2019-2021北京初三数学期中期末汇编：点和圆的位置关系

2019-2021北京初三数学期中期末汇编：点和圆的位置关系

选择题（共15小题）

1.（2020秋•丰台区期中）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”.现

有一款监测半径为5的?的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在尸点，每一个小格的边长为

那么能被雷达监测到的最远点为（）

A.G点B.H点C.M点D.N点

2.在AABC中，ZC=90°,以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点4与该圆的位置关系为（）

A.点A在圆外B.点A在圆内C.点A在圆上D.无法确定

3.（2019秋♦西城区校级期中）己知。。的半径为5,圆心。的坐标为（0,0）,点P的坐标是（4,3）,则点P在

。0（）

A.内B.±C.外D.不确定

4.如图，数轴上有A、B、C三点，点A,C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A,B,C分别在。O外，

。。内，。。上，则原点。的位置应该在（）

ABC

------------------1-----------------------11>

abc

A.点A与点B之间靠近A点B.点A与点8之间靠近B点

C.点8与点C之间靠近8点D.点8与点C之间靠近C点

5.半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）

A.（3,4）B.（4,4）C.（4,5）D.（4,6）

6.（2020秋•北京期末）。。的半径为5,点尸到圆心。的距离为4,点P与。O的位置关系是（）

A.无法确定B.点P在。。外C.点尸在。。上D.点尸在。。内

7.（2021•海淀区校级模拟）如图，点M坐标为（0,2）,点A坐标为（2,0）,以点M为圆心，为半径作。M,

与x轴的另一个交点为8,点C是。加上的一个动点，连接BC,AC,点。是AC的中点，连接。£»,当线段。。

取得最大值时，点。的坐标为（）

A.(0,1+>/2)B.(1,1-^/2)C.(2,2)D.(2,4)

8.（2020秋•门头沟区期末）。。的半径为3,点P在。。外，点P到圆心的距离为“，则4需要满足的条件（）

A.d>3B.d=3C.0VdV3D.无法确定

（•北京模拟）如图，抛物线尸

9.2020/x2-1与x轴交于A,B两点,。是以点C（0,4）为圆心，1为半径的圆

上的动点，E是线段40的中点，连接OE,8。，则线段OE的最小值是（）

B.平

A.2c-iD.3

10.（2019秋•门头沟区期末）。。的半径为3,点P到圆心。的距离为5,点P与。。的位置关系是（）

A.无法确定B.点P在。。外C.点P在。。上D.点P在。。内

11.（2019秋•西城区校级期中）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）

A.任意三点可以确定一个圆

B.相等的圆心角所对的弧相等

C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

D.圆内接四边形对角互补

12.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形

C.③D.均不可能

13.（2020秋•海淀区期中）如图，不等边△ABC内接于。O,下列结论不成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z4C.ZAOB=2ZACBD.ZACB=Z2+Z3

14.已知。。2，。。3是等圆，△ABP内接于点C,E分别在。。2,。。3上.如图,

①以C为圆心，AP长为半径作弧交。。2于点。，连接C。;

②以E为圆心，BP长为半径作弧交。。3于点F，连接EF；

下面有四个结论：

①CD+EF=AB

@CD+EF=AB

③NCO2D+NEO3F=ZAOiB

④NCDO2+NEFO3=NP

所有正确结论的序号是（)

A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④

15.（2019秋•北京期末）如图，。。是aABC的外接圆，ZC=60°,则NAOB的度数是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

二.填空题（共13小题）

16.（2020秋•海淀区期中）如图，在5x5的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均

1.以点。为圆心，5为半径画圆，共经过图中个格点（包括图中网格边界上的点）.

17.（2019秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为5,则点P（3,-4）在。0.（填

“内”、“上”或“外”）

18.（2019秋♦朝阳区校级期中）若。A的半径为5,点A的坐标为（3,4）,则原点O与GM的位置关系是.

19.（2019秋•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A（3,4）是。。上一点，8是。。内一点，

请你写出一个符合要求的点B的坐标：.

20.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取7个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，「为

半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则厂的取值范围为.

