2021年浙江省高考数学模拟试卷（学生版+解析版）五（4月份）

2021年浙江省高考数学模拟试卷（5）（4月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40分）

1.（4分）已知全集。=/?,集合A={x|x>0},8={x|0<x<l},则@A）|jB=（）

A.{x|0<x<1}B.[x\x,,0}C.{x|x<1}D.R

2.（4分）已知i是虚数单位，复数z=2-i,则z・（l+2i）的共辗复数为（）

A.2+iB.4+3zC.4-3/D.-4-3/

3.（4分）己知直线a,b,m,其中aua,bua.则是"帆_Lc

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

8C.,D.+

-7V

33

5.(4分)记(2—x)7=a。+q(1+x)+.......+%(1+x)7,则a。+4+劣+....+%,的值为(

)

A.1B.2C.129D.2188

x-2y+l..O

6.（4分）已知不等式组卜,2表示的平面区域为。，若函数y=|x-1|十m的图象上

x+y—1..0

存在区域。上的点，则实数机的取值范围是（）

A.[0,B.[-2,C.[-1）|]D.[-2,1]

7.（4分）甲、乙、丙、丁四个人到A,B,C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个

景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（）

A.18种B.12种C.36种D.24种

8.（4分）设椭圆C：r+4=l（a>6>。）的右焦点为尸，椭圆C上的两点A、3关于原点

a'b'

对称，且满足雨•用=0,|FB阿科|2\FB\,则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.百，奉B.1）C.咛，V3-1]D.[V3-1,1）

9.（4分）已知函数/（幻=[臂二力'：>1,则方程“/（X））-2"（X）+3]=O的实根个数为（

[2+1,苍，14

）

A.3B.4C.5D.6

10.（4分）已知直三棱柱ABC-A4G的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形，用一

平面截此棱柱，与侧棱朋，BB、,CC「分别交于三点M,N,Q,若AMNQ为直角三

角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）

A.2A/2B.3C.273D.4

二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）

11.（4分）若实数x、y满足4'+4>=26+22，则S=2'+2V的取值范围是.

12.（4分）已知抛物线V=4x,焦点记为尸，过点尸作直线/交抛物线于A,8两点，则

IAF\-——的最小值为___.

IBF\

13.（4分）如图，在四边形ABCD中，4?=CD=1,点N分别是边4）,3C的中点，

延长和CD交M0的延长线于不同的两点P,Q,则用•（通-配）的值为.

B

14.(6分)双曲线C：V—£=i的渐近线方程为,设双曲线6：1一［=1(4>0力>0)

经过点(4,1),且与双曲线C具有相同渐近线，则双曲线C1的标准方程为一.

15.(6分)设数列｛〃,,｝满足6+3见+—+(2〃-1)4=2”.｛4｝的通项为=,数列｛-^｝

前n项和是,

16.(6分)随机变量X的分布列如表:

其中a,b,c成等差数列，则尸(|X|=1)=,方差的最大值是.

17.(6分)函数f(x)=Asin(a)x+s)(A>0,<y>0.一万<9<。)的部分图象如图所示，则

9=—，为了得到g(x)=Acosox的图象，需将函数y=/(x)的图象最少向左平移一个

单位.

2

n

Tl

四、解答题(本大题共5小题，共74分)

18.已知锐角AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=6，

sinB-sinAh-c

sinCa+b

(1)求角A的大小；

(2)求人+c的取值范围.

19.在三棱锥A-BCZ)中，AB=AD=BD=2,BC=DC=42,AC=2.

(1)求证：

(2)若点P为AC上一点，且AP=3PC,求直线3P与平面ACE)所形成的角的正弦值.

20.已知函数/(x)=+(a-2)e*-x.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若/*)有两个零点，求a的取值范围.

21.已知椭圆C的方程为、+/=l(a>b>0),P(l[)在椭圆上，离心率6=弓，左、

右焦点分别为月、F,.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线>=近伏>0)与椭圆C交于A,8,连接AG，并延长交椭圆C于。，E,

连接DE,求与/之间的函数关系式.

22.我们称满足：all+l-k=(-1/(«„-a；)(〃eN*)的数列｛%｝为“％级梦数列”.

