2021届人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.下列选项中，说法正确的是（）

A.若非零向量满足忖+4=同一|耳，则£与石共线

711

B.命题“在AAHC中，若A>=,贝！JsinA>—”的逆否命题为真命题

62

2

C.命题“三七eR,x0-x0<（）"的否定为"HxeR,x2-x>0”

D.设｛《,｝是公比为4的等比数列，贝m4>1”是“｛q｝为递增数列”的充要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量共线，逆否命题，命题的否定，充要条件的定义和性质，依次判断每个选项得

到答案.

【详解】

A.若非零向量痴满足卜++问-阿，则£与囚方向相反，则Z与坂共线，A正确；

13.命题“在AAHC中，若A>2，则sinA>，"，取4=文得到sinA=」，故原

6262

命题为假，故逆否命题为假命题，8错误；

。命题“m/eR,%2-/《（）”的否定为：“VXGR,X2—X>0"，C错误；

数列单调递增，知。错误;

故选：A-

【点睛】

本题考查了向量共线，逆否命题，命题的否定，充耍条件，意在考查学生的综合应用能

力.

2.设AABC的三个内角A,B.C,向量机=(>/3sinA,sinB),n=(cosB,V3COSA),

若%〃=l+cos(A+3),则C=()

71,71c2乃c5乃

A.-B.—C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

解：因为向量玩=(GsinA,sin5),h=(cosB,A/3COSA),若

m-n=l+cos(A+B)=5/3sinAcosB+5/3sinBcosA

1+cos(A+B)=5/3sin(A+B)1-cosC=VJsinC

>

/.V3sinC+cosC=12sin(C+—)=1

6

解得为选C

3.设。，〃•均为单位向量，且它们的夹角为T，当卜一妨|取最小值时，实数人的值

为().

1

A.一一B.-1

2

1

C.-D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】

将忖-码平方再分析最值即可.

【详解】

忸一可2=汗2—2妨-5+（防）2=攵2+左+1.故当氏=-g时，忖一网取最小值.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了平行向量的模长运用，常用平方再分析的方法，属于基础题型.

一ub

4.4.4.设。b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使普+台=0成立的是（）

同w

—*—»I—•—•

A.a=2bB.aIlbC.a=——bD.aLb

3

【答案】C

5b-*—

【解析】试题分析：由于三+占=0,所以方向与G相同的单位向量和方向与b相同

的单位向量是相反向量，故选项C正确.

考点：1.单位向量；2.共线向量.

5.在平行四边形ABC。中，E为8c的中点，F为AE的中点，则正=（

3--1—>3—•1一1—.3—>1—3—•

A.-AB+-ADB.-AB——ADC.-AB+-ADD.-AB--AD

42422424

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已

知和平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】

FC=FE+EC=-AE+-BC=-（AB+-BC）+-BC=-AB+-BC^-AB+-AD

222222424

故选：C

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属

于基础题.

6.已知向量丽=2+35，BC=5a+3b>CD=-3a+3b>贝U（）

A.4、B、C三点共线B.4、B、。三点共线

C.A、C、。三点共线D.B、C、。三点共线

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出8心+。方=24月，得丽=2而；根据平面向量的共线定理即可判断.

【详解】

■.■BC+o5=2a+6b=2（a+3b）=2AB,

即8万=2A分，

...A、B、。三点共线.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的共线定理，判断点共线需先判断向量共线，属于基础题.

7.已知向量同=26,忖=4,且1石=一12,则方与5的夹角为（）

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.

【详解】

设£与加的夹角为8,由同=2@q=4,=侬6=芾|=［言］=一岑,

57r

所以

6

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积公式.

8.AABC三边长分别是3,4,5,则通+配+诃=().

A.12B.2C.0D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

AB+BC+CA=AC+CA=O^故选D.

点睛：本题考查向量的加法法则中的三角形法则.三角形法则的特点是首尾相连，所以

AB+BC+CA=O-

9.若向量H=2sinl5°，W=4sin75°,Z与右的夹角为30°,则Z石等于()

J31

(A)V3(B)—(C)2后(D)-

22

【答案】A

【解析】

试题分析：ab=|a||^|cos30=2sinl5°x2sin75°x1=

考点：向量的数量积运算

10.若M、N分别是AABC边AB、AC的中点，贝!I().

A.MNB.MN=-^BCC.MN^2BCD.MN=-2BC

【答案】A

【解析】

N分别是AABC边A3、AC的中点

:.A^=AN-AM=-AC--AB=-(AC-AB}=-BC

222、>2

故选A

二、填空题

11.已知向量a=（l,，〃），5=（3,6）.若向量£出的夹角为三，则实数团的值为.

【答案】-立

3

【解析】

【分析】

求出两向量的模，根据向量数量积的公式列方程解出m.

【详解】

iaI=Jm?+1‘b=J9+3=2-y/3'a,b=3+>/3m，

;向量A,6的夹角为§，

**•3+y/3m=Jm?+1也道,—,

解得m=_立.

3

故答案为-立

3

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算，熟记数量积公式，熟练计算是关键，属于基础题.

___..,♦，.，■♦']I

12.已知。为AABC内一点，满足。4+。8+0。=0,48・4。=2,KZBAC=-,

3

则AOBC的面积为.

【答案】—

【解析】

试题分析：因为±4+砺+历=0,所以。为三角形A8C的重心，所以A08C的面

积是总面积的三分之一，根据已知条件AB-AC^bccos-^2,bc=4,

3

CSin

SgBC=1^A=,故S&OAB=।SMBC=-y-

考点：向量运算.

13.已知向量£=（一2,4）,力=（〃?/）（其中加为实数），若仅叫_LB,则m=.

【答案】①=1或根=一3.

