2022年高考考前20天终极冲刺攻略（二）核心考点解读-椭圆

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时间：5月27日

核心考点解读一一椭圆

高考预测从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中标准方程和几何性质考查

比较频繁.椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及

椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活,

在各种题型中均有体现.

应试技巧一.椭圆的，际准方程和几何性质

焦点的

焦点在X轴上焦点在y轴上

位置

A

图形

RiO

标准方

—+^-=1(a>b>0)[a>b>0

程a2b21))

统一方

mx2+ny2=l(m>0,n>Om工n)

程y

参数方x=acos0，/“x=acos0，/一

sin/为参数M-V广丽/为参数初图融

程

到两定点々、心的距离之和等于常数2a,即|+|MF2|=2a

第一定

义

⑵>|广用）

范围-a<x<aR-b<y<b-b<x<b3^-a<y<a

A](0,~ntz)、A?(0,a)

A2Ho)

顶点

B,(0,^)

轴长长轴长=2a短轴长=%长轴长=①短轴长=2Z?

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点G（Y,0）、巴卜,0）；仅《）、鸟（O,。）

222

焦距晒|=2c(c=a-t>)

/1-p-(0<e<1)

离心率

点和椭>1'外>1'外

片+“Vy2x2

圆=1o点（与乂）在椭圆,上江+工=1O点（冗0，儿）在椭圆，上

a2b2“2从

的关系<1内<1、内

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2反（最短的过焦点的弦）

通径

a

设直线与椭圆的两个交点为A。1,％）,B（x2,y2）,kAfi=k,

则弦长［A同=Jl+忖—xj=A/1+Z~—Z）~一4%产2

弦长公

式=J1+/他-%）2-4），%=，1+犷系

（其中。是消），后关于X的一元二次方程的X?的系数，△是判别式）

焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径

①设椭圆上一点尸（天,头）），贝”产制=4+夕0，|尸局=4一夕0（可记为“左加右减”）

②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a+c,最小值为a-c

2

焦点三角形面积：S^F1=fttan-（其中e=N尸耳工）

,真题回顾

22

1.（2021.全国•高考真题（理））设B是椭圆（7:「+2=13>，>0）的上顶点，若C上的任意一点P都

ab~

满足IPB区2b,则C的离心率的取值范围是（）

【答案】C

【解析】设。（％几），由8（0㈤，因为4+4=1-a2^b2+c2,所以

ab

222

|尸8「=x；+（%-〃/=a?l-p-l+（y0-Z?）=-p-y0+p-+^+a+b,

因为-64%”,当-5w,即从12时，忸求混=4匕即归到四=26,符合题意，由匕2“2可

得a222c2,即0<e4也;

2

2222

当一探>-6,即从<?2时,\PB（mx=^+a+b,即5+/+/44廿,化简得，（？-fe）<0,显

然该不等式不成立.故选：C.

2.（2021•全国•高考真题（文））设8是椭圆C:]+y2=i的上顶点，点P在C上，则|「耳的最大值为

（）

A.■-B.-\/6C.>/5D.2

2

【答案】A

【解析】设点。（不，几），因为8（0,1）,J+y；=i，所以

I崎=x；+（%-l）2=5（1一对+（%-1『=-4乂-2%+6=-4卜+；）+y.

而—14%41,所以当％=-；时，|用的最大值为g.

故选：A.

92

3.（2021♦全国•高考真题）已知小工是椭圆C：方•+?=1的两个焦点，点用在。上，则用

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

由题，/=9廿=4,贝闾=2a=6,

所以附用树月区际丁段=9（当且仅当|町|=|峥|=3时，等号成立）.故选：C.

4.（2021.全国•高考真题（文））已知耳，尼为椭圆C：反+片=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原

164

点对称的两点，且归口=|£段，则四边形WQB的面积为.

