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文档简介
2022上海市金汇高级中学高二数学理期末试卷含解析
一、选择题:本大题共1()小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选
项中,只有是一个符合题目要求的
产占飞为参勤
1.已知在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为I,="口,M是曲
线C上的动点.以原点。为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标
系,若曲线T的极坐标方程为2。击>6+0886=20,则点/到点T的距离的最大值为
()
A.2+4^B,c.D.6石
参考答案:
A
【分析】
首先求出曲线T的直角坐标系方程,设点”(E生血1°),求出点M到直线T的距离,
利用三角函数即可求出点/到直线r的距离的最大值。
【详解】由曲线T的极坐标方程为2。加0886=加,可得曲线T的直角坐标方程为
xl2jr-20=0
由于点M为曲线C的一个动点,故设点.(他惠冬剑。),
则点M到直线T的距离:
出色
所以当由@+椅=-1时,距离最大43=2.4、",点M到直线T的距离的最大值为
故答案选A
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识,考查推理论证能力、运算求解能力,属
于中档题。
】+aj
2.设I为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数4的值为
()
_21
A.2B.—2C.2
D.2
参考答案:
D
3.一抛物线型拱桥,当水面宽2nm时,水面离拱顶3m,当水面宽4m时,水面
()
(A)下降Im(B)上升Im(C)上升2m(D)上升3m
参考答案:
B
4.设Q是曲线T:上任意一点,/是曲线T在点Q处的切线,且/交坐标轴
于A,B两点,则AOAB的面积(0为坐标原点)
A.为定值2B.最小值为3C.最大值为4
D.与点Q的位置有关
参考答案:
A
x22=i
5.双曲线3-y-的焦点坐标是()
A.(±&,。)B.(°,土近)C.(±2,0)D.(0,±2)
参考答案:
C
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线方程,可得该双曲线的焦点在x轴上,由平方关系算出
22
c=yla+\>=2,即可得到双曲线的焦点坐标.
X22=]
【解答】解:•.•双曲线方程为3-yT
...双曲线的焦点在X轴上,且a?=3,b』
由此可得c=Va2+b2=2,
.•.该双曲线的焦点坐标为(±2,0)
故选:C
+2
6.当x>0时,""='+"则/")的单调递减区间是()
A.(2,+oo)B.(0,2)日也田)D.(°,应)
参考答案:
7.设R,F2是双曲线24的两个焦点,P是双曲线上的一点,且
31P及卜4闿1,则△尸尸出的面积等于
及
A4B.8百C.24D.48
参考答案:
C
略
2x-»+l>0,
x+加<0.
8.设关于无了的不等式组卜一切>°表示的平面区域内存在点产(%)。)满足
X。-2yo=2,求得切的取值范围是
-co.-g~0°'5-00,--
3
参考答案:
c
略
9.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是
8——8——
A.3B.3
空
C.D.3
参考答案:
A
10.过点(一1,3)且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程是()
A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0
C.x—2y—5=0D.2x+y—5=0
参考答案:
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
II.(12分)某车站每天上午发出两班客车,第一班客车在8:00,8:20,8:40这三个
11
时刻随机发出,且在8:00发出的概率为N,8:20发出的概率为28:40发出的概率为
1
4;第二班客车在9:00,9:20,9:40这三个时刻随机发出,且在9:00发出的概率为
4,9:20发出的概率为29:40发出的概率为Z两班客车发出时刻是相互独立的,一
位旅客预计8:10至U站.求:
(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率;
(2)旅客候车时间的分布列;
(3)旅客候车时间的数学期望.
参考答案:
11
(1),••在8:00发出的概率为48:20发出的概率为2
第一班若在8:20或8:40发出,则旅客能乘到,这两个事件是互斥的,
113
根据互斥事件的概率公式得到其概率为P=2+4=4.
(2)由题意知候车时间X的可能取值是10,30,50,70,90
根据条件中所给的各个事件的概率,得到
111
11—Xv———
P(X=10)=2,P(X=30)=4,P(X=50)=4416,
P(X=70)=42~8,P(X=90)=16,
旅客候车时间的分布列为:
候车时间X(分)1030507090
1
概率24?68?6
(3)候车时间的数学期望为
11_L1_L
10X2+30X4+50X164-70X8+90X16
25253545
=5+-2-+_8-+-4_+_8'=30.
即这旅客候车时间的数学期望是30分钟.