【解析】

【分析】

由平面向量坐标运算法则求得a的坐标，再利用向量垂直的条件为数量积等于零，

建立等式求得结果.

【详解】

由（。一初•3=（—2—m,3）•（机,1）=—2m—m2+3=0，

解得根=1或m=一3,

故答案为：〃2=1或加=—3.

【点睛】

本小题考查平面向量的运算，向量垂直；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.

14.设向量石，G均为单位向量，且21=6-辰，则向量a，B的夹角等于

【答案】

【解析】

【分析】

首先将21=5-辰变形得2互-5=-樨，结合三个向量都是单位向量，利用向量

—1

数量积的运算性质，两边平方，得到4+1-2无5=3,求得a-b=q,之后应用向量

2

夹角余弦公式求得结果.

【详解】

根据向量a，b.均为单位向量，且2。=6-6e,

所以2&-6=一任，两边平方得4+1-2G-5=3，

--1

所以。包=一,

2

所以c°s&5〉=茴

又因为向量夹角的取值范围为［0,兀I，所以向量不，5的夹角为^■.

【点睛】

该题考查的是有关向量夹角的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量数量积的

运算性质，向量夹角余弦公式，正确应用公式是解题的关键.

15.已知2=(1,2),6=(-3,2),当k=时，法+石与”35平行.

【答案】—彳

3

【解析】

妨+5=%(1,2)+(-3,2)=(%-3,2%+2),

4-35=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

Vka+b与2一35平行，.••-4(b3)T0(2k+2)=0,

解得后=_?.

3

三、解答题

16.如图，M,N分别是正六边形ABC。比'的对角线AC,CE上的点，且

AMCN

"~=上二=九.若B,M,N三点共线,试求4的值.

ACCE

【解析】

【分析】

根据正六边形性质利用相似列方程，解得结果.

【详解】

解:,连接BE交AC于0,过N作NP平行AC交

BE于P,设正六边形ABCDEF的边长为1,则

BO=-,OC^—,:.OM=--(1-2)73=73(2--).

2222

PN=LNE=L(I-A^,

22

BP=2.21X(1_2)V3=1+1

〜，BOOM

所以——=——=>乙_/

BPPN-+3A-(1-2)V3

222

解得4=

3

【点睛】

本题考查正六边形性质以及相似三角形应用，考查基本分析求解能力，属基础题.

17.已知。为坐标原点，OA=(2sin*2x,l),OB=(1,-2>/3sinxcosx+1),

f(x)=--OAOB+l.

(1)求y=/(x)的最小正周期;

(2)将/(X)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左

平移[个单位后，所得图象对应的函数为g(x),且a2g],尸€(-¥，-£),

6L63JV63J

34

g(a)=M，g^=--,求cos2(a-y?)-1的值.

98

【答案】(l)乃；(2)-

625

【解析】

【分析】

(1)利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简/(x)

的表达式，进而求出其最小正周期即可；

(2)根据函数＞=Asin(5+s)图象的伸缩变换公式求出函数g(x)的表达式，再利

用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式进行求解即可.

【详解】

(1)因为。A=(2sin?x,l),OB-(1,sinxcosx+1),

1------Q[-1

所以/(x)=-Q0A08+l=-sirrx+J3sinxcosx+]

-1+cos2x+V3sin2x1.(万、

=-------------------+—=sm2x+——，

226J

函数y=f(x)的最小正周期为』=》.

2

(2)由⑴知，/(x)=sin[2x+*J,将f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩

大为原来的两倍得到函数y=sin卜+看)，再将其图象向左平移看个单位后得到函数

(乃)34

g(x)=sin卜+耳/又g(a)=g,g(4)=一丁

即sin。+引方叫尸+§=-丁

万2万5乃71

因为ae—,——，p6

63T,-7

~,冗冗c冗、兀C

所以a+=e—,7r,/7+—e--,0

323I2

斗」,

.•.4I+3j5Mr+23j5

sin(a-/?)=sin10+(

a+?)cos[£+-cos[a+ylsinQ71

=sin

3.3_f_llpL_Z

55(5八5)25

所以cos2(a-/?)-1=-2sir)2(々一夕)

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示、利用函数＞=4411（5+9）图象的伸缩变换公

式求变化后的解析式、两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式；考查运算求解能力和知

识的综合运用能力；熟练掌握两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，并观察出角之间

的关系是求解本题的关键；属于中档题.

18.已知A(T,0),3(0,2),C(—3,l)且福.而=5,AD2=10.

(1)求。点的坐标;

(2)若。的横坐标小于零，试用而，而，表示

【答案】⑴(-2,3)或(2,1)；(2)AC=-AB+AD-

【解析】

【分析】

⑴设。(x,y),则通=。,2),而=(x+l,y),利用通.而=5与而2=]0列方

程求得x，N的值，从而可得结果；(2)求得通=(1,2),而=(-1,3),而=(-2,1),

设/=mAB+nAD，利用向量相等列方程组求出犯〃的值即可得结果.

【详解】

(1)设。(x,y),则旗=(1,2),而=(x+l,y),

ABAD=x+l+2y=5①

2o

AD'=(x+l)+/=10②

x=-2fx=2

由①②<或<।

[y=31y=i

。点坐标为(一2,3)或(2,1).

(2)。点坐标为(—2,3)时，

通=(1,2),而=(-1,3),前=(-2,1),

设AC-mAB+nAD,

所以(一2,1)=加(1,2)+“(-1,3),

一2=根一〃m=-l

=><

3=2m4-3/71〃=1

AC=-AB+AI5-

19.如图所示，设MMP是AABC三边上的点，且两=；团，CN=^CA,

AP=^AB,若A*=a，AC=b＞试用。力将丽,而表示出来.

____2-1-11tB1r2r

【答案】MN=——a+-b,NP=—a——h

3333