2021年新初二数学人教专题复习《实数》

2021年新初二数学人教新版专题复习《实数》

一.选择题（共10小题）

1.（2020秋•沙坪坝区校级期末）边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针

滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（）

]力___。1II1）

-2-101234

A.点AB.点BC.点。D.点O

2.（2021•霍邱县一模）数轴上A,B,C,。四点中，两点之间的距离最接近于b+1的是

ABCD

——I-----------1_._।-----------1------------1-----------1-----------1----------1_._I_

（）-4-3-2.5-2-101233.54

A.点A和点BB.点8和点CC.点C和点。D.点A和点C

3.（2021春•哪城区期末）下列说法错误的是（）

A.-1的立方根是-1

B.3的平方根是

C.0.1是0.01的一个平方根

D.算术平方根是本身的数只有0和1

4.（2021•福州模拟）若实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则①心-4；

②b+d<。；③|a|<c、2；④c<F的结论中，正确的是（）

-4-3-2-1012345

A.①②B.①④C.②③D.③④

5.（2021•北京）实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

1।1t.i।I.I।।।i.

-5-4-3-2-1012345

A.a>-2B.⑷C.a+h>0D.h-a<0

6.（2021春•仓山区校级期中）下列说法正确的是（）

A.也等于±2

B.2和-泥都是实数

C.无理数和数轴上的点一一对应

D.愿<1

7.（2021•东莞市二模）如图所示，数轴上A,8两点表示的数分别1,加，则的直径

长为（）

8.（2021春•荣昌区校级月考）对于实数内b,定义加6}的含义为：当时，加〃{“,

b}—a,当b<a时，加”{a,b}—b,例如：min{1,-2]--2.已知a}—a,

加〃{倔，切=>/品，且a和人为两个连续正整数，则a-%的立方根为（）

A.-1B.1C.-2D.2

9.（2021春•福田区校级期中）对于实数a和江定义两种新运算:®a*fe=A（|a-b\+a+b）,

2

②4（8）6=/叱则（503）*（305）=（）

A.355B.533C.533-355D.533+355

10.（2021春♦武昌区期中）已知%o.2]4〜0,5981，版市Q1289,版工区-2.776,则

力21400二（）

A.27.76B.12.89C.59.81D.5.981

二.填空题（共10小题）

11.（2021•福州模拟）已知a是整数，且a<牛而<a+l,则a的值是.

12.（2019秋•鹿邑县期末）已知4,B,C是数轴上的三个点，且C在B的左侧.点A,B

示的数分别是1,3,如图所示.若8C=2AB,则点C表示的数是.

W~0~t~2~3~4*

13.（2019秋•东台市期末）在—,3.14,0,0.1010010001-,2中，无理数有个.

23

14.（2020秋•朝阳区校级期中）若任的小数部分为.

15.（2020秋•淮阴区期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1,

点尸表示的数为-1,以P点为圆心，P8长为半径作圆弧与数轴交于点。，则点。表示

的数为

16.（2020春•西城区校级期中）已知4a+l的算术平方根是3,则a-10的立方根是.

17.（2018秋•平谷区期末）已知，a,b是正整数.

（1）若聘是整数，则满足条件的a的值为:

（2）若f+J?是整数，则满足条件的有序数对（a,b）为.

18.（2015秋•萧山区期末）一个长为3,宽为2的长方形从表示-1的点开始绕着逆时针翻

转90°到达E点，则E点所表示的数是.

CD

BC

七|一、

--101

19.（2009•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼

成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为八氏c、d,且这四个小正方形能

拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为.

20.已知小6是有理数，x是无理数，如果.3痴-6生2018乂上2><2018.是有理数,则且等

4bx-8bx+2017x-2X2017b

于.

三.解答题（共10小题）

21.（2020秋•北培区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示.其中，

我们将数轴上表示正整数的点称为“正点”.取任意一个“正点”P,该数轴上到点P距

离为1的点所对应的数分别记为小bCa<b）.定义：若数〃7=^-G则称数根为“复

合数”.例如：若“正点”尸所表示的数为3,则〃=2,b=4,那么机=43-23=56,所

以56是“复合数”.【提示：Z>3-a3=（b-a）（淋+血/）.】

（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6

整除；

（2）已知两个“复合数”的差是42,求这两个“复合数”.

