2022上海市金汇某中学高二数学理期末试卷含解析

2022上海市金汇高级中学高二数学理期末试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

产占飞为参勤

1.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为I，="口，M是曲

线C上的动点.以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标

系，若曲线T的极坐标方程为2。击＞6+0886=20,则点/到点T的距离的最大值为

()

A.2+4^B,c.D.6石

参考答案：

A

【分析】

首先求出曲线T的直角坐标系方程，设点”(E生血1°),求出点M到直线T的距离，

利用三角函数即可求出点/到直线r的距离的最大值。

【详解】由曲线T的极坐标方程为2。加0886=加，可得曲线T的直角坐标方程为

xl2jr-20=0

由于点M为曲线C的一个动点，故设点.(他惠冬剑。)，

则点M到直线T的距离：

出色

所以当由@+椅=-1时，距离最大43=2.4、"，点M到直线T的距离的最大值为

故答案选A

【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属

于中档题。

】+aj

2.设I为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数4的值为

()

_21

A.2B.—2C.2

D.2

参考答案：

D

3.一抛物线型拱桥，当水面宽2nm时，水面离拱顶3m,当水面宽4m时，水面

()

(A)下降Im(B)上升Im(C)上升2m(D)上升3m

参考答案：

B

4.设Q是曲线T：上任意一点，/是曲线T在点Q处的切线，且/交坐标轴

于A,B两点，则AOAB的面积(0为坐标原点)

A.为定值2B.最小值为3C.最大值为4

D.与点Q的位置有关

参考答案：

A

x22=i

5.双曲线3-y-的焦点坐标是()

A.(±&，。)B.(°，土近)C.(±2,0)D.(0,±2)

参考答案：

C

【考点】KC：双曲线的简单性质.

【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出

22

c=yla+\>=2,即可得到双曲线的焦点坐标.

X22=]

【解答】解：•.•双曲线方程为3-yT

...双曲线的焦点在X轴上,且a?=3,b』

由此可得c=Va2+b2=2,

.•.该双曲线的焦点坐标为（±2,0）

故选：C

+2

6.当x>0时，""='+"则/"）的单调递减区间是（）

A.（2,+oo）B.（0,2）日也田）D.（°，应）

参考答案：

7.设R,F2是双曲线24的两个焦点，P是双曲线上的一点，且

31P及卜4闿1,则△尸尸出的面积等于

及

A4B.8百C.24D.48

参考答案：

C

略

2x-»+l>0,

x+加<0.

8.设关于无了的不等式组卜一切>°表示的平面区域内存在点产（%）。）满足

X。-2yo=2,求得切的取值范围是

-co.-g~0°'5-00,--

3

参考答案:

c

略

9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

8——8——

A.3B.3

空

C.D.3

参考答案：

A

10.过点（一1,3）且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程是（）

A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0

C.x—2y—5=0D.2x+y—5=0

参考答案：

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

II.（12分）某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个

11

时刻随机发出，且在8：00发出的概率为N,8：20发出的概率为28：40发出的概率为

1

4；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为

4,9：20发出的概率为29：40发出的概率为Z两班客车发出时刻是相互独立的，一

位旅客预计8：10至U站.求:

(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率;

(2)旅客候车时间的分布列；

(3)旅客候车时间的数学期望.

参考答案：

11

(1),••在8：00发出的概率为48：20发出的概率为2

第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，这两个事件是互斥的,

113

根据互斥事件的概率公式得到其概率为P=2+4=4.

(2)由题意知候车时间X的可能取值是10,30,50,70,90

根据条件中所给的各个事件的概率，得到

111

11—Xv———

P(X=10)=2,P(X=30)=4,P(X=50)=4416,

P(X=70)=42~8,P(X=90)=16,

旅客候车时间的分布列为：

候车时间X(分)1030507090

1

概率24?68?6

(3)候车时间的数学期望为

11_L1_L

10X2+30X4+50X164-70X8+90X16

25253545

=5+-2-+_8-+-4_+_8'=30.

即这旅客候车时间的数学期望是30分钟.

