2022年暑假沪教版新九年级数学-第2讲 三角形一边的平行线（一）

第2讲三角形一边的平行线（一）

【学习目标】

三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质

定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和

推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，

为后面学习相似三角形奠定基础.

【基础知识】

一、三角形一边的平行线性质定理

1、三角形一边的平行线性质定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.

AnAp

如图，已知AABC,直线〃/8C,且与AB、AC所在直线交于点。和点E,那么一=—.

DBEC

二、三角形一边的平行线性质定理推论

1、三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

如图，点。、E分别在AASC的边他、AC上，

DE〃BC，那磴唠嘿.

A

B乙---------------------C

2、三角形的重心

定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.

性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.

【考点剖析】

考点一：三角形一边的平行线性质定理

例1.如图，在A/WC中，AB=15,AC=10,DE/IBC,BD=6,求CE.

【难度】★

【答案】4.

【解析】—,代入可得：CE=4.

ABAC

【总结】考查三角形一边平行线的性质定理.

•2.阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）.已知亮区一边到窗下的

墙角距离CE=8.7米，窗口/W=L8米，求窗口底边离地面的高BC.

【难度】★

【答案】5.8%

【解析】射入的光线平行，则有丝=匕，代入可求得：AC5.8m,BC^AC-AB^4m.

ACCE

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到.

列3.在A4BC中，点£>、E分别在AB、AC的反向延长线上，DE//BC,若A£>:AB=2:3,

EC=12厘米，则AC=

【难度】★

【答案】7.2cm.

【解析】由DE//BC，可得空=丝=2,故生=3,代入求得AC=7.2cvn.

ACAB3AC3

【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用.

》例4.如图在—中，8平分小女，AC=5厘米，笔

=3:5,求DE的长.

【难度】★

【答案】2cm.

【解析】・♦・DE/ABC,.•.丝=丝=。.

ACAB5

由AC=5a〃，代入可求得：AE=3cm,CE-2cm.

又,；DEHBC,:.AEDC=ZDCB.

又C£＞平分NACB,:.ZECD^ZDCB.

ZECD=ZEDC,:.DE=CE=1cm.

【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形,同时应用二角形一边平行

线的性质定理.

ij5.如图，已知在AABC中，DE//BC,EFUAB,AE=2CE,AB=6,BC=9,求四边形

的周长.

【难度】★

【答案】16.

AE2CE_1

【解析】•••AE=2CE,

AC3fAC~3

又DEMBC,EF//AB,

,ADAE2EFCE1

一益一就一屋益一就一3'

四边形瓦湖为平行四边形.

代入可求得：DE=6,EF=2,

C四边形BOEF=2（£>£+£F）=16.

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用.

1Y1例6.如图，在A4BC中，AB>AC,AD_L3C于点

点尸是3c中点，过点F作BC的垂线交AB

于点E,BD:DC=3:2,则8E:E4=__________.

A

上

BFDC

【难度】★★

【答案】5:1.

【解析】由8/）:£>C=3:2,BF=FC,

即得：BF+FD/可得：尤=2.

BF-FD2FD1

又AD_L6C,EFtBC,

'.EF//AD,

:.BE:EA=BF:FD=5:l.

【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用.

例7.如图，己知ABUCDUEF,Q4=14,AC=16,CE=8,如=12,求08、的长.

o

EZ-------------------*

【难度】★★

21

【答案】OB=—,DF=6.

2

【解析】由AB//CD//EF,

.OAOB

,'AC~~BD

代小入，可-r阳得：O八B门=-1-4-x-1-2=—21.

162

同时根据比例的合比性，可得：+=+即生=空，

ACBDACBD

X74-HW4--rzsOCODACBD

又根据平仃，可得：一=—,一=­.

CEDFCEDF

代入求得：。尸=论空=6.

16

【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应

成比例.

口□例&如图'已知是边长为2的等边三角形，田gSs-4求EC的长.