21.如图，Rl/XABC中，/ACB=90。，4c=4,BC=3,CD是斜边48上的高线，以点C为圆心，2.5为半径作圆,

则点。在圆（填“外”，“内”，"上

22.（2020•西城区校级模拟）如图，在。。中，半径OC=6,。是半径0c上一点，且。。=4.A,8是。O上的两

个动点，ZADB=90°,F是AB的中点，则OF的长的最大值等于

23.（2019秋•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆

心的坐标是.

24.（2020秋•丰台区期中）如图，在平面直角坐标系X。），中，点A,B,C的坐标分别是（0,2）,（2,0）,（4,0）,

G）M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为,。”的半径为.

25.（2019秋•西城区校级期中）如图，OO是△ABC的外接圆，若乙408=100。，贝IJNAC8的度数是

26.（2019秋•昌平区校级期末）锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在，钝角三角形的外

心在_________

27.（2019春•海淀区校级期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）,B（-1,-3）,C（3,-3）则

△A8C外接圆半径的长度为.

28.（2019•海淀区校级模拟）如图，。。是正方形ABC。的外接圆，若E是箴上一点，则N£>EC=1

三.解答题（共3小题）

29.（2009秋•河西区期末）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺

和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）.

30.（2019秋•平谷区期末）如图，。。是△ABC的外接圆，圆心。在△ABC的外部，A8=AC=4,8c=4加，求

。。的半径.

31.（2019秋•房山区期末）如图，△ABC内接于。O,NBAC=60。，高A。的延长线交（DO于点E,BC=6,AO=

5.

（1）求（DO的半径；

（2）求QE的长.

2019-2021北京初三数学期中期末汇编：点和圆的位置关系

参考答案与试题解析

一.选择题（共15小题）

1.（2020秋•丰台区期中）雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”.现

有一款监测半径为5h〃的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在尸点，每一个小格的边长为1如?，

那么能被雷达监测到的最远点为（）

A.G点B.H点C.M点D.N点

【分析】以P为圆心5为半径作。P,可得结论.

【解答】解：如图，观察图像可知，能被雷达监测到的最远点为点

故选：B.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

2.在中，NC=90。，以点2为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）

A.点A在圆外B.点A在圆内C.点A在圆上D.无法确定

【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论.

【解答】解：I•在△ABC中，ZC=90°,

：.AB>BC,

，点A在圆外.

故选：A.

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

3.（2019秋•西城区校级期中）己知。。的半径为5,圆心。的坐标为（0,0）,点P的坐标是（4,3）,则点P在

QO（）

A.内B.上C.外D.不确定

【分析】首先求得点P与圆心O之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点P与。O的位置关系.

【解答】解：由勾股定理得：OP=3+32=5,

:。。的半径为5,

二点尸在。。上.

故选：B.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键.

4.如图，数轴上有A、B、C三点，点A,C关于点8对称，以原点O为圆心作圆，若点A,B,C分别在。。外，

。0内，上，则原点O的位置应该在（）

ABC

—a-------b--------c------->

A.点A与点B之间靠近A点B.点A与点B之间靠近8点

C.点2与点C之间靠近8点D.点2与点C之间靠近C点

【分析】画出图象，利用图象法即可解决问题；

【解答】解：如图，观察图象可知，

原点。的位置应该在点B与点C之间靠近B点，

故选：C.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题.

5.半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）

A.（3,4）B.（4,4）C.（4,5）D.（4,6）

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系.本题可由勾股定理等性质算出

点与圆心的距离比则时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当时，点在圆内.

【解答】解：A、d=5<r,所以在圆内；

B、d=4&〈r,所以在圆内；

C、d=y/^i<r,所以在圆内；

。、4=20与〉r,所以在圆外.

故选：D.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系及勾股定理的理解与运用.

6.（2020秋•北京期末）。。的半径为5,点P到圆心。的距离为4,点P与。。的位置关系是（）

A.无法确定B.点P在。。外C.点尸在。。上D.点P在。。内

【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【解答】解：:OO的半径为5,点尸到圆心。的距离为4,

点P到圆心。的距离小于圆的半径，

.•.点P在。。内.