【答案】8

【解析】

因为P,。为C匕关于坐标原点对称的两点，

且IP2H耳81,所以四边形P6Q8为矩形，

设|尸耳|=",|PF2\=nf则团+〃=8,机2+/=48,

所以64=（帆+n）2=m2+2mn+「、=48+2mn,

加〃=8,即四边形尸用2K面枳等于8.故答案为：8.

o2

5.（2021•浙江•高考真题）己知椭圆与+4=1（〃>匕>0）,焦点耳（-c,0）,居（c,0）（c>0）,若过耳的直

a2b-

线和圆+y2=/相切，与椭圆在第一象限交于点P,且尸用_Lx轴，则该直线的斜率是

,椭圆的离心率是.

【答案】竽亭

【解析】

如图所示：不妨假设c=2,设切点为B,

幽=g,tanZPFF=

sin/尸片"=sinABF.A=―t2

6Al苏W石

所以人堂，由人摺,|%|=2c=4,所以|%=半，附|=|*X：岑,

于是2a=|历|+忸居|=46，即〃=2不，所以e=£=3=逝.故答案为：冬叵：虫.

a2V5555

6.(2021・湖南•高考真题)已知椭圆C:，+，=l(a＞人＞0)经过点A(2,0),且离心率为当.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线y=x-i与椭圆C相交于P，。两点，求正•硕的值.

22

【解析】(1)椭圆。:£+==1(。＞。＞0)经过点4(2,0),所以。=2,

因为离心率为=£=£,所以c=J§\所以从=/—＜?=4—3=1,

2a2

所以椭圆。的方程为三+丁=1

4

-4-y2=18

(2)由J4,得5d-8x=0,解得芯=于％2=0，

y=x-1

8

X'=5

叫"3,或%!=0

=0-1=-1

r,=r1=5

可得尸(|,|),0(0,-1),或者碓,|),P(o,-1),所以福.豆=(|-2寄.(0_2,_1)=：沼.

7.（2021.江苏•高考真题）已知椭圆C:「+为=l（a>6>0）的离心率为手.

（1）证明：a=回;

（2）若点M2,一奈）在椭圆c的内部，过点M的直线/交椭圆C于尸、。两点，M为线段PQ的中

点，且OPLOQ.

①求直线/的方程；

②求椭圆C的标准方程.

【解析】⑴9?书=再^=卜屈辱：*，因此,"技；

22

（2）①由（1）知，椭圆C的方程为泰+春■=1,即x2+3y2=3b2,

当卷厂卷］在椭圆C的内部时，（蒋）+3,-噂<3/,可得得

内+工2_9

210所以，江&=_噜,

设点尸（X，y）、。（9,为），则，

X+必_6%+々9

2-10

x；+3y；=3b2

由己知可得两式作差得(5+9)(西一%)+3(%+%)(y-%)=。,

龙；+3y；=3b2

所以山・产片

玉-々3（乂+12）3I<3）

所以，直线/方程为=石［一2），即y=Qx-百.

所以，直线/的方程为石=0；

x2+3y2=3b2

②联立｛r-\，消去y可得10式2_181+9_3从=0.

y=73（1）

A=182-40（9-3Z?2）=120/72-36>0,

由韦达定理可得%+%=9g,芭々Q=-"3b匕2，

又・.・OP_LOQ,而0P二（%,）［）,丽=（42，%），

:.OP-OQ=+乂%=玉勺+省（%一1>6（/-1）=4不9-3（%+占）+3

2（9-3片）-27+156-6/八

55

解得〃=1合乎题意，故/=3"=3,因此，椭圆C的方程为1+丁=1.

8.（2021.天津•高考真题）已知椭圆「■+2=1（"＞人＞0）的右焦点为尸，上顶点为8,离心率为半,

且忸耳=右.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与），轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的直线交x轴于点

P.若MPHBF,求直线/的方程.