【难度】★★

【答案】

2

【解析】•.•△E8和△38为等高三角形，

故,/——DE=^S^EC.D=一3,

BCS^BCD4

由OE7/BC,BC=2,AABC为等边三角形，

可知△4DE也为等边三角形,

3

・・・DE=-,

2

31

:.EC=AC-AE=2——=-.

22

【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形.

（Y）例9.如图，P为QABCD对角线皮）上任意一点.求证：PQ.PI=PR.PS.

【难度】★★

【答案】略.

【解析】证明：•.•四边形/WC。为平行四边形,

:.AB//CD,AD//BC,

:.RBUDI,SDHBQ.

根据三角形一边平行线的性质定理，则有且=£2=空

PRPBPQ

:.PQPI=PRPS.

【总结】初步认识相似三角形中的"X”字型，•个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化.

［例10.如图，在平行四边形MCZ）中，CZ）的延长线上有一点E,8E交AC于点F,交4）于点

G.求证：BF~=FG>EF.

【难度】★★

【解析】证明：•.•四边形/WCD为平行四边形,

:.ABUCD,AD//BC，

:.AB//CE,AG//BC.

根据三角形一边平行线的性质定理,

EFCFBF

则有:

而一前一元

BF1=FG.EF.

【总结】初步认识相似三角形中的"X”字型，•个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化.

11.如图，点C在线段Afi上，A/VWC和ACBN都是等边三角形.

MDAM

求证:

~DC~~CN

(2)MD.EB=ME.DC.

【难度】★★

【解析】证明：（1）A4MC和ACBN是等边三角形,

ZACM=ZNCB=ZAMC=60°.

;点C在线段AB上，

:.ZMCN=\S(f-ZACM-ZNCB=f^°=ZAMC.

…MDAM

/.AM//CN，=-----

DCCN

(2)同(1)易证得CW//3N,则有.=■

EBNB

・•・AAMC和ACBV是等边三角形,

:.MC=AM,NB=CN,

MDME

..MD-EB=ME・DC.

~DC~~EB

【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化.

考点二：三角形一边的平行线性质定理推论

由例

1.如图，D、E分别是AABC的边AB、AC上的点，鱼DE11BC.

(1)如果QE=2,BC=6,AD=3,求他的长;

(2)如果£)E=2,BC=6,BD=8,求4)、A3的长;

(3)如果丝=3,求匹的值.

BD5BC

D.E

【难度】★

3

【答案】(1)9；(2)AD=4,AB=\2；(3)

8

【解析】(1)VDEIIBC,-=—=A3=9;

ABBC3

AnJ)F1

(2)•:DE//BC,：------------=-,AAD=4,:.AB=AD+BD=V2；

AD+BDBC3

c"//AC.DEAD_3_3

BCAB3+58

【总结】考查三角形一边平行线的性质定理.

例2.已知小智的身高是CD=1.6米，他在路灯下的影长DE=2米，小智与路灯灯杆的底部8的

距离为。8=3米，则路灯灯泡A距地面的高度AB=米.

【难度】★

【答案】4.

【解析】'：ABHCD,=—：.AB=4m.

ABBE2+35

【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用.

［、2］例3.如图，一根直立于水平地面的木杆43在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针反向旋转

直至到达地面时，影子的长度发生变化.设/W垂直于地面时的影子为AC(假定AC>M),影子的最大

值为m,最小值为n,有下列结论：①m>AC;®m=AC；③〃=A3；④影子的长度先增大后减

小,其中正确的序号是.

B/

【难度】★★

【答案】①③④.

【解析】木杆绕点A逆时针旋转时，当45与3c光线垂直时，加最大，则“〉AC,①成立，②不成立;

最小值为他与AC重合，故③成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故④成立.

【总结】找准临界值，注意进行思维分析.

〔Yl例4已知：MN//PQ，a#b,CNX,则满足关系式x=生的图形是（）

:

xMcPcMbPaMbPaMxP

A.B.C.D.

【难度】★★

【答案】C

【解析】交叉相乘，满足⑪=be的是C选项.

【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用.

[']例5.如图，AABC中，DEHBC,AE=3,DE=4,I

邛=2,C尸=5,求EC的长.