故选：D.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为/•，点尸到圆心的距离OP

=d,则有：点P在圆外Qd>r；点P在圆上Q"=r；点P在圆内

7.（2021•海淀区校级模拟）如图，点M坐标为（0,2）,点A坐标为（2,0）,以点M为圆心，MA为半径作。M,

与x轴的另一个交点为8,点C是。M上的一个动点，连接BC,AC,点。是AC的中点，连接0。，当线段。。

取得最大值时，点Q的坐标为（）

A.(0,l-h/2)B.(1,1+>/2)C.(2,2)D.(2,4)

【分析】根据垂径定理得到0A=03,然后根据三角形中位线定理得到。。〃2<7,OD^^BC,即当2c取得最

2

大值时，线段。。取得最大值，根据圆周角定理得到轴，进而求得△04。是等腰直角三角形，即可得到

AD=0A=2,得到。的坐标为（2,2）.

【解答】解：

：.OA=OB,

"：AD=CD,

：.0D//BC,0D=—BC,

2

.•.当BC取得最大值时，线段0。取得最大值，如图,

；BC为直径，

NCAB=90。，

.♦.CALc轴，

,/OB=OA=OM,

：.ZABC=45°,

"：0D//BC,

：.NAOD=45°,

△400是等腰直角三角形，

：.AD=0A^2,

二。的坐标为（2,2）,

故选：C.

【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时,

线段0。取得最大值是解题的关键.

8.（2020秋•门头沟区期末）。。的半径为3,点尸在OO外，点P到圆心的距离为“，则”需要满足的条件（)

A.d>3B.d=3C.0VdV3D.无法确定

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解.

【解答】解：•・♦点P在。。外，

：.d>3.

故选：A.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。0的半径为心点P到圆心的距离。尸=d,则点P在圆外

点尸在圆上Qd=r；点P在圆内=dVr.

9.(2020•北京模拟)如图，抛物线1与x轴交于A,8两点，O是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆

上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD,则线段OE的最小值是()

【分析】根据抛物线丫=七*2-1与1轴交于A,B两点，可得A、B两点坐标，。是以点C(0,4)为圆心，根

据勾股定理可求BC的长为5,E是线段40的中点，再根据三角形中位线，8。最小，OE就最小.

【解答】解：•••抛物线产1与x轴交于4,B两点，

...A、B两点坐标为(-3,0)、(3,0),

•。是以点C(0,4)为圆心，

根据勾股定理，得

BC=5,

是线段AO的中点，。是AB中点，

OE是三角形A8。的中位线,

2

即点B、D、C共线时，80最小，0E就最小.

如图，连接8c交圆于点。，

：.BD'=BC-CD'^5-1=4,

：.0E'=2.

所以线段0E的最小值为2.

故选：A.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系、抛物线与x轴的交点、三角形中位线定理，解决本题的关键是点8、。、

C共线问题.

10.（2019秋•门头沟区期末）。。的半径为3,点P到圆心。的距离为5,点尸与。。的位置关系是（）

A.无法确定B.点P在。。外C.点P在。。上D.点P在。。内

【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与。。的位置关系.

【解答】解：的半径分别为3,点P到圆心。的距离为5,

：.d>r,

.•.点P与。。的位置关系是：点P在。。外.

故选:B.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系.注意若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当•时，点在圆外;

当d=r时，点在圆上，当时，点在圆内.

11.（2019秋•西城区校级期中）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（）

A.任意三点可以确定一个圆

B.相等的圆心角所对的弧相等

C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

D.圆内接四边形对角互补

【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正

确结论.

【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意：

B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；

力、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟

练掌握定义与性质是解题的关键.

12.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形

镜子的碎片是（）

【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.

【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可

得到半径的长.

故选：A.

【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交

点即为该圆的圆心.

13.（2020秋•海淀区期中）如图，不等边aABC内接于。。，下列结论不成立的是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z4C.ZA0B=2ZACBD.乙4cB=N2+N3

【分析】利用08=0C可对A选项的结论进行判断；由于AB用C,则NBOCr/AOB,而/BOC=180。-2N1,

408=180。-2/4,则/摩/4,于是可对8选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C选项的结论进行判

断；利用NOCA=N3,N1=N2可对。选项的结论进行判断.

【解答】解：：OB=OC,

.-.Z1=Z2,所以A选项的结论成立；

•：OA=OB,

：.N4=NOBA,

：.ZAOB=180°-Z4-/O3A=180°-2Z4,

「△ABC为不等边三角形，

：.4BOC丰乙AOB,

而/8OC=180°-Z1-N2=180°-2/1,

.-.Z1^Z4,所以B选项的结论不成立；

,/NAOB与ZACB都对标，

...NAOB=2NACB,所以C选项的结论成立；

,：OA=OC,

：.ZOCA=Z3,

...NACB=N1+/OCA=N2+N3,所以。选项的结论成立.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角

形的外心.也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质.