12.有下列关系:

(1)名师出高徒；(2)球的体积与该球的半径之间的关系；(3)苹果的产量与气

候之间的关系；(4)森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系;

(5)学生与他(她)的学号之间的关系;

(6)乌鸦叫，没好兆；其中，具有相关关系的是

参考答案：

(1)(3)(4)

13.已知抛物线y=2px(p>0)上一点M(l,m),到其焦点的距离为5,双曲线x2-=l的左

顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=.

参考答案：

4

14.在用十。中，斯=4。=2.如果一个椭圆通过4、3两点，它的一个焦点为点

另一个焦点在

边出上，则这个椭圆的焦距为.

参考答案：

如

aT

15.a>h贝Ia-1的最小值是___.

参考答案：

3

【分析】根据a>l可将a-1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注

意等号成立的条件即可.

【解答】解：；a>l,

aTA

a-l=a-1+a-1+1>2+1=3

当a=2时取到等号，

故答案为3

【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础

题.

16.已知AA8C为等边三角形，AB=2,设P、Q满足#=宓，3=。-孙10,

ZeR则2=

参考答案：

2或-1

z!£

17.已知点P是椭圆4+3=1上任一点，那点P到直线1：x+2y-12=0的距离的最小值

为—,

参考答案：

8娓

"V

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】运用椭圆的参数方程，设出点P,再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公

式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值.

【解答】解：设点P(2cosa，遮sina)(0WaW2n),

12cosa+2A/^sina-⑵

则点P到直线x+2y-12=0的距离为d=V5

|4sin(CL+30°)-12|

=飞

8娓

当sin(a+30°)=1时，d取得最小值，且为飞-.

875

故答案为：-T.

【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直

线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知曲线C的极坐标方程是。=1,以极点为原点，极轴为X轴的正半轴建立平

*

x=l+—.

-2+=/

,-u+---/

面直角坐标系，直线，的参数方程为12为参数)。

（1）写出直线/与曲线C的直角坐标方程；

xr=2x,

<

（2）设曲线c经过伸缩变换卜'=>得到曲线c'，设曲线上任一点为

“（XJ）,求X+2伤的最小值。

参考答案:

⑴/j3x-,y+2-73=0

解:

2

Cx+/=1（2分）

X'

x'=2xX=—

2

j=y

(2))=v代入c得

2

..Cr:—r+/=1

4

(5分)

x=2cos8

，A（°

设椭圆的参数方程J=刖8为参

数）（7分）

则x+=28S0+2A$m0=4«n(0+*)

（9分）

则x+2伤的最小值为-

40（10分）

略

/y2

口TT-5+-y=1（。>5>U）r?

19.（本题满分12分）已知4•玛是椭圆/b2'的两个焦点，过冬的弦

AB,若&48骂的周长为16,离心率'-2.

（I）求该椭圆的标准方程及其焦点坐标；

（H）若A,A?是椭圆长轴上的两个顶点，P是椭圆上不同于的任意一点.求证：直线

A,P与直线A2P的斜率之积是定值.

参考答案：

—也

（I刈=〔6=4ana=4又，-2,.工=2技b==2

故该椭圆的标准方程为：16+T~,焦点坐标为：8（-2&0）,玛（2忑,0）；

yy

（11）设则41.0）.4（4.0）,地

20.（本小题满分10分）

某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并

提高租金.如果每间日房租每增加1元，客房出租数就会减少5间.若不考虑其他因素，

旅游公司将房间租金提高X元，每天客房的租金总收入了元.

（1）写出了与X之间的函数关系式；

（2）旅游公司将房间租金提高到多少元时，每天客房的租金总收入最高？

参考答案：

⑴由题知尸（20+x）C?00-5x）

即

y=-5xa+200x+6000（X€[0,60]......

,•,5分

（2）.>=-20）2+8000

..x=20时为x=8000

所以旅游公司将房间租金提高到40元时，每天客房的租金总收入最高.......10分

21.（11分）如图，ABCD-AIBIGDI是正方体，0、M、N分别是BQi、ABi、ADi的中

点，直线AC交平面ABQi于点P.

（I）证明：MNII平面CBIDI