A

BC

【难度】★★

【答案】EC=~.

2

【解析】DE//BC,

DEDFAE2

1SC~~CF~~AC~~5

3

即求得：EC=~.

3+EC52

【总结】相似三角形中“A”字型和“X”字型的综合应用，可得到相等比例关系式.

河6.如图，在平行四边形5a＞中，点£在边。C上，若。E:EC=1:2,则3F:3E=

【难度】★★

【答案】3:5.

【解析】DE-.EC=\:2,可知名=0=2,

CDAB3

npAD3

由CE7//1B,可知一=一=—，故BF;BE=3:5.

EFCE2

【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型.

[例7.如图，在AABC中，BC=6,G是AABC的重心，过G作边3C的平行线交AC于点〃，求

G”的长.

【难度】★★

【答案】2.

【解析】连结AG并延长交8c于点。，根据重心的定义，可知。为8C中点，则。C=,BC=3,

2

A

根据重心的性质，又GHIIDC,可得：-=—=求得G〃=2.

DCAD3

【总结】考查三角形重心的性质.

例8.如图，已处ABUCDUEF.AB=m,CD=n,求EF的长.（用加、〃的代数式表示）.

【难度】★★

mn

【答案】

m+n

【解析】由ABIICDIIEF、则有——=—,——=——,

ABBCCDBC

即竺+变=1,得EF二型

mnm+n

【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系.

「、门例以如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，—虚的延长线交8的延长线

I__JEC3

于点G,交于点求的值.

【难度】★★

【答案】1:2.

【解析】由力尸/ABC，可得丝=空=!，即竺=！，故丝=1,由HB//0G,

BCEC3AD3FD2

可得：BF.FG=AF:FD=\:2.

【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系.

例10.如图，/,//l2,AF:FB=2:58C:8=4:1,求AE:EC的值.

【难度】★★

【答案】2:1.

【解析】由/,///,,得：-=—=-,又BC:CD=4:1,可得任=2,故他：£：。=46:。/)=2:1.

BDFB5CD1

【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系.

如图，在梯形/WCZ)中，AD//BC,对角线AC、加交于点。，点£在AB上，且EO//3C,

已知A£>=3,BC=6.求EO的长.

【难度】★★

【答案】2.

【解析】由AQ〃8C，可得：—=—=-=1,

COBC62

故丝=1,由EO//8C,—,求得£0=2.

AC3BCAC3

【总结】相似三角形中“A”字型和“X”字型的综合应用，可得到相等比例关系式.

12.如图，在梯形ABC£＞中，AD//BC,AD=3,BC=5,E、F是两腰上的点，且

EF//AD,AE:EB=\:2,求功的长.

AD

BC

【难度】★★

【答案】--

3

【解析】过点A作AH//OC交3c「”，交EF丁G，

则有8=FG=4）=3,BH=2,又EG11BH,

可得：――=――——,解得：EG=—»故EF=EG+GF=—.

BHAB333

【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例.

【真题演练】

一、单选题

1.（2021・上海九年级专题练习）如图，在AABC中，MN//BC,ON//MC,下列结论正确的是（）

AMAMAD_DNAMANDNMN

D.----=----

NCABDMMCMBACMCBC

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答.

【详解】'.-MN//BC

.AN_MN

~AC^~BC

'：DN//MC

ANDN

"~AC~lvic

,DNMN

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系.

2.（2021•上海九年级专题练习）如图,DE//BC,EF//AB,则下列式子中成立的是（）

ADBFABDEC空二如ADBF

A.=B.---=----D.=

DBECBCACABCEDBFC

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答.

【详解】•/DE//BC

.ADAE

"~DB~~EC

EF//AB

BFAE

"~FC~~EC

ADBF

"~DB~~FC

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系.

3.（2021・上海九年级一模）如图，已知BD与CE相交于点A,DE〃BC,如果AD=2,AB=3,AC=6,那

么AE等于（）

E

，D

C

1218

A.——B.—C.4D.9

55

【答案】C

［分析］根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.

