2021年中考数学一轮复习：【三角形综合】高频考点练习题（含答案解析）

2021年中考数学一轮复习：【三角形综合】高频考点练习题

一.选择题

1.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.5,12,13B.9,40,41

C.0.5,1.2,1.3D.2,3,4

2.如图，点B,。分别在N&1户的边力巨，/斤上，点。在线段4C上，则下列是△力由

的外角的是（）

A./_BCFB.ZCBEC./.DBCD.ABDF

3.如图所示，在△ZBC中，AB=AC,/月=36°,的垂直平分线。后交/C于。,

交4s于E,下列结论中错误的是（）

A.BD平分（ABC

B.△88的周长等于力

C.AD=BD=BC

D.△BCD的面积等于△BED的面积

4.已知直线/"/4,将一块直角三角板43C（其中//是30。，NC是60°）按如图所

示方式放置，若21=84°,则N2等于（）

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A.56B.64C.66°D.76°

5.如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非

常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm,高为5s的圆柱粮仓模型.如图

3c是底面直径，是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过

。两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）

A.lOncmB.20兀cmC.

6.如图，在中，BD、8分别平分N/BC、AACB,过点。作直线平行于BC,

分别交AB、力。于点E、F,当/力大小变化时，线段斯和3E+C9的大小关系是（）

A.EF>BE+CFB.EF<BE+CFC.EF=BE+CFD,不能确定

7.如图，△48。中，力。是边上的中线，CE是中边上的中线，如果△

的面积是20,那么的面积是（）

A.10

8.如图，△43C中，/4=90°,/4的平分线交ZC于点。，且OE垂直平分

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BC,AD=2,则的周长是（）

9.如图为了测量B点到河对面的目标/之间的距离，在B点同侧选择了一点。，测得/

ABC=65°,AACB=35Q，然后在“处立了标杆，使NMSC=65°,N"CB=35°,

得到所以测得〃夕的长就是4,B两点间的距离，这里判定△痴。

四△力8。的理由是（）

A.SASB.AAAC.SSSD.ASA

10.如图，已知是等边三角形，且/。=眩=。"，则△。师是（）

A.等边三角形B.不等边三角形

C.等腰三角形但不是等边三角形D.直角三角形

11.如图，已知氏4_L/GW为△48。的角平分线，作即1BC于。，则下列结论①/£

=DE;②/BEA=ZBED;③4B=BD;④/CED=ZBED,其中一定成立的有（）

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A.1个B.2个C.3个D.4个

12.在△/BC中，AB=AC,设的面积为S,图1中，点不用必N是中线力。

上的点；图2中，三边的高CF、BE交于点。；图3中，。为2。的中点，/.BAC

=£MDN=9G：这三幅图中，阴影部分面积为和的是（）

图3

D.①②③

二.填空题

13.在平面直角坐标系X。中，点/的坐标为（0,3）,点B与点/关于x轴对称，点

。在x轴上，若△/BC为等腰直角三角形，则点。的坐标为.

14.如图，。9垂直平分AB,EG垂直平分/C,若N期。=110°，则/DAE=°.

15.如图所示的网格是正方形网格，则NC3ZHN40C=°.（点A,B,C,D

16.如图，在等边△48。中，尸是的中点，FEj_AC于点E,如果△/B。的边长是

12,则/E=.

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A

B

17.如图，在△力笈。中，AB=AC,点D、后在3。的延长线上，G是/。上一点，且CG

=CD,斤是G。上一点，旦DF=DE,若/力=100°,则NE的大小为度.

18.如图，在Rta/B。中，//。夕=90°,CA=CB,乙ABC=/_CAB、点D为XABC

内一点，ZCZ?B=135°,若力。_L。。于。，△。£归的面积为2,则.

三.解答题

19.如图，在△Z8C中，/力CB=90°,AC=BC,。为力。边的中点，AE_LAB交BD

的延长线于点E,连接CE.

(1)尺规作图：作N/CB的平分线交座于点歹(保留作图痕迹)；

(2)求证：DE=DF・,

(3)探究由与。E之间的数量关系，并证明结论.

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20.已知△/BC是等边三角形，点。是月。的中点，点尸在射线4。上，点。在线段

上，/PDQ=120°.

(1)如图1,若点。与点8重合，求证：DB=DP;

(2)如图2,若点尸在线段B。上，AC=8,求力5尸。的值•

21.在中，ZACB=90°,力。=6,3。=8,动点。从点力出发沿线段以

每秒1个单位长的速度运动至点B,过点。作。反143交射线力。于点E,设点。的

运动时间为f秒(f>0).

