2022年人教版八年级上册数学第十三章轴对称同步单元教案及教学反思

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.1轴对称

◊教学目标^

【知识与技能】

1.通过丰富的生活实例能够识别简单的轴对称图形、认识轴对称及其对称轴,并能作出轴对

称图形和成轴对称的图形的对称轴；

2.说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系.

【过程与方法】

在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进

一步发展空间观念.

【情感'态度与价值观】

欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值.

◊教学重难点◊

【教学重点】

轴对称图形以及轴对称的概念.

【教学难点】

能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从

对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性，对称

给我们带来多少美的感受!观察下列图形有何特点？

二、合作探究

探究点1轴对称图形

J典例1下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（）

ABCD

［解析］根据轴对称图形的概念解答.A,B,C不是轴对称图形;D是轴对称图形.

［答案］D

探究点2轴对称

s一典例2将一张长方形的纸片对折,然后用笔尖在上面扎出字母“B”,再把它展开铺平后,

你可以看到的图形是（

［解析］根据生活中的轴对称现象，结合题意，沿折线折叠后两部分能够重合的即可，主要考查学

生的想象力，也可折叠一下做出选择.

［答案］C

探究点3轴对称的性质

一典例3如图,AABC和△43。关于直线/对称，下列结论中正确的有（）

①△ABC且△AEC;②N3AC=N8a。;③直线/垂直平分C。;④直线和30的交点不一定

在直线/上.

A.4个B.3个C.2个D.1个

［解析］由轴对称的性质可知①②③正确，直线3c和夕。的交点一定在直线/上，故④错误.

［答案］B

归纳总结

轴对称的性质:①成轴对称的两个图形是全等形;②对称轴是对应点连线的垂直平分线;③

对应线段或者平行，或者重合，或者相交.如果相交，那么交点一定在对称轴上，若重合则重合在对

称轴上.

变式训练

如图,正方形A3。的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为（）

A.4cm2B.8cm2

C.12cm2D.16cm2

［答案］B

探究点4镜面对称

---典例4

室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时

C.3:20D.4:20

［解析］根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称,

分析并作答.

［答案］A

三'板书设计

轴对称

伊对称图形

轴对称卜由对称的性质

（镜面对称

◊教学反思◊

本节的内容是轴对称图形以及轴对称,从学生感兴趣的生活中的图形入手，让学生自己发现

问题、提出问题，探讨轴对称图形以及轴对称的性质特点，体验探索成功的快乐;通过动手操作,

小组讨论来解决自己提出的问题;通过有层次的练习，提高学生解决问题的能力，巩固所学知识.

13.1.2线段的垂直平分线的性质

第1课时线段的垂直平分线的性质与判定

◊教学目标0

【知识与技能】

1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用；

2.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

【情感、态度与价值观】

在数学活动中体会获得成功的体验，锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.

◊教学重难点◊

【教学重点】

线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.

【教学难点】

线段的垂直平分线判定定理的证明.

◊教学过程◊

一、情境导入

甲、乙两位同学在玩一个游戏，甲在点A处,乙在点8处,把宝物放在什么地方对两人是公平

的,除线段的中点外还有别的地方吗？

A------------------------«B

二'合作探究

探究点1线段垂直平分线的性质

一典例1如图所示，在△A3C中,AC=5,A3=6,8C=948的垂直平分线交BC于点。，则

△AC。的周长是（）

BDC

N

A.ll

B.14

C.15

D.20

［解析］,：MN是AB的垂直平分线,.•.D4=O8,；.aAC。的周长=AO+CO+AC=8D+CO+

AC=BC+AC=\4.

「答案］B

探究点2过一点作已知直线的垂线

一典例2

已知直线上一点P,过点P作直线的垂线.

［解析］如图，以点P为圆心，适当长为半径,画弧与直线交于两点，分别以这两点为圆心,同样长

度为半径，画弧，交于点C,过点C,P做直线即可.

探究点3垂直平分线的应用

\一典例3如图，兔子的三个洞口A,3,C构成△A3C,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距

离都相等，则猎狗应蹲守在（）

A

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点

D.三角形三条中线的交点

［解析］猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条垂直平分线的交点.