(1)若｛〃｝是“1级梦数列”且q=2.求：—------二和」------匚的值；

a2-1a3-1a4-1a3-1

⑵若｛4｝是"1级梦数列”且满足1<«,<3,L+-L+…+」-=2,求438-44的最

2q出%oi7

小值；

(3)若｛a｝是“0级梦数列”且,设数列｛/｝的前"项和为S”.证明：

“।2"

―1—微隹一1—(nwN*).

2(〃+2)n2(〃+1)

2021年浙江省高考数学模拟试卷（5）（4月份）

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共10小题，共40分）

1.（4分）已知全集。=/?,集合A={x|x>0},B={x|0<x<l},则@A）|jB=（）

A.{x|O<x<l}B.{x|A;,0}C.{x|x<1}D.R

__.

【解答】解：C04={x|x,0}-1012.•.（G/A）U8={X|X<1}故

选：C.

2.（4分）已知i是虚数单位，复数z=2-i,则z・（l+2i）的共蒯复数为（）

A.2+zB.4+3ZC.4-3zD.-4-3/

【解答】解：「二？-，,

z.（l+2i）=（2-/）（1+2z）=4+3z.

.・.z.（l+2i）的共辗复数为4-3i.

故选：C.

3.（4分）己知直线a,b,m,其中aua,bua.则“,m_1_匕”是"〃z_La

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：当a,人不是相交直线时，若帆_La,mA.b,则,〃_1_。不一定成立，

若则m_La,成立，

则“机_La,mA-b"是amA.an的必要不充分条件，

故选：B.

4.（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

333

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，左半部分为四分之一圆柱，右半部分为二分之一圆锥，

且圆柱与圆锥的底面半径均为2,高为2.

则该儿何体的体积是丫=』犷22*2+4,犷22乂2=坦.

4233

5.（4分）记（2-%）,=4+4（l+x）+....+%（l+x）7,则4+4+&+....+4的值为（

）

A.1B.2C.129D.2188

【解答】解：记(2—X)，=/+q(1+元)+…+%(1+X)，=—[―3+(x+1)]',/.%=—C；=—1,

贝!j令x=0,可得/+4+。2+…+/+%=/+4+。2+…+。6-1=27=128,

则4+4+生+…+4=129，

故选：C.

x-2y+l..O

6.（4分）已知不等式组卜,2表示的平面区域为。，若函数y=|x-1|+m的图象上

x+y-1..0

存在区域。上的点，则实数m的取值范围是（）

A.[0,-]B.[-2,-]C.[-1,-]D.[-2,1]

222

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

作出函数yTx-l|的图象如图：则函数的图象关于x=l对称，

沿着对称轴x=1平移y=|x-11图象，

由图象可知当图象经过点8时函数机取得最小值，

当图象经过点。时，，〃取得最大值，

由卜=2,解得卜=2,即8（2,-1）.此时-1=|2-1|+加，

[x+y-l=0[y=-1

即m=—2,

X—1

由，解得即。（1,1）,

x—2y+1=0[y=l

此时1=加，即，"=1,

则实数机的取值范围-2张M1,

故选：D.

B,C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个

景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（）

A.18利।B.12利।C.36和1D.24种

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①，甲单独一个人旅游，在8、C景点中任选1个，有2种选法；

再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有C；8=6种情况,

则此时有2x6=12种方案；

②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，

先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在3、C景点中任选1个，有C；C；=6种情况,

将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有=2种情况，

则此时有2x6=12种方案；

则甲不到A景点的方案有12+12=24种；

故选：D.

22

8.（4分）设椭圆C:「+《=l（a>6>0）的右焦点为尸，椭圆C上的两点A、3关于原点

ab

对称，且满足以•方=0,I阳|麴2\FB\,则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.金，当B.[―,1）C.片，73-1]D.小-1,1）

【解答】解：作出椭圆的左焦点尸，由椭圆的对称性可知，四边形48尸为平行四边形，

又雨•曲=0,

即办故平行四边形42尸为矩形，

:\AB\^FF'\=2c,

设AF'=n,AF=m,

22

则在直角三角形ARF中，m-\-n=2a,in+H2=4c,①

得inn=2b2，②

mn22

g2cAmZH,12c

①+②倚—I—=——，々一=t,得/+-=——，

nmh~nth~

又由例剥E4|2\FB\,得生=fe[l,2],

n

；，+:告e。'jb即》U,|1

即掇£得[冷1，

即a麴HEi,

5c2

即，领]斗-11，

5c2

则—2，

5C2

呜哈r得秘!

