进行求解即可.【详解】是椭圆上关于原点对称两点，所以不妨设，即，因为平行四边形也是中心对称图形，所以也是椭圆上关于原点对称的两点，所以不妨设，即，，得：，即，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】取的中点，的中点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据求出，再由空间向量的数量积即可求解.【详解】取的中点，的中点，如图以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，由，即，解得，所以，故，设为平面ACQ的一个法向量，因为，，由，即，所以，设直线AP与平面ACQ所成角为，则.故答案为：14、；【解析】可化简曲线的方程为，作出其图形，数形结合求临界值即可求解.【详解】由可得，所以曲线为以为圆心，的下半圆，作出图形如图：当直线过点时，，可得，当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离，可得：或（舍），若直线与曲线没有公共点，由图知：或，所以实数的取值范围是：，故答案为：15、【解析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果【详解】椭圆，可得，设，，可得，化简可得：，，故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16、【解析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）是，【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出，的方程，解方程求，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦的长和其中垂线方程，再计算，由此完成证明.【小问1详解】抛物线的交点坐标为（1，0），，又，又，∴，椭圆的标准方程为.【小问2详解】设直线的斜率为，则直线的方程为，联立消元得到，显然，，∴，又的中点坐标为，直线的中垂线的斜率为∴直线的中垂线方程为，令，，（常数）.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可得，，即求；（2）由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证【小问1详解】由题意可知在双曲线C中，，，，解得所以双曲线C的方程为；【小问2详解】证法一：由题可知，设直线，，，由，得，则，，∴，，；当直线的斜率不存在时，，此时.综上，为定值证法二：设直线PQ方程为，，，联立得整理得，由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则解得，，，，由双曲线方程可得，，，，∵，∴，，证法三：设直线PQ方程为，，，联立得整理得，由过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则解得，∴，，由双曲线方程可得，，则，所以，，，∴为定值19、（1）证明见解析，直线与平面的距离为（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值【小问1详解】解：因为平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因为，因此，平面.所以，平面的一个法向量为，，平面，平面，则平面，所以，直线到平面的距离为.【小问2详解】解：若，则、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，.因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.20、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；（2）化简，结合裂项相消法求出数列的和；（3）利用分组法求得，结合，即可求得的最小值.【小问1详解】解：因为各项都为正数的数列的前项和为，且满足，当时，解得；当时，；两式相减可得，整理得（常数），故数列是以2为首项，2为公差的等差数列；所以.【小问2详解】解：由，可得，所以，所以.【小问3详解】解：由，可得，所以当为偶数时，，因为，且为偶数，所以的最小值为48；当为奇数时，，不存在最小的值，故当为48时，满足条件.21、（1）（2）18【解析】（1）易得，，进而有，再结合已知即可求解；（2）由（1）易得直线AP的方程为，，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的面积取得最大值，将代入椭圆方程，联立即可得与AP距离比较远的切线方程，从而即可求解.【小问1详解】解：由题意，将代入椭圆方程，得，又∵，∴，化简得，解得，又，，所以，∴，∴椭圆的方程为；【小问2详解】解：由（1）知，直线AP的方程为，即，设与直线AP平行的直线方程为，由题意，当该直线与椭圆相切时，记与AP距离比较远的直线与椭圆的切点为Q，此时的