［答案］A

三'板书设计

线段的垂直平分线的性质与判定

（垂直平分线的性质

垂直平分线《垂直平分线的判定

（过一点作已知直线的垂线

◊教学反思◊

本节是线段的垂直平分线的性质的教学，在教学中要善于引导学生从问题出发，根据观察、

实验的结果，先得出猜想性质以及判定，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法,

注意数学思想方法的强化和渗透，从集合的观点理解线段的垂直平分线.

第2课时作线段的垂直平分线

◊教学目标0

【知识与技能】

能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴，明确对称轴是直线.

【过程与方法】

1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力；

2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神.

【情感'态度与价值观】

通过积极参与数学学习活动，在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心.

◊教学重难点◊

【教学重点】

画轴对称图形的对称轴.

【教学难点】

作轴对称图形.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们知道某些图形是轴对称图形，你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗？

二'合作探究

探究点1垂直平分线的尺规作图

一典例1如图，在△A3C中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点

D,瓦则直线。石是（）

A.NA的平分线B.AC边的中线

C.BC边的高线D.A8边的垂直平分线

［解析］分别以点为圆心，大于为8长为半径画弧，两弧分别交于点。，瓦则DA=DB,EA=EB,

所以点。石在线段A3的垂直平分线上.

［答案］D

探究点2画对称轴

一典例2用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（）

。士二e

①②③④

A.①②③④B.②③

C.③④D.①②所有

［解析］①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴.

［答案］A

三'板书设计

作线段的垂直平分线

（画线段的垂直平分线

轴对称图形《画对称点的对称轴

（轴对称图形的对称轴

◊教学反思◊

本节的内容是画轴对称图形的对称轴，在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴

的方式，让学生通过小组合作交流，探究、讨论，归纳出画对称轴的方法，体现学生自主学习和合作

交流的学习方式，空间想象能力得到加强，创新意识得到培养，并且体验到成功的快乐.

13.2画轴对称图形

第1课时画轴对称图形

◊教学目标0

【知识与技能】

能画出简单平面图形作轴对称之后的图形，了解画一般轴对称图形的方法.

【过程与方法】

让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索，加深自己的理解

和认识.

【情感'态度与价值观】

让学生体验到成功的喜悦，树立自信心，体验合作交流的重要性，感受数学美，明白数学来源

于生活又服务于生活的道理.

◊教学重难点◊

【教学重点】

画轴对称图形.

【教学难点】

掌握画一般轴对称图形的方法.

◊教学过程◊

一、情境导入

通过折叠的方式我们可以画出轴对称以及轴对称图形的另一半，根据轴对称的性质不折叠

你能画出另一半吗？

二'合作探究

探究点1已知图形与对称轴画出成轴对称的另一半图形

一典例1如图，一轴对称图形画出了它的一半,请你以点画线为对称轴画出它的另一半.

答案图

［解析］找到关键的顶点，分别向轴引垂线，并延长找到对应点，顺次连接,如右图所示.

归纳总结

作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质.基本作法:①先确定图形的关键

点;②利用轴对称性质作出关键点的对称点;③按原图形中的方式顺次连接对称点.

探究点2作成轴对称的图形

s一典例2下面是四位同学作△A8C关于直线的轴对称图形，其中正确的是（）

［解析］由轴对称图形的定义可知，成轴对称图形对应点的连线与对称轴直线垂直，且点到直

线等距，可排除A,C,D.

「答案］B

三'板书设计

画轴对称图形

画轴对称图形

画轴对称图形

画轴对称图形的步骤

◊教学反思◊

本节的内容是画轴对称图形，重点要求学生理解轴对称的性质，根据性质得到画法.学生对

保留作图痕迹理解不到位，部分学生是把对称图形做完后再来补充垂线，这样的作图不科学，要

在今后作图讲解时多强调.

第2课时坐标平面中的轴对称

◊教学目标0

【知识与技能】

1.探索平面直角坐标系中的点关于X轴、y轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出

平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标；

2.能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形.

【过程与方法】

1.经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义；

2.结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律.

【情感'态度与价值观】

用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形,发展形象思维，并尝试用轴对称变换去从事推

理活动.

◊教学重难点◊

【教学重点】

用坐标表示轴对称.

【教学难点】

利用转化的思想,确定能代表轴对称图形的关键点.