得交融—

23

则椭圆的离心率的取值范围是~1，

故选：A.

9.(4分)已知函数=D'「1,则方程”/(切-2"(幻+3]=0的实根个数为(

[2-+1,用,14

)

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：设可得

3

/W-2(r+—)=0,

4

分别作出y=f(x)和y=2x+T的图象，

可得它们有两个交点，

a

即方程/(，)-2(/+/=0有两根，

一根为4=0,另一个根为f2£。，2),

由/(x)=0,可得x=2;

由/(X)=，2，可得X有3个解，

综上可得方程/(/(%))-2[/(%)+-1=0的实根个数为4.

4

故选：B.

10.(4分)已知直三棱柱ABC-A4G的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形，用一

平面截此棱柱，与侧棱朋，BB、,CC「分别交于三点M,N,Q,若AMNQ为直角三

角形，则该直角三角形斜边长的最小值为()

A.2A/2B.3C.2括D.4

【解答】解：如图，不妨设N在3处，AM=h,CQ=m,

则有知82=》+4,BQ^m2+4,MQ2=(h-m)2+4

由MB?=BQ2+MQ2=-/z〃7+2=0.

△=/J2-8®^/I28

该直角三角形斜边MB=44+A..2G.

故选：C.

Cl

二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）

11.（4分）若实数x、y满足4'+4>=21+2刈，贝US=2'+2,的取值范围是_（2-4]

【解答】解：♦.⑷+4>,=（2t+2'）2-2--2t2v=r-2.2v2',2X+I+29=2（2'+2，）=2s,

故原式变形为S2-2-2*2v=2s,即2•2X2y=s2-2s,

Vo.v2

Jy+2c

•,-0<2-22„2-（2）,即（W—2s”当且仅当2*=2>,即x=y时取等号；

解得2<s,,4,

故答案为（2,4].

12.（4分）已知抛物线/=4x,焦点记为F,过点尸作直线/交抛物线于A,8两点，则

\AF\一-2一的最小值为2夜-2.

\BF\~~

【解答】解：由题意知，抛物线V=4x的焦点坐标为（1,0）,

当斜率上存在时，显然出x0；

设直线AB的方程为y=女（工一1）,4%,y）、B（x2,y2）,

由卜一=标，消去y整理得：公/-（2公+4）*+公=0；

[y=Z（x-l）

则…XjX2=1,

1

x2=-；

根据抛物线性质知，|人用=石+1,|8/|=々+1,

।AG22八2%犬+i

.is一而=a+D-K=a+D一罚TmI其中%,>0；

设f(x)="+1，x>0,

x+1

./㈤=(x+l)-2(川)+2

x+1

=5+1)-2+二-..2、限+1)---2=2忘-2,

x+1Vx+1

当且仅当》=1时取“=”；

.•../■（X）的最小值为2夜-2；

即|AF\——的最小值为2夜-2.

故答案为：2点-2.

13.（4分）如图，在四边形ABC£＞中，AB=CD=l,点M,N分别是边45,3c的中点,

延长84和8交MW的延长线于不同的两点P,Q,则而•（而-祝）的值为Q

【解答】解：设/48C=aBC=a,ZBCD=0,则A(cosa,sina),

8(0,0),C(a,0)，D(a-cos0、sin(3)，

A4/Q+cosa-cos^sina+sin/3

一(2'2)'0)，

,•,=一”，竺『)，AB=(-cosa,-sina),DC=(cosA-sin^),

/.AB-DC-(-cosa-cosyff,-sina+sin/?),

NM•(AB-DC)=(cos2a-cos2y0)+^(sin2y0-sin2a)

=--(cos2er+sin2a)+—(cos2/7+sin2/9)=O»

又P0//NM.,

/.PQ^AB-DC)=0,

故答案为：0.

V21

土=1的渐近线方程为y=±-x，设双曲线

4-2―

22

£:餐-2=1(“>0力>0)经过点(4,1),且与双曲线C具有相同渐近线，则双曲线C1的标准

ab

方程为—.

【解答】解：双曲线C:y2-E=i的渐近线方程为：》=±二

42

2°

设双曲线1-4=1(a>02>0)经过点(4,1),且与C具有相同渐近线,

arb

可得：a=2b,并且牛—y=1,解得。=26，b=V5,

a~h~

2')

所求双曲线方程为：—-^-=1.

