2025届河南省济源英才学校高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届河南省济源英才学校高一数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知的定义域为，则函数的定义域为A. B.C. D.2．若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B.C. D.3．命题：，命题：（其中），那么是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（）A.浮萍每月的增长率为2B.浮萍每月增加的面积都相等C.第4个月时，浮萍面积超过D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则5．已知，则的值为（）A. B.C. D.6．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）A或2 B.2C. D.17．设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.8．若，，且，则A. B.C. D.9．直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.10．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A.BC.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知a，b，c是空间中的三条直线，α是空间中的一个平面①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；④若a∥b，a∥α，则b∥α；说法正确的序号是______12．若函数过点，则的解集为___________.13．不等式的解集为_________________.14．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.15．把函数的图像向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得函数解析式是______16．若点在过两点的直线上，则实数的值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集（1）当时，写出集合A的生成集B；（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由18．已知是函数的零点，.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.19．已知函数；（1）求的定义域与最小正周期；（2）求在区间上的单调性与最值.20．已知函数，只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③最小值为（1）请写出这两个条件的序号，求的解析式；（2）求关于的不等式的解集.21．已知，（1）若，求a的值；（2）若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域2、D【解析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案【详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选D【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题3、A【解析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可.【详解】当时，，所以由能推出，当时，显然当时，满足，但是不成立，因此是的充分不必要条件，故选：A4、B【解析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误【详解】解：图象可知，函数过点，，函数解析式为，浮萍每月的增长率为，故选项A正确，函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，当时，，故选项C正确，对于D选项，，，，，又，，故选项D正确，故选：B5、B【解析】在所求分式的分子和分母中同时除以，结合两角差的正切公式可求得结果.【详解】.故选：B.6、C【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.【详解】是幂函数，，解得或2，当时，在上是减函数，符合题意，当时，在上是增函数，不符合题意，.故选：C.7、A【解析】根据图象可得：，，，.，则.令，，求函数的值域，即可得出结果.【详解】画出函数的大致图象如下：根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，则，，，.，，，则.令，，而函数在单调递增，所以，则.故选：A.【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.8、A【解析】∵，∴2既是方程的解，又是方程的解令a是方程的另一个根，b是方程的另一个根由韦达定理可得：2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=52+b=−6，即b=−8，∴2×b=−16=−q，∴q=16∴p+q=21故选：A9、D【解析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.【详解】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：∴所求直线l的斜率k满足或，，则或，∴，故选：D10、B【解析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时解析式求出即可【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝|x－1|(0≤x≤2)故答案为B【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、③【解析】根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明【详解】对于①，若a，b为平面α的直线，c⊥α，则a⊥c，b⊥c，但a∥b不一定成立，故①错误；对于②，若a∥α，b∥α，则a，b的关系不确定，故②错误；对于③，不妨设a在α上的射影为a′，则a′⊂α，a∥a′，由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正确；对于④，若b⊂α，显然结论不成立，故④错误.故答案为③【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，12、【解析】由函数过点可求得参数a的值，进而解对数不等式即可解决.详解】由函数过点可得，，则，即，此时由可得即故答案为：13、或.【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.【详解】因为，所以，所以或，所以不等式的解集为或.故答案为：或.14、####【解析】等价于，解即得解.【详解】解：因为命题“是假命题”，所以，所以.故答案为：15、【解析】利用三角函数图像变换规律直接求解【详解】解：把函数的图像向右平移后，得到，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到，故答案为：16、【解析】先由直线过两点，求出直线方程，再利用点在直线上，求出的值.【详解】由直线过两点，得，则直线方程为：，得，即，又点在直线上，得，得.故答案为：【点睛】本题考查了已知两点求直线的方程，直线方程的应用，属于容易题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】，【小问2详解】设，不妨设，因为，所以中元素个数大于等于7个，又，，此时中元素个数大于等于7个，所以生成集B中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，不妨设，则集合A的生成集则必有，其4个正实数的乘积；也有，其4个正实数乘积，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.18、(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可【详解】Ⅰ是函数的零点，，得；Ⅱ，，则不等式在上恒成立，等价为，，同时除以，得，令，则，，，故的最小值为0，则，即实数k的取值范围；Ⅲ原方程等价为，，两边同乘以得，此方程有三个不同的实数解，令，则，则，得或，当时，，得，当，要使方程有三个不同的实数解，则必须有有两个解，则，得【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.19、（1）定义域，；（2）单调递增：，单调递减：，最大值为1，最小值为；【解析】(1)简化原函数，结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.试题解析：；（1）的定义域：，最小正周期；（2），即最大值为1，最小值为，单调递增：，单调递减：，20、（1）（2）答案见解析【解析】（1）若选①②，则的解集不可能为；若选②③，，开口向下，则无最小值．只能是选①③，由函数的解集为可知，-1，3是方程的根，则，又由的最小值可知且在对称轴上取得最小值，从而解出；（2）由，即，然后对分类求解得答案；【小问1详解】选①②，则，开口向下，所以的解集不可能为；选①③，函数的解集为，，3是方程的根，所以的对称轴为，则，所以，又的最小值为，（1），解得，，所以则；选②③，，开口向下，则无最小值综上，.【小问2详解】由化简得若，则或；若，则不等式解集为R；若，则或当时，不等式的解集为或；当，则不等式解