22.（2021春•西城区校级期中）任何实数a,可用⑷表示不超过“的最大整数，如⑷=4,

=现对72进行如下操作：

72第一次［\1］=8第二为泥］=2第二次［小石=1，这样对72只需进行3次操作后变为1.

（1）对10进行1次操作后变为,对200进行3次操作后变为；

（2）对实数m恰进行2次操作后变成1,则m的取值范围是.

（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是.

23.（2021春•黄埔区期中）已知一个正数，〃的两个不同的平方根是24+3和1-3a,求相的

值.

24.（2021春•长白县期中）判断下面各式是否成立

探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想:---------------

（2）用含有〃的代数式将规律表示出来，说明〃的取值范围，并给出证明.

25.（2020秋•未央区期中）若含根号的式子。+公々可以写成式子〃计〃4的平方（其中〃，

2

b,m,〃都是整数，x是正整数），a+byfx~,则称a+以1G为子母根式，

机+，〜G为。+八G的子母平方根，例如，因为3+2亚=（1+&）2,所以历是3+2双

的子母平方根.

（1）已知2+«是。+以行的子母平方根，贝!］。=,b=.

（2）若机+〃正是“+/?«的子母平方根，用含〃1,"的式子分别表示“，b.

（3）已知21-12正是子母根式，直接写出它的一个子母平方根.

26.（2020秋•越秀区期末）如图，数轴上点A,C对应的实数分别为-4和4,线段AC=

8cm,AB=2cm,CD=4cm,若线段48以3c血秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以

1C7"/秒的速度向左匀速运动.

IIIII、

AB0CD

（1）问运动多少秒时BC=2c/w?

（2）线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式BD-AP=3PC.若

存在，求线段尸。的长；若不存在，请说明理由.

27.（2020秋•吉安期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道我是无理数，而无理数是

无限不循环小数，因此“历的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜我＜2于是可用加

-1来表示&的小数部分.请解答下列问题：

(1)幅的整数部分是，小数部分是:

(2)如果5+旄的小数部分为m5-遍的整数部分为b,求“+J访的值.

28.(2020秋•广安期末)点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、8两点之间的距离表

示为4B,在数轴上A、8两点之间的距离-加，

例如：数轴上表示-1与-2的两点间的距离=|-1-(-2)|=-1+2=1；

而|%+2|=卜-(-2)|,所以仅+2|表示x与-2两点间的距离.

利用数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示-2和5两点之间的距离.

(2)若数轴上表示点x的数满足(X-1|=3,那么x=.

(3)若数轴上表示点x的数满足-4<x<2,则卜-2|+卜+4|=.

AB

-----1-----i------------

a0b

29.(2021春•研口区期中)某同学想用一块面积为400c〃?2的正方形纸片，(如图所示)沿

着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2,请你用所学

过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片.

30.(2019秋•锦江区校级期末)阅读下面材料：

点A、8在数轴上分别表示实数a、h,A、B两点之间的距离表示为|AB|.

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,HB|=|OB|=|6|=|a-勿；

OAB

O(A)BJ____I___________L

I___________________________|_0ab

0b

图1图2

当A、B两点都不在原点时，如图2,点A、8都在原点的右边，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-

\a\=b-a=\a-b\；

如图3,当点A、8都在原点的左边，\AB\=\OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-(-a)=\a-b\；

B/O??一

I—ib0a

b

图3图4

如图4,当点A、B在原点的两边，\AB\=\OB\+\OA\=\a\+\b\=a+(-b)=\a-b\.

回答下列问题：

(1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是数轴上表示2和-3的两点之间的距离

是.

(2)数轴上若点A表示的数是x,点8表示的数是-4,则点A和8之间的距离是,

若依用=3,那么x为.

(3)当x是时，代数式k+2|+k-1|=7.

(4)若点A表示的数-1,点B与点A的距离是10,且点B在点A的右侧，动点P、Q

同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是

每秒上个单位长度，求运动几秒后，8、P、。三点中，有一点恰好是另两点所连线段的

2

中点？(请写出必要的求解过程).

2021年新初二数学人教新版专题复习《实数》

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2020秋•沙坪坝区校级期末）边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针

滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（）

।4___。।।।।）

-2-101234

A.点AB.点8C.点CD.点。

【考点】实数与数轴.

【专题】数形结合；数与式；应用意识.

【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4,商即是循环的次数，由余数即可得到与2023

重合的点.