123

22

故答案为：y=±±；———=1.

2123

2

15.(6分)设数列｛〃〃｝满足4+3o,+…+(2"-1)4=2〃.｛4｝的通项%=_----_，数

2n-l

列｛_^_｝前〃项和是

2/?+1

【解答】解：数列｛〃“｝满足4+3电+…+(2〃一l)a“=2〃.

几.2时，q+3al+…+(2n-=2(〃—1).

相减可得：(2n-lX=2.

解得Y

〃=1时，4=2,对于上式也成立.

2

综上可得：4

2/2—1

211

2〃+1(2〃-1)(2〃+1)2/?-12九+1

数列｛-^-｝前〃项和=1」+1」+....171_2n

H-----

2〃+13352/7—12/?+12/1+12H+1

22n

故答案为:

2n—\2"+1

16.（6分）随机变量X的分布列如表:

X-101

Pahc

其中a,b,c成等差数列，则P(|X|=1)=_J_,方差的最大值是—.

【解答】解：由题意可得：2b=a+c9又a+O+c=l,(0„a,b,c<1).

联立解得人=_1.

3

2

.・.p(\X|=l)=a+c=l-b=—.

3

2

EX=-a+Oxh+ixc=c-a=——2a，

3

2

令EX=m=2a,

3

DX=(-l-w)2a+(O-/M)2xl+(l-w)2c

="+(2a-2c)m+a+c

2422

=(--勿)9-+(4«--)(--2tz)+-

3333

=Y〃+蚂+2=T(a__L)2+2,,2,当且仅当a=c='时取等号.

393333

因此DX的最大值为2.

3

故答案为：2,2.

33

17.(6分)函数f(x)=Asin3x+e)(A>0,co>0,-万<夕<0)的部分图象如图所示，则e=

为了得到g(x)=Acosa>的图象，需将函数y=f(x)的图象最少向左平移一个单

6

位.

【解答】解：由函数/(x)=Asin(o>x+e)(4>0,G>0,-〃<0<0)的部分图象,

可得A=2，

:.T=兀,a)=2,/(x)=2sin(2x+o),

将弓，2)代入得sin咛+0)=1,

-7C<(fl<0,

TTTT

:.(p=---,/(x)=2sin(2x--).

66

TTTTJT

/(XH•一)=2sin[2(xd——)J=2cos2x=g(x),

336

可将函数y=f(x)的图象向左平移(个单位长度得到g(x)的图象,

故答案为：—工，工.

63

四、解答题(本大题共5小题，共74分)

18.已知锐角AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=6,

sinB-sinA_/?-<?

sinCa+h

(1)求角A的大小；

(2)求6+c的取值范围.

【解答】解：(1)由电包二也=勺二二及正弦定理得：S—a)S+a)=g-c)c,

sinCa+b

2

所以/=加+c-bc,

所以，由A£(0,4),可得：A=-.

3

sinAsinBsinesin工

3

所以：b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(-^--B)]=2\/3cos(B一y),

因为：AABC为锐角三角形，8的范围为

则3-金(，二)，

366

COS(B-y)的取值范围是(手,1],

h+cG(3,25/3].

19.在三棱锥A—BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DC=贬,AC=2.

(1)求证：BD1AC;

(2)若点P为AC上一点,且AP=3PC,求直线BP与平面AC£＞所形成的角的正弦值.

【解答】(1)证明：取比＞中点E,连接隹，CE,

.AB=AD=BD=2,又E为BD中点、,

：.AE±BD,

同理可得：CEYBD,

又AEplCEuE,..3Z)_L平面ACE,

又ACu平面ACE,..BD^AC.

(2)解：•；AB=AD=BD=2,BC=DC=42,

:.MCD为直角三角形,且AE=6，CE=\,

：.AE2+EC2-AC2,ZAEC=-,HPAE1£C,

2

又AE_L8O,所以AE_L平面38,

.•.以E为坐标原点，EC为x轴，即为y轴，E4为z轴建立如图直角坐标系.