14.已知。Oi，。。2,。。3是等圆，△ABP内接于。0|,点C,E分别在。。2,。。3上.如图,

①以C为圆心，AP长为半径作弧交。。2于点。，连接。；

②以E为圆心，8P长为半径作弧交于点凡连接EF；

下面有四个结论：

@CD+EF=AB

@CD+EF=AB

③/CO2D+NEO3-NAOiB

④NCDO?+NEFO3=NP

所有正确结论的序号是（）

A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：由题意得，AP=CD,BP=EF,

"：AP+BP>AB,

：.CD+EF>AB；

。。2，003是等圆，

•••AP=CD-BP=EF.

•••CD+EF-AB；

：.ACOiD=ZAO\P,NEO?F=/BOiP,

'：NAOiP+NBOiP=NAOiP,

NCO2D+NEO3F=NAOlB；

ZCDO2=ZAPO\,NBP01=NEFO、

"：NP=ZAPOi+ZBPOi,

/CD0/NEF（）3=NP,

.•.正确结论的序号是②③④，

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的

关系是解题的关键.

15.（2019秋•北京期末）如图，。。是△ABC的外接圆，ZC=60°,则/AO8的度数是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【分析】根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：•••/C=60。，

NAOB=2NC=120。，

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

二.填空题（共13小题）

16.（2020秋•海淀区期中）如图，在5x5的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均

1.以点。为圆心，5为半径画圆，共经过图中4个格点（包括图中网格边界上的点）.

【分析】通过作图展示满足条件的格点，然后利用点与圆的位置关系的判定方法进行验证.

【解答】解：如图，。0共经过图中4个格点

故答案为4.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心

距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

17.（2019秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为5,则点P（3,-4）在。。上.（填

“内”、“上，，或“外，，）

【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与。。的半径为5相比较即可.

【解答】解：•二圆心户的坐标为（3,-4）,

.-.0/>=^32+42=5.

的半径为5,

...点P（3,-4）在。。上.

故答案为：上.

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

18.（2019秋•朝阳区校级期中）若。A的半径为5,点4的坐标为（3,4）,则原点。与OA的位置关系是在圆

上.

【分析】先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当•时，

点在圆外；当"=r时，点在圆上；点在圆外；当时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系.

【解答】解：•.•点4的坐标为4（3,4）,

：.OA=yJ^2~^2=5,

••・根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上.

故答案为：在圆上.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关

系判断点和圆的位置关系是解题的关键.

19.（2019秋•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A（3,4）是。。上一点，8是。。内一点,

请你写出一个符合要求的点8的坐标：（0,0）答案不唯一.

【分析】连接04,根据勾股定理可求。4再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点8的坐标.

【解答】解：连接OA,

OA=Vs2+42=5,

,:B为。O内一点，

符合要求的点B的坐标（0,0）答案不唯一.

故答案为：（0,0）答案不唯一.

【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长.

20.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取7个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，「为

半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为2\如＜W3.

【分析】如图，先计算出点8、C、。、E到4点的距离，然后根据只有B、C、。点在圆内，从而得到，的范围.

【解答】解：如图，AB=AC=yj12+22=yfs，AD=^22+22=272-AE=3,

所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，

这三个点只能为8、C、。点,

所以2我〈心3.

故答案为2点＜合3.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心

距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

21.如图，RtZ\4BC中，4c8=90。，AC=4,BC=3,CD是斜边4B上的高线，以点C为圆心，2.5为半径作圆,

则点。在圆内（填“外”,“内“，"上"）.

【分析】直角三角形中根据勾股定理可以计算AB的长度，CO为AB边上的高，根据面积法4CxBC=ABxOC可

以求得CD的长，与半径比较后即可得到点。与圆的位置关系.

【解答】解：直角△ABC中，AB2=AC2+BC2,

AC=4,BC=3,

•，MB=VAC2+BC2=5,

△ABC的面积S=—>AC>BC^—>AB>CD

22

AC2BC__J2_

C£)=AB5.

•,•12<2.5,

5

...点。在。C内，

故答案为：内.