【解答】解：720234-4=504……3,

...与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，

而与1重合的是C,与2重合的是8,与3重合的是4,

与2023重合的是4,

故选：A.

【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合

的点.

2.（2021•霍邱县一模）数轴上A,B,C,。四点中，两点之间的距离最接近于&+1的是

ABCD

——I----------1_._I----------1--------1--------1--------1----------1_._I_k

（）-4-3-2.5-2-101233.54

A.点A和点BB.点8和点CC.点C和点。D.点A和点C

【考点】实数与数轴；估算无理数的大小.

【专题】实数；二次根式；应用意识.

【分析】先估算a+1的大小，然后根据选项即可判断.

【解答】解：1＜加＜2.

A2<V2+1<3.

AB=-1-（-2.5）=1.5,BC=\-（-1）=2、CD=3.5-1=2.5、AC=\-（-2.5）

=3.5.

故扬1最接近的是点C和点D之间的距离.

故选：C.

【点评】本题考查无理数的估算大小、实数与数轴的关系.关键在于利用数轴，找到点

之间的距离.

3.（2021春•哪城区期末）下列说法错误的是（）

A.-1的立方根是-1

B.3的平方根是«

C.0.1是0.01的一个平方根

D.算术平方根是本身的数只有0和1

【考点】平方根；算术平方根；立方根.

【专题】运算能力.

【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求

法，逐项判定即可.

【解答】解：A、-1的立方根是-1,原说法正确，故此选项不符合题意；

B、3的平方根是土相，原说法错误，故此选项符合题意；

C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；

。、算术平方根是本身的数只有。和1,原说法正确，故此选项不符合题意.

故选：B.

【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根.解题的关键是熟练掌握立方根的定

义，平方根的定义，以及算术平方根的定义.

4.（2021•福州模拟）若实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，贝KDa>-4；

②b+d<0；③④c<F的结论中，正确的是（）

-4-3-2-1012345

A.①②B.①④C.②③D.③④

【考点】实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【分析】①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大即可判断；

②根据异号两数的加法法则判断；

③注意到C是一个真分数，所以C，2<1,而⑷>3,从而作出判断；

④先判断C2与d的大小，再开方即可.

【解答】解：①根据在数轴上，右边的点表示的数比左边的大可知：a>-1,符合题意;

②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，取”的符号正号，所以6+d>0,不符合题意;

③•.•同>3,c2<l,.-.k/|>c2,不符合题意；

④；於<1,d>2,：.c2<d,.*.c<Vd-符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是注意到c是一个真分数，所以

5.（2021•北京）实数a,。在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

।।P।।.

-5-4-3-2-1012345

A.a>-2B.\a\>bC.a+b>0D.b-a<0

【考点】绝对值；实数与数轴.

【专题】实数；运算能力；推理能力.

【分析】根据图象逐项判断对错.

［解答］解：A.由图象可得点A在-2左侧，

-2,A选项错误，不符合题意.

B.至U0的距离大于〃至U0的距离，

/.\a\>b,3选项正确，符合题意.

9

C.：\a\>bfa<0,

•.一ab，

.\a+b<0f。选项错误，不符合题意.

D.•・》〉〃，

：.b-a>0,。选项错误，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义.

6.（2021春•仓山区校级期中）下列说法正确的是（）

A.也等于±2

B.2和-旄都是实数

C.无理数和数轴上的点一一对应

D.73<1

【考点】算术平方根；实数与数轴；实数大小比较.

【专题】实数；推理能力.

【分析】A,根据算术平方根的定义判断.

B,根据实数的定义判断.

C,根据实数与数轴的对应关系判断.

D,根据无理数比较大小判断.

【解答】解：V4=2,A选项错误，不符合题意.

2和-加都是实数，8选项正确，符合题意.

实数和数轴上的点一一对应，C选项错误，不符合题意.

、质>1,。选项错误，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查实数的大小比较与算式平方根，解题关键是掌握实数与平方根，算术

平方根的意义.

7.（2021•东莞市二模）如图所示，数轴上A,8两点表示的数分别1,后，则OA的直径

长为（）

【考点】实数与数轴.

【专题】数形结合；应用意识.

【分析】根据己知条件可以求出线段AB的长度，然后根据直径等于2倍的半径，即可解

答.