【解析】（1）易知点尸（c,0）、B（0,b）,故忸F|=42+易=a=&,

因为椭圆的离心率为e=£=冬叵，故c=2,b=y/a2-c2=1.

a5

因此，椭圆的方程为《+丁=1；

5-

（2）设点"伍,九）为椭圆高+丁=1上一点，

先证明直线MN的方程为专+为y=1,

爷+%y=i

联立。,消去y并整理得/-2%r+x：=o,△=4片一4片=0,

X21

—+V=I

5

因此椭圆片+V=1在点〃住,几）处的切线方程为智+y,y=L

53

1（1）

在直线MN的方程中，令x=0,可得y=一,由题意可知%＞0,即点N0,一

%I%；

直线所的斜率为％所=-2=-!，所以，直线PN的方程为y=2x+,，

在直线/W的方程中，令＞=0,可得尤=-；，即点P―工-,0,

2%I2%J

为2-=1

因为MP//BF,则此“产女",即12x0y0+12,整理可得(%+5%)2=0,

玉)十

2yo

所以，丸=一5%，因为¥_+y；=6y；=l,二％＞。，故%="，x,=-巫，

566

所以，直线/的方程为-巫x+迈y=l,即x-y+6=0.

66

9.(2021.全国.高考真题)已知椭圆C的方程为J+/=1(。＞6＞0),右焦点为F陋,0),且离心率为当

(I)求椭圆C的方程;

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+丫2="(工＞0)相切.证明：乂,N,尸三点共线

的充要条件是IMN|=6.

【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c=应且e=£=且，所以。=6，

a3

又从=/一,2=1,所以椭圆方程为1+丁=1;

(2)由(1)得，曲线为一+9=1。＞0),

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设历(％,x),N(工2,%)，

必要性：

若M,N,尸三点共线，可设直线MN:y=%(x-&)即履-y-衣：=0,

由直线MN与曲线/+丫2=心＞0)相切可得_^L=1,解得后=±1,

^/F7T

联立仁了―。，所以一考”弓

lT+-v=1

2

所以|MN|=Vl+T->/(X1+X2)-4XI-X2=上,

所以必要性成立；

充分性：设直线MV:y=依+匕,(助v0)即kx-y+b=O,

由直线MN与曲线、+'=10＞0)相切可得J)=1,所以〃=标+],

收+1

y=kx+b

联立＜d2可得(l+3/2)f+6妨X+3尸一3=0,

,T+v=1

6kb3/—3

所以玉+/=-]+3/H]+3/

|2,3b2-3

所以|MN|=J1+公-J(N+XJ-4X/W=4\+k26kb

1+3公~1+3公

=",等s

化简得3（公—1）2=0,所以九=±1,

k=l

所以《b=-O或\b=B所以直线MV:y=x-&或y=-x+x/5,

所以直线MN过点F（垃,0）,M,N,尸三点共线，充分性成立:

所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=石.

10.（2021・北京•高考真题）已知椭圆E:二+马=13＞匕＞0）一个顶点40,-2）,以椭圆E的四个顶点

ab

为顶点的四边形面积为46.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点尸（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线

交产-3交于点M,N,当|PM+|PMW150寸，求上的取值范围.

【解析】（1）因为椭圆过A（0,-2）,故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4石，故gx2ax2b=46，即〃=石，

22

故椭圆的标准方程为：三+匕=1.

54

设3(百,%),€1(%,%)，

因为直线BC的斜率存在，故占七二0,

故直线A8:y=上型尤-2,令y=-3,则加=--同理乐=一一三

X1%+2%+2

y=Ax-3

直线8C:y=-3,由可得(4+5公卜2-3。丘+25=0,

4X2+5/=20

teA=900^-100（4+5fc2）>0,解得&<-1或4>1.

30k

又办+々——故%/＞。，所以与乐＞0

石贡'E4+5公

又忙刈+|取|=曷+%=壬+不、

y十,必十乙

50k30k

为+%|=2-1一（%+X2）4+5/-4+声

kx-1fcv-1|K%/一&（七+工2）+1221

}225k-30k...F1

4+5A:24+5k2

故5限415即|&|V3,综上，一34左＜一1或1＜JIW3.