◊教学过程◊

一、情境导入

(1)观察上图中两个圆脸有什么关系？

⑵己知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点，右端点的坐标为(4,1),左

端点的坐标为(2,1).你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？

二'合作探究

探究点1关于坐标轴对称的点的坐标特点

\一典例1点43,—2)关于X轴对称的点的坐标是

［解析］平面直角坐标系中,两点关于横轴对称时，横坐标相同，纵坐标互为相反数.

［答案］(3,2)

归纳总结

需要记忆几个关于特殊直线对称的规律:

关于原点对称(~a,­b)

对关于X轴对称的坐标(a,lb)

称关于y轴对称的坐标(—a,b)

性关于x=a对称(2a—x,y)

关于y=b对称(x,2b—y)

变式训练已知点P(a,3)和点。(4力)关于>-轴对称，则3+方严22的值为()

A.lB.-1

C.72022D-72022

［答案］A

探究点2坐标系中的轴对称

\一典例2如图，在平面直角坐标系X。)，中工(1,2)方(3』),。(一2,-1).

(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△48G;

⑵写出点AiBCi的坐标(直接写答案).4,8i,Ci;

(3)求△ABC的面积.

［解析］(1)图略.

(2)4(-1,2),B(-3,1),C(2,-1).

(3)Z\ABC的面积=3X5—gx3X3—gx2Xl-gx5X2=(

【技巧点拨】坐标系中的轴对称图形，关键是确定特殊点的坐标，求三角形的面积,应注意方法,

在计算不规则图形的面积时，可以利用分割与补图的方法，在网格中可以把三角形补成长方形.

探究点3折纸问题

\—典例3把一张长方形纸片按如图1、图2的方式从右向左连续对折两次后得到图3,

再在图3中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）

4

疝，2图3

M⑷>3|>―⑷划|vD|>⑷

ABCL）

［解析］由图3折叠的对称性可知，在图2中的图形应该是三角形小孔一个向左,一个向右是对

称分布;由图2折叠的对称性可知，在图1中的图形应该是图2中的图形对称分布，故C项正确.

［答案］C

三'板书设计

坐标平面中的轴对称

坐标系中

的佑轴柩对关叫于坐坐标标系轴中对的轴称对的称点图的形坐标特点

◊教学反思◊

本节是平面直角坐标系中的轴对称，关键是通过探索、归纳关于坐标轴对称的点的坐标的

特点,并记忆应用解决问题，内容比较简单,学生在记忆时容易混淆致错，应引起足够的重视.关于

坐标系中的轴对称图形主要是寻找关键点的对称点，在教学中应通过练习让学生熟练掌握.

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

◊教学目标0

【知识与技能】

掌握等腰三角形的性质，会运用性质进行证明和计算.

【过程与方法】

经历观察实验、猜想证明，发展合情推理能力和演绎推理能力.

【情感'态度与价值观】

通过同学间的合作与交流，体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的

用途.

◊教学重难点◊

【教学重点】

等腰三角形性质的发现、证明及应用.

【教学难点】

等腰三角形的性质三线合一的发现、证明及应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作，如图，把一张长

方形的纸按图中虚线对折，然后沿着虚线剪开，再把它展开，得到一个等腰三角形,通过折叠你发

现了等腰三角形的那些性质？

二'合作探究

探究点1等腰三角形的性质

一典例1等腰三角形的一个内角是50。,则另外两个角的度数分别是（）

A.65°,65°B.50°,80°

C.65°,65°或50°,80°D.50°,50°

［解析］由于50。角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论.当50。是底角时,顶角为180°-

50°X2=80°,当50。是顶角时,底角为(180。-50°)4-2=65°.

［答案］C

归纳总结

等腰三角形两底角相等，内角和为180。,只要知道一个角，就可以求其他的两个角的度数，顶

角的范围是0°〈顶角＜180。,底角的范围0。〈底角＜90。,当给的角是锐角时,应分两种情况讨论.

这种问题不要漏解.

探究点2等腰三角形的两边相等

典例2等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为

()

A.3cmB.6cm

C.3cm或6cmD.8cm

［解析］当3cm是底时，则腰长是(15—3)+2=6(cm),此时能够组成三角形;当3cm是腰时，则底

是15—3X2=9(cm),此时3+3V9,不能组成三角形，应舍去.