【解答】解：•••数轴上A、8两点表示的数分别为1和加，

:.AB=42-

,/OA的直径为2AB=2&-2.

故选：c.

【点评】本题考查知识点为求数轴上两点间的距离，解本题关键，求两点间的距离用大

数减去小数，圆的直径等于2倍的半径.

8.(2021春•荣昌区校级月考)对于实数〃、b,定义加〃{“，切的含义为：当时，加加他,

b}—a,当匕Va时，b}—b,例如:min{1,-2}=-2.已知就〃{J前,a}—a,

wzn{V30)V30>且”和人为两个连续正整数，则a-〃的立方根为()

A.-1B.1C.-2D.2

【考点】算术平方根；立方根；实数大小比较.

【专题】数与式；运算能力.

【分析】根据a,b的范围即可求出a-h的立方根.

【解答】解：,.'加〃{5/无，a}=a,min{\f30,b}=愿5.

•'•a<V30>b>y/30.

,：a,6是两个连续的正整数.

••。=5,Z?=6.

-b=-1.

・・・a-b的立方根等于-1.

故选：A.

【点评】本题考查用新定义解决数学问题及无理数的估计，立方根的求法，正确理解新

定义是求解本题的关键.

9.(2021春•福田区校级期中)对于实数a和从定义两种新运算：①-例+〃+",

2

②a<g)b=a"b,则(5(8)3)*(305)=()

A.355B.533C.533-355D.533+355

【考点】实数的运算.

【专题】实数；运算能力.

【分析】直接利用根据新定义进而将原式变形得出答案.

【解答】解:(503)*(305)=533*355

=_!(|533-355|+5B+355)

2

=_1(355-533+533+355)

2

2

=355.

故选：A.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键.

10.（2021春•武昌区期中）已知%o.丽=0.5981,版工Q1289,短匚4Q2.776,则

晒400=（）

A.27.76B.12.89C.59.81D.5.981

【考点】立方根.

【专题】实数；运算能力.

【分析】先将病赤化简成含有的版匚％式子再计算.

【解答】解：病丽=病7衣1丽=版匚4义肌1而=10版匚422.776X10=

27.76.

故选：A.

【点评】本题考查求立方根的计算，解题关键是熟练掌握根式运算方法.

填空题（共10小题）

11.（2021•福州模拟）已知。是整数，且“＜牛花＜“+1,则a的值是3.

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数；运算能力.

【分析】由27＜36＜64可得加牛死＜牛或，从而得出。的值.

【解答】解：：病＜病＜病，

**•Q=3.

故答案为3.

【点评】本题考查无理数的估算，解题关键是将“与4+1转化洞与洞进行比较.

12.（2019秋•鹿邑县期末）已知A,B,C是数轴上的三个点，且C在B的左侧.点A,B

示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是-1.

~~0~t~~2~~3~4^

【考点】实数与数轴.

【专题】数形结合.

【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB,再计算出8C,然后计算点C到原点的距

离即可得到C点表示的数.

【解答】解：•••点A,8表示的数分别是1,3,

：.AB=3-1=2,

'：BC^2AB=4,

：.OC=BC-OB=4-3=1,

在B的左侧，

.••点C表示的数是-1.

故答案为：-1.

CAB

~0~~2~3~4^

【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都

表示有理数.（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.）

13.（2019秋•东台市期末）在三，3.14,0,0.1010010001…，2中，无理数有2个.

23

【考点】无理数.

【专题】常规题型.

【分析】根据无理数的定义求解即可.

【解答】解：在三，3.14,0,0.1010010001-,2中，2L,0.1010010001…是无

232

理数，无理数有2个.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不

循环小数为无理数.如71,娓,O.8O8OO8OOO8-（每两个8之间依次多1个0）等形式.

14.（2020秋•朝阳区校级期中）若、用的小数部分为J"旨-3.

【考点】估算无理数的大小.

【分析】先估算出J石的范围，再得出答案即可.

【解答】解：..FCJ石＜4,

...任的整数部分为3,小数部分为任-3,

故答案为：V13-3.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出行的范围是解此题的关键.

15.（2020秋•淮阴区期中）如图，正方形0A8C的边OC落在数轴上，点C表示的数为1,

点尸表示的数为-1,以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点。，则点。表示

的数为.

-1O1I2

【考点】实数与数轴；勾股定理.

【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D

对应的数.