11.(2022•上海•高考真题)在椭圆r：，+y2=l中，直线/:x=a上有两点C、£＞(C点在第一象限)，左

a

顶点为4,下顶点为8,右焦点为E

⑴若N4FB=g,求椭圆「的标准方程；

O

(2)若点C的纵坐标为2,点。的纵坐标为1,则BC与AO的交点是否在椭圆上？请说明理由；

⑶已知直线BC与椭圆「相交于点尸，直线AZ)与椭圆「相交于点Q,若尸与。关于原点对称，求ICCI

的最小值.

7T

【解析】⑴由题可得4一〃,0)，3(0,—1),尸(c,0),又乙MB-、

所以tanZ.A,FB=—=—=tan-=——,解得c=G,

cc63

所以/=]+(G)2=4,

故椭圆「的标准方程为工+/=1；

4.

3

(2)由5(0,—l),C(a,2),得直线3c的方程为：y=-x+\

af

由A(-〃,0),。(兄1),得直线AD的方程为：y=」-(x+〃),

2a

3〃4

联立两方程，解得交点为(三,^3

2

代入椭圆方程的左边，得(―5)，

a22+*广

故直线BC与AD的交点在椭圆上；

(3)由题有A(—〃,0)，8(0,-1)

因为产,。两点在椭圆上，且关于原点对称,

则设尸(。cosasin6),。(一acos6,-sin6),

sinO+1sin8+1

直线8P：y=x-1则C(a,———-1)，

acos。COS，

2sin。

直线AQ:y=-—(x+a),则D(a,

acos0-acos0-l

sin0+12sin0

所以|CD|=--------]--------

cos0cos0-1

.06.■)02。/。。

2sin—cos—+sin-—+cos--4sin—cos—

222222i

2o.2ec.)e

cos——sin--2sin一

222

、n92f+厂+1211

设tan—=，，则C。=----；—+—1=2----F--1,

2111-rtITt

11x+八x+y4

因为Xy孙［x+yjx+y,

所以++1T^y-l=3,则|因26,即|CD|的最小值为6.

12.(2020.山东.高考真题)已知抛物线的顶点在坐标原点。，椭圆片+尸=1的顶点分别为A,4,B,,

B1,其中点4为抛物线的焦点，如图所示.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)若过点A的直线/与抛物线交于M,N两点，且(。面.+丽)〃瓦4,求直线/的方程.

【解析】解：(1)由椭圆?+丁=1可知/=4,廿=1,

所以a=2,b=\,则4(2,0),

因为抛物线的焦点为4，可设抛物线方程为/=2px(p>0),

所以4=2,即p=4.

2

所以抛物线的标准方程为V=8兀

9

(2)由椭圆三+>2=1可知A(—2,0),BJ0.-1),

4

若直线/无斜率，则其方程为x=-2,经检验，不符合要求.

所以直线/的斜率存在，设为左，直线/过点4(-2,。),

则直线/的方程为y=Z(x+2),

设点N(Z，%)，

y=%(x+2)

联立方程组

y2=8x

消去y,得公f+(4公—8)x+4%2=0.①

因为直线/与抛物线有两个交点,

7x0

k240

所以，即《

A>0(4公-8)2-4陵4&2>0,

解得且h0.

由①可知西+々=8g-

所以凹+)&=%(X+2)+%+2)=Z(尤।+%)+42=*:女+44=:

8-4A:28

则OM+QV=(%+x2,yt+必)=

因为(。而+ON)//胞，且34=(2,0)-(0,-1)=(2,1),

心、18-4公'8八

所以-------2x—=0

k2k

解得，k=—2+显或k=-2—V6,

因为一1cze1，且AwO,

所以&=-2-太不符合题意，舍去,

所以直线/的方程为"卜2+司。+2),即(卡—2卜—y-4+2#=0.

22

13.(2020•天津•高考真题)已知椭圆/X十+记V=1(a>6>0)的一个顶点为40,-3),右焦点为尸，且

\OA\AOF\,其中。为原点.