［答案］B

探究点3等腰三角形性质的应用

一^典例3如图，已知△ABC中,

［解析］'：AB=AC,：.ZB=ZC,

'：BD=CF,BE=CD,

.,.△BDE^ACFD(SAS),

，ZBDE=ZCFD,ZEDF=180°-(ZBDE+ZCDF)=180°-(ZCFD+ZCDF)=180°-(l80°

-ZQ=ZC.

*/ZA+ZB+ZC=180°,

NA+2NEO/=180°,

：.ZEDF=9Q°--ZA.

三'板书设计

等腰三角形的性质

等腰三角

'等腰三角形的两底角相等

形的性质《等腰三角形三线合一什比生八质

（证明

、应用

◊教学反思◊

本节课的是等腰三角形的性质，设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等

腰三角形的性质，并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对“等边对等角”以及“三线合一”的性质

理解不透，应用的不是很熟练，仍然忽略两种情况的存在，还需要多尝试练习.

第2课时等腰三角形的判定

◊教学目标0

【知识与技能】

会证明等腰三角形的判定定理，解决简单问题.

【过程与方法】

发展学生的归纳猜想能力，提高学生证明文字命题的能力，培养举一反三、灵活变换的能力.

【情感、态度与价值观】

体会数学源于实际，运用于实际的应用价值，领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对

称美.

◊教学重难点◊

【教学重点】

等腰三角形的判定定理及应用.

【教学难点】

等腰三角形的判定与性质的区别.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们学习了等腰三角形的性质，同样的需要继续学习它的判定,它是否与平行线的性质和判

定一样，结论和题设互换呢?猜想我们可以怎样判定一个三角形是等腰三角形？

二'合作探究

探究点1等角对等边

一典例1下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是()

A.a=3力=3,c=4

B.a：b：c=2：3：4

C.ZB=50°,ZC=80°

D.ZA:NB：ZC=1：1：2

［解析］由等腰三角形的性质易知A,D是等腰三角形;C项中由内角和为180。可得/4=180。一

(N3+N0=5()o=N3,所以。也是等腰三角形;B项中三边各不相等，所以不是等腰三角形.

［答案］B

探究点2网格中的等腰三角形

＞一典例2如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知是两格点，若△ABC为

等腰三角形，且S“BC=L5,则满足条件的格点。有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

①A3为等腰aABC底边时，符合△A8C为等腰三角形的C点有4个;②A3为等腰aABC其中的

一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的。点有4个.因为&ABC=L5,所以满足条件的格点C只有

两个，如图中实心的点.

［答案］B

探究点3等腰三角形的判定有关证明

典例3如图,AD平分垂足为O,DE〃AC求证:是等腰三角形.

［解析］-：DE//AC,

.\Z1=Z3.

AD平分NBAC,，N1=Z2,Z2=Z3.

'：ADLBD,

Z2+ZB=90°,Z3+ZBDE=90°,

，NB=ZBDE,

:ZDE是等腰三角形.

三'板书设计

等腰三角形的判定

'等角对等边

等腰三角形的判定；文字命题证明

、等腰三角形作图

◊教学反思◊

本节是等腰三角形的判定，在探索等腰三角形的判定定理时，首先要求学生写出已知和求证,

独立思考后再在小组内讨论，最后与课本规范的证明过程对比.这种学生自主学习的形式代替老

师的讲解,能使学生的印象更加深刻.

13.3.2等边三角形

第1课时等边三角形的性质与判定

◊教学目标0

【知识与技能】

1.探索等边三角形的性质与判定；

2.能运用等边三角形的性质与判定进行计算和证明.

【过程与方法】

经历用数学思想和方法研究数学问题.

【情感'态度与价值观】

积极参与数学学习活动，增强对数学的好奇心和求知欲.

◊教学重难点◊

【教学重点】

等边三角形的概念、性质与判定.

【教学难点】

等边三角形判定定理的探究与证明，并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关

问题.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们知道底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形，那么等边三角形除了具有等腰三角形

的性质外，还有哪些特殊的性质呢？

二'合作探究

探究点1等边三角形的性质

\一典例1如图，等边三角形A3C中,与BE相交于点P,求NAPE的度数.