【详解】解：：ED〃BC,

.ABAC

・・---=----，

ADAE

即，，

2AE

，AE=4,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两

边的延长线），所得的对应线段成比例.

An2

4.（2020•上海市西南模范中学九年级月考）如图，在AABC中，DE//BC,若一=一，则

DB3

等于（）

A.2:15B.4:15C.4:9D.3:15

【答案】B

【分析】由DE//BC,证明£=普=3,再证明声些=］，合皿=］，设SAA”=2W,再求解

DBEC31.BDE3、.BEC3

15/7?

S.8Ec=-yr从而可得答案•

AD2

【详解】解：•••DE//BC,—=一，

DB3

ADAE2

---==一,

DBEC3

设L°E=2，"，则凡的=3加，

5m2

•*,SABEC

Si_2m=4

S“BEC包15

故选B.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键.

Ar

5.（2020.上海市金山初级中学九年级月考）如图，在△A8C中，DE//BC,且40=03=3,则一的

值为（

【答案】A

ApAn

［分析］根据平行可以得到—=——.

ECDB

【详解】解：：DE〃8C,

.AEAD3,

••==-=].

ECDB3

故选：A.

【点睛】本题考查线段成比例，解题的关键是掌握根据平行线得到对应的线段成比例的方法.

AE

6.（2021・上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，DE〃BC,走f—则=等于（）

DB3EC

A

BC

1223

A.-B.-C.一D.-

3535

【答案】C

试题解析：：VDE/7BC,

.AEAD_2

故选C.

考点：平行线分线段成比例.

c,求作线段*=-，下列作法中.

7.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知线段a、b、

的是（）

人上二c/

[DAX"

cxcx/rax

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可.

ahhe

【详解】由A得，一=一，则*=一，A错误；

cxa

baac…

由B得，—=—,则*=丁"，B错庆；

cxb

V）xhe

由C得，一=一，则x=一，C错误；

aca

cbcih

由D得，一二一，则乂=一，D正确.

axc

故选：D.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键.

8.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，DE〃BC,DF〃AC,则下列比例式中正确的是

()

cAECF

B.=

ECBCECFB

、DEDF、FCEC

-=------D.一

BCACBCAC

【答案】B

【分析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可.

【详解】如图：；DE//BC,DF//AC

AE_ADBDBF

FC-~BD'~FC

AE_AD_CF

~EC~~BD~~FB

只有B选项符合，A、C、D都错误.

故选B.

【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可.

9.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，AB〃CD,AD与BC交于点O,则下列比例式

中正确的是（）

AB

OCOAOCODBCAD

A.-----B.C/_弛D.------------

0DOBAD一BC■BCADOB0A

【答案】D

【分析】利用AB//CD,得到对应线段成比例，再逐一分析即可得到答案.

【详解】解：•.­AB//CD,

0A0B

0D次’故4错员

•/AB//CD,

OD0C“

---------,故5错庆;

ADBC

•/AB//CD,

AB//CD,

BCAD

故。正确,

~OB~~OA

故选D

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

二、填空题

10.（2019・上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，己知在中，DE//BC,EF//AB,AE=2CE,

AB=6,8c=9,那么四边形BOEF的周长是.

【答案】16

【分析】由平行线分线段成比例得出比例式，求出B尸和8。的长度即可.

【详解】解：•JAE=2CE,

AE_2

"AC-3

DEIIBC,

ADDEAE2

"AB~BC~AC~3'

'：AB=6,8c=9,

,-.AD=4,DE=6,

：.BD=2,

•：DE〃BC,EF〃AB,

：.BD=EF=2,DE=BF=6,

四边形BDEF的周长是2+2+6+6=16；

故答案为：16.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例和平行四边形的性质；掌握平行线分线段中的线段对应成比例

是解题的关键，注意线段的对应关系.

DA|

11.（2019•上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，DE//BC,——=-,BC=9,那么

BA3

ED=.

DADF1

【分析】根据平行线分线段成比例的性质得到一进而可求解.