【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及点与圆的位置关系，根据勾股定理计算斜边长是解题的关键.

22.（2020•西城区校级模拟）如图，在。。中，半径OC=6,。是半径OC上一点，且。。=4.A,B是。。上的两

个动点，ZADB=90°,尸是A8的中点，则O尸的长的最大值等于2+\王.

【分析】根据三角形三边关系。层0。+。凡则点尸运动至OC上时，OF长度最大，因为此时F是A8的中点,

则OFL48,此时A、3关于OC对称，解直角三角形即可求得OF的长度.

【解答】解：•••当点F运动至OC上时，。尸长度最大，如图，

•.•尸是A8的中点,

OC±AB,

设OF为x,则DF=x-4,

•..△ABO是等腰直角三角形，

.•.£>F=」AB=BF=X-4,

2

在RtaBO尸中，082=。尸2+8产，

"：OB=OC=6,

36=x2+（x-4）解得x=2+。14或2-逸14（舍去）

OF的长的最大值等于2+714，

故答案为2+714.

方法二：

解：过点A作AEJ_BC于点E,如图1,在RtZVIBE中，AB2=AE2+BE2,

同理可得：AC2=AE1+CE1,AD1=AE2+DE2,为证明的方便，不妨设BO=CD=x,DE=y,

BDE

图1

：.AB2+AC2=2AE2+（X+），）2+（x-y）2=2AE2+2?+2/,

=2AE2+2BD1+2DE2=2AD2+2Bb1.

如图2,连接。F,取。。的中点E,连接E凡

；OF是△AB。的中线，EF是△OFZ）的中线，OF是4AOB的中线,

图2

,/2£F2+2OE2=。盾+F。2,

2FD1+2BF2=BD2+AD2,

OF2=OB1-BF-,

：.4EF2=2OB2-4O£2=2OB2-OD2,

：.EF2^^OB2-工0》=工'g2.2X42=14,

2424

在中，OE=2,EF=yfl4,

OF<OE+EF,

OF长的最大值为2+g.

【点评】本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，确定点尸与点。运动至共线

时，。尸长度最大是解题的关键.

23.（2019秋•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆

心的坐标是（2,1）.

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦A8和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心,

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所小,则圆心是(2,1).

故答案为：(2,1).

【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”.

24.(2020秋•丰台区期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B,C的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),

。〃是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为(3,3),。〃的半径为—标_.

【分析】M点为2C和43的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3,AB

的垂直平分线为直线y=x,从而得到M点的坐标，然后计算得到。M的半径.

【解答】解：•..点A,B,C的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),

：.BC的垂直平分线为直线x=3,

"：OA=OB,

：./\OAB为等腰直角三角形,

•••AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x,

•；直线x=3与直线y=x的交点为M点，

点的坐标为（3,3）,

•"MB=yj（3-2）2+§2=VTo>

二的半径为百5.

故答案为（3,3）,VIO.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角

形的外心.也考查了坐标与图形的性质.

25.（2019秋•西城区校级期中）如图，。。是△ABC的外接圆，若/4。8=100。，则NAC8的度数是50。.

【分析】已知。。是aABC的外接圆，/AOB=100。，根据圆周角定理可求得NACB的度数.

【解答】解：:。。是AABC的外接圆，/4OB=100。，

ZACB=—ZAOB=^xl00°=50°.

22

故答案为：50°.

【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半.

26.（2019秋•昌平区校级期末）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形

的外心在三角形外.

【分析】本题根据概念解答即可.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外

心在三角形外.

【解答】解：三角形内，斜边上，三角形外.

【点评】三角形的三边的垂直平分线交于一点，这一点叫三角形的外心；作图得出结论：锐角三角形的外心在三

角形内，直角三角形的外心就是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外.

27.（2019春•海淀区校级期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）,B（-1,-3）,C（3,-3）则

△ABC外接圆半径的长度为

【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，设△ABC的外心为M：由A、B、C的坐标知：AB、2C的垂直平

分线正好经过（1,0）,由此可得到M（1,0）,由勾股定理即可求得。M的半径长.

【解答】解：设的外心为M,如图：

VA(-1,3),B(-1,-3),C(3,-3),

：.AB.8c的垂直平分线过（1,0）,故M（1,0）；

MA就是。M的半径长，

由勾股定理得：