［解析］：AABC是等边三角形,

，ZABD=ZC,AB=BC.

(AB=BC,

在△A3。与△BCE中JZABD=AC,

\BD=CE,

，△ABO丝ABCE(SAS),

，NBAD=ZCBE.

,/ZABE+ZEBC=60°,

：.ZABE+ZBAD=6Q°,

：.ZAPE=ZABE+ZBAD=60°,

ZAPE=60°.

探究点2等边三角形的判定

一典例2下列关于等边三角形的描述错误的是()

A.三边相等的三角形是等边三角形

B.三个角相等的三角形是等边三角形

C.有一个角是60。的三角形是等边三角形

D.有两个角是60。的三角形是等边三角形

［解析］等边三角形中，各边都相等，故A正确;三个角相等的三角形是等边三角形，故B正确;有

一个角为60。的等腰三角形才是等边三角形，故C错误;有两个角是60。的三角形是等边三角形,

故D正确.

［答案］C

探究点3等边三角形的相关计算与证明

典例3如图，在△ABC中,48=8。,乙钻。=120。40=8。,后为。。中点.

(1)求/。3。的度数.

(2)ABDE是等边三角形吗?为什么？

［解析］(l)：AB=BC,NABC=120。,

二ZA=ZC=30°.

'：AD=BD,：.ZA=ZABD=30°,

：.ZCBD=ZABC-ZABD=90°.

是等边三角形.

NC8D=90°,/C=30。,，ZBDC=60°.

又E为0c中点,...BE=ED,

...△3OE是等边三角形.

三'板书设计

等边三角形的性质与判定

（等边三角形的性质

等边三角形《等边三角形的判定

（等边三角形应用

◊教学反思◊

本节课主要引导学生明确等边三角形是特殊的等腰三角形,满足等腰三角形的所有性质，让

学生在这个探究过程中，自主探索、合作交流，以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考，促使

学生逐渐形成方法，形成技能.

第2课时含30。角的直角三角形的性质

◊教学目标0

【知识与技能】

掌握有一个角为30。的直角三角形的性质并简单应用.

【过程与方法】

经历“探索一发现一猜想一证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和

相互补充的辩证关系.

【情感'态度与价值观】

体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.

◊教学重难点◊

【教学重点】

含30。角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

【教学难点】

含30。角的直角三角形性质定理的探索与证明.

◊教学过程◊

一、情境导入

用两个全等的含30。角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形

吗?说说你的理由.

由此你能想到，在直角三角形中,30。角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你

的结论吗？

二'合作探究

探究点1直角三角形30。角的性质

典例1在△A8C中,NACB为直角,=于点。，若则A3的长度

是（）

BDA

A.4B.3C.2D.1

［解析］VZACB为直角,/4=30。,...N3=90。-/4=60。.；。。，48于点D,：.ZDCB=90°

-ZB=30°,：.AB=2BC,BC=2BD,：.AB=4BD=4.

［答案］A

变式训练

如图,△ABC中,/。=90。,/8=30。/。=3,点P是边上的动点，则AP的长不可能是（）

探究点2含30。角直角三角形的应用

---典例2如图，已知乙4。8=60。,点尸在边QA上，点M,N在边QB上,PM=PN,若MN=

2,0尸=10,则OM=（）

［解析］作PHLMN交MN于点、H.

PM=PN,：.MH=NH=^MN=1.

在Rt^POH中，

ZPOH=60°,：.ZOPH=30°,

：.OH二OP二义10=5,

22

，OM=OH~MH=5~\=4.

［答案］B

探究点3性质的逆用

一典例3等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的顶角为（）

A.30°或150°B.75°或15°

C.750D.3O0

［解析］本题分两种情况讨论：

①如图1,当8。在三角形内部时,•.•8。=，8,乙4。8=90。,，乙4=30。;

②如图2,8。在三角形外部时,：BD^AB,ZADB=90°,：.ZDAB=30°,ZBAC=180°一NDAB

=150°.

［答案］A

三'板书设计

含30。角的直角三角形的性质

性质

含30。角的直角三角形符号语言

应用

◊教学反思◊

本节的主要内容是直角三角形