BABC3

【详解】解：•••OE〃8C

.DADE]

：8C=9,

故答案为：3.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键.

12.（2020・上海九年级月考）如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE//FG//BC,

且AD：DF：FB=3：2：1,若AG=15,则EC的长为.

【答案】9

【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB=AE：EG：GC=3：2：1,设AE=

3x,则EG=2x,GC=x,根据AG=15得到方程3x+2x=15,求x,再求出答案即可.

【详解】解：：DE〃FG〃BC,

AAD：DF：FB=AE：EG：GC,

VAD：DF：FB=3：2：I,

AAE：EG：GC=3：2：1,

设AE=3x,则EG=2x,GC=x,

VAG=15,

/.3x+2x=15,

解得：x=3,

/.AE=9,EG=6,GC=3,

.♦.EC=EG+GC=6+3=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理得到比例式，并设元求出各段的长是解题关

键.

13.（2020•上海上外附中）如图，在梯形A8CO中，AD//BC.AD=3,BC=5,E,尸是两腰上的点，且

EF//AD,AE:EB=\:2,则EF=

【分析】过点A作AG〃CD交EF于H,交BC于G,易证四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，则有

FHAF1

CG=HF=AD=3,BG=2,再由平行线分线段成比例可得——=—=—,可求得EH,进而可求得EF的长.

BGAB3

【详解】解：过点A作AG〃CD交EF于H,交BC于G,

：AD〃BC〃EF,

/.四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，

；.CG=HF=AD=3,

•,.BG=BC-CG=2,

EF//AD,AE:EB=1:2,

.EHAEI

••--------——,

BGAB3

12

.".EH=-BG=-,

33

.211

EF=EH+HF=-+3o=—,

33

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为

三角形问题是解答的关键.

14.（2020・上海炫学培训学校有限公司）△ABC中，AB=AC=10,重心G到底边BC的距离为2,那么

AG=.

【答案】4

AGAF

【分析】过点D作DEHBF交AC于点E,首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出——=——=2,

GDEF

然后代入计算即可.

【详解】如图，过点D作DE//BF交AC于点E,

A

AAD,BF都是△ABC的中线，

：.AF=CF,BD=DC.

DE//BF,

：.CE=EF=-CF,

2

:.AF=2EF.

•/DE//BF,

-A-G=-A-F=2-.

GDEF

,:GD=2,

AG=4，

故答案为:4.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键.

15.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O是△ABC的重心，过点。作EF〃BC,

分别交AB、AC于点E、F,若BC=6,则EF=.

【答案】4

【分析】连接AO并延长交BC于Q,利用重心性质得AO：OQ=2：1,贝I」AO：AQ=2：3,再证明△AEF^AABC,

△AEO-AABQ,然后根据相似三角形的性质求解.

【详解】解：•••连接AO并延长交BC于Q,

A

•••O是△ABC的重心,

AAO：0Q=2：1,

AAO：AQ=2：3,

：EF〃BC,

.".△AEO^AABQ,△AEF^AABC,

•_E__F___A__E___A__O___2

•,BC~AB~AQ~3

VBC=6,

EF=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点.重心到顶点的距离与重心到

对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质.

BE

16.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图,G为&ABC的重心,GE〃AB,则——=

CE

辗

【答案吗

AQ2

【分析】根据重心的概念和性质得到=CM,——=一，根据平行线分线段成比例定理得到

AM3

BE2

—即可得到答案.

~BMAM3

【详解】解析：为△ABC的重心,

AG2

/.BM=CM,-=-

AM3

：GE〃AB,

.BEAG2

"AM"3

.BE2

"~CE~^~2

【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理，掌握三角形的重心是三条

中线的交点、重心到顶点的距离等于它到中点的距离的2倍是解题的关键.

三、解答题

17.（2019.上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在AABC中，点£>,E分别在BC、AC上，BE平

分NA8C,DE//BA,如果CE=24,AE=26,A8=45,求。E和C£>的长.

【分析】根据平行线截线段成比例的性质求解.