.•.3(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),40,0,石)，点P为AC上一点，S.AP=3PC,

设。(拓，%,z°),AP=-AC,AC=(1,0,-73),A户=(々”为"0-6),

4

••(Xo'No,Zo-6)=w(L。,-8)=(了,

313

%」

%=0，即<%=0,

z0-y/3=-V3-zn=^-y/3-

、44

P(-,0,X/3-A/3-),BP=(-,1,73-^-),DX=(0,-1,>/3),DC=(l,-l,0),设为=Q,

4444

y「zj是平面AC£>的法向量，

n»DA-0J-y,+gz、=0

令%=1,得y=1,Z]=—，

n-DC=0卜一乂=03

即;i=2时,

n=(l,l,—),AP=3PC,

4

A/6迪叵加亚也

出也万-3入+2777

20.已知函数f(x)=ae2*+(a—2)e"—x.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.

【解答】解：(1)由/(x)=ae2'+(a-2)，-x,求导/(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,

当a=0时，f'(x)=-2ex-l<0,

.•.当xeR,/(x)单调递减，

当a>0时，f\x)=(2ex+\){aex-1)=2a(ex+-)(ev--),

2a

令(")=0,解得：x=ln-,

a

当/(x)>0,解得：x>ln-,

a

当r(x)<0,解得：x<ln-,

a

时，/(X)单调递减，xe(//?-,+8)单调递增；

aa

当a<0时，f'(x)=2a(ex+3("—3<0，恒成立，

2a

.,.当xeR,/(x)单调递减，

综上可知：当④()时，f(x)在R单调减函数，

当。>0时，/(x)在(TO,//)是减函数，在(//，+8)是增函数;

aa

(2)①若q,0时，由(1)可知：/(x)最多有一个零点，

当a>0时，/(x)=ae2'+(a-2)e*-x,

当xf-oo时，/fo,e*.0,

.,.当X->-00时，/(X)—+00,

当X78,e2t^+oo,且远远大于/和X,

.,.当X->8,/(X)T+00,

函数有两个零点，/(x)的最小值小于0即可，

由/(X)在(7,//)是减函数，在(/"L，+00)是增函数，

aa

/(^)„„„=/(/«-)=ax(3)+(a-2)x,一J_<o,

aa~aa

aaaa

设工=一,则g(r)=/〃t+f-i,(r>0),

a

求导g()=1+I,由g(1)=0,

解得：0<a<l,

a

.♦.a的取值范围(0,1).

方法二：(1)由71(x)=al'+(a-2)e*-x,求导:(x)=2(«产+(a-2)e*-1,

当a=0时，f'(x)=-2ex-I<0,

.•.当xeR,/(x)单调递减，

当a>0时，f'(x)=(2e'+l)(ae'-1)=2a(ex+g)(e'-工)，

令/'(X)=0，解得：x=—Inci»

当广(x)>0,解得：x>-lna,

当r(x)<0,解得：x<-lna,

二.XE(-oo,-痴)时，/(x)单调递减，xe(-Ez,+oo)单调递增；

当a<0时，r(x)=2a(/+g)(/-L)<0,恒成立，

.,.当xeR,/(x)单调递减，

综上可知：当q,0时，/(x)在R单调减函数，

当。>0时，f(X)在(70,-/也)是减函数，在(-/〃〃,W)是增函数；

(2)①若凡0时，由(1)可知：/(x)最多有一个零点，

②当a>0时，由(1)可知：当x=-/w时，/(x)取得最小值，=f\-lna)=l---ln-,

aa

当a=l,时，/(-/««)=0,故f(x)只有一个零点，

当ae(l,+oo)时，由BPf(-lna)>0,

aa

故/(x)没有零点，

当ae(0,l)时，1一1-/〃4<0,f(-lna)<0,

aa

由/(-2)=ae-4+(a-2)e<+2>-2e<+2>0,

故f(X)在(-O0.-//7W)有一个零点，

假设存在正整数%，满足为>ln(--1),则f(%)=e""(ae""+a-2)->泮-%>2%-%>0,

ano

3

由ln(——1)>-Ina，

a

因此在(-打〃,卡切有一个零点.

・•.〃的取值范围(0,1).

21.已知椭圆C的方程为捺+白叱匕＞0）,尸（1,等）在椭圆上，离心率e年，左、

右焦点分别为石、F2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线丫=心必＞0）与椭圆C交于A,B,连接8月并延长交椭圆C于。，E,

连接。£,求心日与女之间的函数关系式.

【解答】解：（1）由P（l,乎）在椭圆上，可得±+J=l，

又/=从+/,可得a=y/2,b=l,c=1,

所以椭圆。的方程为三+尸=1.

2

（2）设A（x（），%），则8（—%,—%），直线---v—1＞

%