【解答】解：由勾股定理知：PB=^pc2+^c2=,J22+12=^,

."£>=“，

.♦.点。表示的数为、而-1.

故答案是：Vs-1-

【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理和实数与数轴，得出PD的长是解题的关

键.

16.（2020春•西城区校级期中）已知40+1的算术平方根是3,则a-10的立方根是-2.

【考点】算术平方根；立方根.

【分析】根据算术平方根定义得出4a+l=9,求出。=2,求出a-10的值，再根据立方

根定义求出即可.

【解答】解：•••44+1的算术平方根是3,

4。+1=9,・,•。=2,

：.a-10的立方根是-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解此题的关键是能关键题意

求出。的值，难度适中.

17.（2018秋•平谷区期末）已知，a,人是正整数.

（I）若A是整数，则满足条件的a的值为」

（2）若F+旧是整数,则满足条件的有序数对（a,b）为（3,7）或（12,28）

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数.

【分析】（1）依据、回是整数，可得旦=1,即可得出满足条件的a的值为3；

Vaa

（2）依据若丑+J7是整数，分两种情况即可得出满足条件的有序数对（a,b）为（3,

7）或（12,28）.

【解答】解：（1）若，叵是整数，则旦=1,

Vaa

,满足条件的。的值为3,

故答案为：3；

（2）若在+点是整数，则

①当4=3,匕=7时，+^^.=A/1+,S/1=5

②设4=3X”2,则旧=JL,

.7Jn-1)2

r—7n2

••u―,

(n-1)2

•.»是正整数,

/.(n-1)2=1,即〃=2,

二当。=12,6=28时,

满足条件的有序数对（a,b）为：（3,7）或（12,28）,

故答案为：（3,7）或（12,28）.

【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，分

情况讨论是解决第（2）问的难点.

18.（2015秋•萧山区期末）一个长为3,宽为2的长方形从表示-1的点开始绕着逆时针翻

转90°到达E点，则E点所表示的数是

CD

BC

--101

【考点】实数与数轴.

【分析】根据两点间的距离公式可求E点所表示的数.

【解答】解：-1-2=-3.

故E点所表示的数是-3.

故答案为：-3.

【点评】此题考查了实数与数轴，关键是熟练掌握两点间的距离公式.

19.（2009•连云港模拟）元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼

成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为4、b,C、d,且这四个小正方形能

拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为_"a+b+c+d_-

【考点】算术平方根.

【专题】应用题；压轴题.

【分析】利用正方形的面积公式计算即可求解.

【解答】解：设大正方形的边长为X,

则它的面积为，，

在本题中大正方形的面积为四个小正方形面积的和有x2=a+h+c+d,

•"-x—Va+b+c+d

故答案为：Va+b+c+d-

【点评】本题主要考查了利用算术平方根的定义解决实际问题，主要利用了正方形的面

积公式和算术平方根的概念求解.

2

20.已知“、人是有理数，x是无理数，如果,3注:6客2°18x±2X2018是有理数,则包等

4bx2-8bx+2017x-2X2017b

于_8072

6051-，

【考点】无理数.

【专题】创新题型.

【分析】先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m,得到关于

山的方程，由加、。、6是有理数，x是无理数，确定〃?的系数和结果均为0,求出加和包

b

的值.

9〜

r碓容】解.3ax-6ax-2018x+2X2018

04bx2-8bx+2017x-2X2017

=3ax(x-2)-2018(x-2)

4bx(x-2)+2017(x-2)

=(x-2)(3ax-2018)

(x-2)(4bx+2017)

•.'x是无理数，...X-2WO,

所以原式=3ax-2018

4bx+2017

...3ax-2018是有理数,

4bx+2017

设囱

4bx+2017

贝ij4/?z?ir+201Im=3ax-2018

整理，得34-4,“3=2°18+2°171n

x

因为〃八a、人是有理数，x是无理数，

.f2018+2017m=0

I3a-41nb=0

旦=细=_4X2014=_8072

b~33X20176051

【点评】本题考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识，题目难度较大，掌握

有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解决本题的关键.

三.解答题（共10小题）

21.（2020秋•北暗区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示.其中，

我们将数轴上表示正整数的点称为“正点取任意一个“正点”尸，该数轴上到点尸距

离为1的点所对应的数分别记为a,b（a<b\定义：若数机=扇-“3’则称数根为“复

合数”.例如：若“正点”尸所表示的数为3,则a=2,b=4,那么m=43-23=56,所

以56是“复合数”.【提示：/-〃3=（…）（b^ab+a2）.}

（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6

整除；

(2)已知两个“复合数”的差是42,求这两个“复合数”.