【详解】解：：DE〃BA,

DECE

'AB-AC

匹=一些

4524+265

■:DE//BA,

：.NABE=NDEB.

・・・8E平分NA8C,

・•・NABE二NDBE,

：.ZDBE=ZDEBf

・••BD=DE喈

'：DE//BA,

.CDCE

,BC-AC5

CD24

即0。+108=24+26

5

喑

【点睛】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线截线段成比例定理是解题关键.

18.（2021.上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD中，AD〃8C,对角线AC、BD交于点0,BE//CD

交C4延长线与，求证：OC2=OAOE.

【分析】通过AZ>〃BCuJ得到一=—，再根据班〃C£>可得到一=—,从而得到答案;

OAODOCOD

【详解】证明：：A£>〃8C,

.OCOB

••---一---，

OAOD

又•••BE//CD.

.OEOB

^OC~^D

.OCOE

~OA~OC

•••OC2=OAOE.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键.

19.（2020・上海九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC±,DE//BC.

（1）若SAADE=2,SABCE=7.5,求SABDE;

（2）若SABDE=m,SABCE=n,求SAABC（用m、n表示）.

A

【答案】(1)3(2)--------

n-m

SS

【分析】(l)根据有公共顶点，底边共线的两个三角形面积比为底的比，可以得到《巫=74，设SABDE

、.BDE3Ase£

=x,再将X的值代入即可得出答案；

SS

(2)由(1)知个"匹=飞△"一,设S^ADE=y,又S^BDE=m,SABCE=n,从而得出y与m、n的函数关系

式，即可表示出三角形ABC的面积.

【详解】解：(I)设SABDE=X.

S.nFADSABFAE

•S~BD'SB”-EC

VDE〃BC,

.ADAE

••_—_一___，

BDEC

q

・^q^ADE_0^ABE

••s--一飞

°ABDE。ABCE

,**SAADE=2,SABCE=7.5,

.2_2+x

••二,

x7.5

解得：xi=-5（舍），X2=3.经检验x=3是此题的解,

•**SABDE=3；

qq

（2）山（1）知瞪匹■二个建，

、ABDE,ABCE

设S^ADE=y，XSABDE=m,BCE=n,

.y_

••—=-y-+--m.

mn

解得y=*_

n-m

nrrr

=m+n-\--------=--------

n-mn-m

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及等高三角形的面积比，利用平行线分线段成比例定理得

出面积比之间的相等关系是解决问题的关键.

【过关检测】

1.已知线段a、in、”，且依=〃1",求作x,作法正确的是（)

【难度】★

【答案】C

【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为可知c选项满足题意.

mx

【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所

求选项.

2.如图，EFUAB,DEHBC,下列各式正确的是（)

ADBF/c、AECE

BDCFEDBC

AEBD/24〃A8

ECADEDBC

【难度】★

【答案】A

【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可

知A选项正确；B、C、D错误.

【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用.

3.如图，AABC中，—=DE//AC,求的值.

BEECAC3

【难度】★

【答案】8:5.

,ABACAB5

【解析】ill——=——----=―，可得些=3,根据比

BEECAC3EC3

例的合比性质，可得照=3,由OE//AC,

BC8

可得AB:8£>=5C:8£=8:5.

【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用.

4.如图，在AABC,DE//BC,DE与边AB、AC分别交于点。、E.

(1)已知A£>=6,B£>=8,AE=4,求CE、AC的长;

(2)已知AE:AC=2:5,AB=\O,求AD的长.

【难度】★

【答案】(1)AE^—,CE=—;(2)4.

33

【解析】(1)；£>E〃8C,...空=丝，CE=S；

CEDB3

(2)'：DEHBC,AE:AC=2:5,

.ADAE2

，AD=4.

"Afi-7C-5

【总结】考查三角形一边平行线的性质.

5.如图，菱形内接于AABC,AB=16,BC=14,AC=12,求BE的长.

【难度】★

【答案】8.

DEBEEFCE-

【解析】根据三角形一边平行线的性质,—=—,—=—