12.有下列关系:
(1)名师出高徒;(2)球的体积与该球的半径之间的关系;(3)苹果的产量与气
候之间的关系;(4)森林中的同一种树,其断面直径与高度之间的关系;
(5)学生与他(她)的学号之间的关系;
(6)乌鸦叫,没好兆;其中,具有相关关系的是
参考答案:
(1)(3)(4)
13.已知抛物线y=2px(p>0)上一点M(l,m),到其焦点的距离为5,双曲线x2-=l的左
顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=.
参考答案:
4
14.在用十。中,斯=4。=2.如果一个椭圆通过4、3两点,它的一个焦点为点
另一个焦点在
边出上,则这个椭圆的焦距为.
参考答案:
如
aT
15.a>h贝Ia-1的最小值是___.
参考答案:
3
【分析】根据a>l可将a-1看成一整体,然后利用均值不等式进行求解,求出最值,注
意等号成立的条件即可.
【解答】解:;a>l,
aTA
a-l=a-1+a-1+1>2+1=3
当a=2时取到等号,
故答案为3
【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及均值不等式的应用,属于基础
题.
16.已知AA8C为等边三角形,AB=2,设P、Q满足#=宓,3=。-孙10,
ZeR则2=
参考答案:
2或-1
z!£
17.已知点P是椭圆4+3=1上任一点,那点P到直线1:x+2y-12=0的距离的最小值
为—,
参考答案:
8娓
"V
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】运用椭圆的参数方程,设出点P,再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公
式,结合正弦函数的值域,即可得到最小值.
【解答】解:设点P(2cosa,遮sina)(0WaW2n),
12cosa+2A/^sina-⑵
则点P到直线x+2y-12=0的距离为d=V5
|4sin(CL+30°)-12|
=飞
8娓
当sin(a+30°)=1时,d取得最小值,且为飞-.
875
故答案为:-T.
【点评】本题考查椭圆的方程和运用,考查椭圆的参数方程的运用:求最值,考查点到直
线的距离公式,考查三角函数的值域,属于中档题.
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算
步骤
18.已知曲线C的极坐标方程是。=1,以极点为原点,极轴为X轴的正半轴建立平
*
x=l+—.
-2+=/
,-u+---/
面直角坐标系,直线,的参数方程为12为参数)。
(1)写出直线/与曲线C的直角坐标方程;
xr=2x,
<
(2)设曲线c经过伸缩变换卜'=>得到曲线c',设曲线上任一点为
“(XJ),求X+2伤的最小值。
参考答案:
⑴/j3x-,y+2-73=0
解:
2
Cx+/=1(2分)
X'
x'=2xX=—
2
j=y
(2))=v代入c得
2
..Cr:—r+/=1
4
(5分)
x=2cos8
,A(°
设椭圆的参数方程J=刖8为参
数)(7分)
则x+=28S0+2A$m0=4«n(0+*)
(9分)
则x+2伤的最小值为-
40(10分)
略
/y2
口TT-5+-y=1(。>5>U)r?
19.(本题满分12分)已知4•玛是椭圆/b2'的两个焦点,过冬的弦
AB,若&48骂的周长为16,离心率'-2.
(I)求该椭圆的标准方程及其焦点坐标;
(H)若A,A?是椭圆长轴上的两个顶点,P是椭圆上不同于的任意一点.求证:直线
A,P与直线A2P的斜率之积是定值.
参考答案:
—也
(I刈=〔6=4ana=4又,-2,.工=2技b==2
故该椭圆的标准方程为:16+T~,焦点坐标为:8(-2&0),玛(2忑,0);
yy
(11)设则41.0).4(4.0),地
20.(本小题满分10分)
某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并
提高租金.如果每间日房租每增加1元,客房出租数就会减少5间.若不考虑其他因素,
旅游公司将房间租金提高X元,每天客房的租金总收入了元.
(1)写出了与X之间的函数关系式;
(2)旅游公司将房间租金提高到多少元时,每天客房的租金总收入最高?
参考答案:
⑴由题知尸(20+x)C?00-5x)
即
y=-5xa+200x+6000(X€[0,60]......
,•,5分
(2).>=-20)2+8000
..x=20时为x=8000
所以旅游公司将房间租金提高到40元时,每天客房的租金总收入最高.......10分
21.(11分)如图,ABCD-AIBIGDI是正方体,0、M、N分别是BQi、ABi、ADi的中
点,直线AC交平面ABQi于点P.
(I)证明:MNII平面CBIDI
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