【考点】实数与数轴.

【专题】数与式；推理能力.

【分析】(1)直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证

明；

(2)借助(1)的证明，所有的复合数都可以写成67+2,设出两个复合数进行转化.

【解答】解：(1)V133-113^12,

•••12不是复合数，

设“正点”尸所表示的数为x(x为正整数)，

则a=x-1,b=x+\,

：.(x+1)3-(x-1)3

=(x+1-x+1)(/+2x+l+/-1+x2-2x+l)

=2(3/+1)

=6，+2,

.,.6?+2-2=6/一定能被6整除.

(2)设两个复合数为6根2+2和6户+2(m,"都是正整数)，

；两个“复合数”的差是42,

二(6m2+2)-(6n2+2)=42,

.*.w2-”2=7,

〃都是正整数，

.Jm+n=7

Im-n=1

.•.上，

ln=3

：.6m2+2=98,6n2+2=56,

这两个“复合数”为98和56.

【点评】本题是新定义题，主要考查学生的阅读理解能力，解决本题的关键是掌握“复

合数”的定义.

22.(2021春•西城区校级期中)任何实数m可用⑷表示不超过”的最大整数，如［4］=4,

=现对72进行如下操作：

72第一；&J75］=8第二次［逐］=2第二次［、/勿=1,这样对72只需进行3次操作后变为1.

(1)对10进行1次操作后变为3,对200进行3次操作后变为1；

(2)对实数m恰进行2次操作后变成1,则m的取值范围是4W〃?<16.

(3)恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.

【考点】估算无理数的大小.

【专题】创新题型；能力层次.

【分析】(1)根据间的含义和无理数的估计可求.

(2)根据⑷的含义倒推。的范围.

(3)根据同的含义求出这个数的范围，再求最大值.

【解答】解：(1)[7101=3.

200进行第一次操作：丽]=14,

第二次操作后：[小访=3.

第三次操作后：[b]=1.

故答案为：3,1.

(2)V[x]=l

".1WXV2.

1W

116.

•••操作两次.

16.

故答案为：4W,”V16.

(3)设这个数是p,

V[x]=l

1«2.

/.1W\/"iiv2.

；.lWp<256.

；3次操作，故0216.

16<p<256.

,:p是整数.

；.p的最大值为255.

故答案为：255.

【点评】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键.

23.（2021春•黄埔区期中）已知一个正数的两个不同的平方根是24+3和1-3”，求机的

值.

【考点】平方根.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0,求出。的值，然后求出

平方根，最后根据平方根的平方求出m的值.

【解答】解：根据题意得：（2“+3）+（1-3a）—0,

2a+3+1-3a=0,

-a=-4,

a=4,

：.2a+3

=2X4+3

=11,

.,.W=112=121.

【点评】这道题考查平方根的定义，一个正数的两个平方根之间的关系，一个正数和它

的平方根的关系，解题的关键是这两个平方根互为相反数，它们的和为0.

24.（2021春•长白县期中）判断下面各式是否成立

（2）用含有〃的代数式将规律表示出来，说明"的取值范围，并给出证明.

【考点】算术平方根.

【专题】规律型.

【分析】（1）利用己知得出展=限2，即可得出命题正确，同理即可得出其他正

确性;

(2)利用(1)的方法，可以得出规律，并加以证明即可.

:・跨=5息

【点评】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关

键.

25.(2020秋•未央区期中)若含根号的式子“+以6可以写成式子山+〃4的平方(其中a,

6,如〃都是整数，x是正整数)，即a+以&=2,则称〃+方4为子母根式，

，"+〃«为a+久6的子母平方根，例如，因为3+2a=(1+72)2,所以是3+20

的子母平方根.

(1)已知2+«是“+/?«的子母平方根，则a=7,b=4.

(2)若机+"正是a+从几的子母平方根，用含“，”的式子分别表示a,h.

(3)已知21-12我是子母根式，直接写出它的一个子母平方根.

【考点】平方根.

【专题】新定义；实数；符号意识；运算能力.