(I)求椭圆的方程；

(II)已知点C满足3丽=丽，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线A3与以C为圆心的圆相切

于点P,且P为线段48的中点.求直线A8的方程.

【解析】(I)•椭圆摄+/=1(。>“0)的一个顶点为A(0,-3),

•二b=3,

由|OA|=|OF|,得c=b=3,

又由得a2=32+32=18,

2*)

所以，椭圆的方程为三+匕=1:

189

(II)：直线与以C为圆心的圆相切于点P,所以

根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在,

设直线AB的斜率为3则直线A3的方程为丫+3=依，即y=米-3,

y=kx-3

■x2y2，消去y，可得(2二+1卜2-12日=0,解得x=()或*

---F--=12k+1

U89

12%6kz-3

得y=k•

将'=为代入V'2k2+\~~一21+l

12k6k2-3)

所以，点B的坐标为

2k2+i2k2+\)

因为尸为线段A8的中点，点A的坐标为(0,-3),

所以点P的坐标为(不J，不工］,

(2K+12k'+

3OC=OF.得点C的坐标为(1,0),

0③

所以,直线6的斜率为/■产?二二环初,

2F71-1

3

又因为CP_LAB,所以人〜，=，二T，

2*-6^+1

整理得2公—3«+1=0,解得A=;或々=1.所以，直线的方程为，=；x-3或y=x-3.

14.(2020.山东•高考真题)已知椭圆C：£+4=1(〃>6>0)的离心率为也，且过点A(2,l).

a~b~2

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且4WL4V,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使得为定值.

C_5/2

a2

41

【解析】(1)由题意可得：/+乒=1，解得：。2=6,"=/=3,

故椭圆方程为：4+V=1-

03

(2)［方法一］:通性通法

设点例(为,乂),阳々,月)，

若直线MN斜率存在时，设直线MM的方程为：》=履+机，

代入椭圆方程消去旷并整理得：(\+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,

2m2-6

可得与+受=-

因为AM_LAN,所以丽■.丽=0，即（石一2）（々一2）+（乂-1）（%-1）=0,

根据）1=依+见＞2=kx2+m,代入整理可得：

（k。+1）X］X,+^km-k-2）^xx+X2）+（/M-1）'+4=0,

所以心符+（W-1）2+4=0,

整理化筒得(2M+3帆+1)(2%+，〃-1)=0,

因为A(2,l)不在直线MN上,所以2it+m-l什0,

故2k+3，〃+l=0,k^\,于是MN的方程为y=%(x——3(%H1),

所以直线过定点直线过定点

当直线MN的斜率不存在时，可得N(X|,-y),

由AM-AN=0得：(%-2)(%)-2)+(^-1)(-^-1)=0,

得(玉一2)2+1—父=0,结合耳+号=1可得：3%2_8'+4=0,

63

解得：占=9或&=2(舍).

34

此时直线MN过点

令。为”的中点，即Q仔，号,

若0与P不重合，则由题设知AP是Rt&DP的斜边，故RQ|=g|AP|=2f,

若。与尸重:合，则|。。|=］慎尸|,故存在点Q

［方法二］【最优解】：平移坐标系

将原坐标系平移，原来的。点平移至点4处，则在新的坐标系下椭圆的方程为"空+“包=1,

63

设直线MN的方程为侬+胡=4.将直线MN方程与椭圆方程联立得9+4》+2/+4），=0,即

22

x+（z?ir+〃y）x+2y2+（〃?x+〃y）y=0,化简得（〃+2）y2+（fn+n）xy+（1+m）x=0,即

（72+2）f—1+（7n4-H）f—1+（1+7H）=0.

设41（%方）小（々,必），因为A"则GKN="&="==一1,即山二一〃一3.

X工2"+2

代入直线MN方程中得〃（y-x）-3x-4=0.则在新坐标系下直线MN过定点则在原坐标系

下直线MN过定点