【分析】(1)由(2+73)2=a+bM，即7+4遥=a+妁巧，从而得出答案；

(2)由Gn+>r\E)2=a+bJ£即(>n2+6n2)+2mny[^)=a+by[^),从而得出答案；

(3)由21-12爪=3?-2X2如X3+(273)2=<3-2虫)2,根据子母平方根的定义

可得答案.

【解答】解：(1)根据题意知(2+V3)2=a+b«,

，4+4J§+3=a+人即7+4j§

:・a=7,〃=4,

故答案为：7,4；

(2)根据题意知(加+小而)2=a+b氓,

贝!]相2+2〃皿5y^+6“2=a+65y即(W2+6“2)+2mn-\[^)=a+by[(),

".a=m2+6n2,b—1mn-,

(3)V21-12A/3=32-2X2«X3+(2«)2=(3-273)21

A3-是21-12y的子母根式.

【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握子母平方根的定义和完全平方公式.

26.(2020秋•越秀区期末)如图，数轴上点A,C对应的实数分别为-4和4,线段AC=

8cm,AB=2cm,CD=4cm,若线段AB以3aM秒的速度向右匀速运动，同时线段C£>以

秒的速度向左匀速运动.

11I11,

AB0CD

(1)问运动多少秒时8c=2cm?

(2)线段48与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？

(3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD-AP=3PC.若

存在，求线段尸。的长；若不存在，请说明理由.

【考点】实数与数轴；一元一次方程的应用.

【专题】数与式；几何直观；推理能力.

【分析】(1)设运动，秒时，BC=2cm,然后分点B在点C的左边和右边两种情况讨论,

根据题意列出方程求解即可；

(2)根据时间=路程和+速度和，进行计算即可求解；

(3)随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点

C重合时的情况.

【解答】解：(1)设运动f秒时，BC=2cm,

①当点B在点C的左边时，由题意得：3r+2+f=6,解得：f=l；

②当点8在点C的右边时，由题意得：3/-2+t=6,解得：f=2.

的值是1或2.

(2)(2+4)+(3+1)=1.5(秒).

答：线段AB与线段从开始相遇到完全离开，共经过1.5秒的时间.

(3)存在关系式8。-AP=3PC.

设运动时间为f秒，

①当f=3时，点8和点C重合，点P在线段上，0VPCW2,且80=8=4,

PA+3PC=AB+2PC^2+2PC,

当尸C=1时，BD=AP+3PC,即BD-AP=3PC；

②当3<f<」与时，点C在点A和点8之间，0VPC<2；

4

当点尸在线段BC上时，

BD=CD-8c=4-BC,

AP+3>PC=AC+4PC^AB-BC+4PC=2-BC+4PC

当^℃=工时，WBD=AP+3PC,即BD-AP=3PC.

2

③当时，点A与点C重合，

4

0<PC<2,BD=CD-AB=2AP+3PC=4PC,

当PC=工时，WBD=AP+3PC,BRBD-AP=3PC,

2

在C点左侧或右侧

的长有2种可能,即5或35

【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难

度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解.

27.(2020秋•吉安期中)阅读下面的文字，解答问题：大家知道&是无理数，而无理数是

无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1<&<2于是可用血

-1来表示后的小数部分.请解答下列问题：

(1)、成的整数部分是5,小数部分是、成-5；

(2)如果5+加的小数部分为a,5-遍的整数部分为6,求a+倔的值.

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数；数感.

【分析】(1)估算后的近似值，即可得出扬的整数部分和小数部分；

(2)求出4、h的值，再代入计算即可.

【解答】解：(1)vV25<V29<V36，

•'-5<V29<6>

J前的整数部分为5,小数部分为技-5,

故答案为：5,A/29-5；

(2)V2<V5<3.

二7<5+&<8,

；.5+捉的小数部分。=5+娓-7=泥-2,

V2<V5<3>

/--3<-_2,

.\2<5-娓<3,

；.5-泥的整数部分为b=2,

••.〃+倔=遥-2+2旄=3旄-2.

【点评】本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义是正确估算的前提.

28.(2020秋•广安期末)点A、B在数轴上分别表示有理数〃、b,A、B两点之间的距离表

示为AB,在数轴上4、8两点之间的距离AB=|a-引，

例如：数轴上表示-1与-2的两点间的距离=|-1-(-2)|=-1+2=1；

而卜+2|=卜-(-2)|,所以|x+2|表示x与-2两点