(1)线段的长为(用含£的代数式表示)；

(2)设与△4BC重叠部分图形的面积为S,求S与f之间的函数关系式.

22.如图，在△42。中，AB=AC,点〃是线段中点，/氏4。=30°.

(1)如图1,若点。、后分别在边48、AC±,且MEVAC.求证

ME;

(2)如图2,若点尸在边上，点Q在边力C的延长线上，且/R0Q=15O°,求

证MP=MQ;

(3)如图3,若4l/=12cm,点TV,F,G分别在BC,AB,/C上运动，当4NFG

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的周长最小时，指出此时点N的位置，并求出周长的最小值.

图3备用图

23.如图，在Rta/BC中，N/BC=90°,AB=3,BC=4.动点尸从点/出发，沿

力。方向以每秒1个单位长度的速度向终点。运动，将线段ZP绕点P逆时针旋转90°,

得到线段fQ,过点。作QM1AB,交射线/C于点M.设点尸的运动时间为1秒.

(1)线段叱的长为(用含f的代数式表示)；

(2)当点"与点。重合时，求「的值；

(3)设与△45。重叠部分图形的面积为S(S＞。)，求S与f之间的函数关

系式；

(4)取线段R0的中点〃，作直线吕以，当直线与〃将△尸。河分成的两部分图形的面

积比为1：3时，直接写出此时f的值.

24.如图，在△力B。中，AB=AC=20cm,BC=16cm,点。是43边的中点，点P是

边上的动点，以3cm/秒的速度从点B向点。运动；点。是月。边上的动点，同时

从点C向点/运动.设运动时间为-秒.

(1)若点。运动的速度与点尸运动的速度相等，当运动时间f=2秒时，求证：4DBP

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9XPCQ.

(2)若点Q运动的速度与点P运动的速度不相等，是否存在某一时刻，使△08尸与△

尸。。全等？若存在，求出。运动的时间「的值；若不存在，请说明理由.

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参考答案

一.选择题

1.解：452+122=132,能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意.

B、92+402=412,能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意.

。、0.52+1.22=1.32,能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意.

D、22+32*42,不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意.

故选：D.

2.解：△48。的一个外角是/瓦卢，

故选：D.

3.解：在中，AB=AC,N力=36°,

：.AABC=/_C=72°,

•••DE是46的垂直平分线，

.AD=BD,

.../力助=/4=36°,

ZCBD=ZABC-ABD=36°=NABD,

.•.BA是//IBC的角平分线，故选项/正确；

△BCD的周长为CD^rBC=AD^CZXBC=AC+BC=AB+BC,故选项8正确,

在△38中，2CBD=36°,ZC=72°,

：.ABDC=T20=ZC,

BD—BC,

：.AD=BD=BC,故选项。正确；

过点。作。?IBC于"，

•.•B。是N/1B。的角平分线，

：.DE=DF,

•1•S&BDE=^BE・DE=掾BE・DF,

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S&BCD=^BODF,

在中，"ED=9G°,

：.BD>BE,

'''S&BDE<S/^BCD,故选项D错误,

故选：D.

4.解：•.•N3+N4+/Z=180°,N/=30°,24=Z1=84°,

.,.Z3=180°-N/-/4=180°-30°-84°=66°.

又•••直线/"/4,

Z2=Z3=66°.

故选：c.

5.解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=AC,且点。为的中点,

AB—5cm,3C=/xl0=5(cm)

..•装饰带的长度=2/。=2，庆82+8,2=2,52+52=1°&(cm),

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故选：C.

6.解：-EFWBC,

ZEDB=ZDBC,

:AD平分N4SG

・•.ZEBD=ZDBC,

ZEDB=ZEBD,

ED=BE,

同理。F=FG

：.ED^DF=BE+FC,

即EF=BE+CF,

故选：C.

7.解：•.•力。是B。上的中线，△力2。的面积是20,

^AACD=S44BD=~^^AABC=1°，

CE是△月8中40边上的中线，

^AACE=S&CED=不$xACD=5•

故选：C

8.解：•."/=90°,

.••/4BC+/C=90°,

NABC的平分线BD交/。于点D,DELBC,

：.ZABC=2ZDBC,ED=AD=2,

••・。后是EC的垂直平分线，

：.BD=CD,EB=EC,

：.ZDBC=ZC,

：./_ABC=2LC,

.,•2ZC+ZC=90°,

.-.ZC=30°,

：.BD=CD=2ED=A,BE=CE=^ED=2M，

：.BC=2CE=4^

.•.△助。的周长=6。+囱升8=%后4+4=8+4我,

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故选：B.

，ZABC=ZMBC

9.解：在△Z3C和中，BC=BC,

,ZACB=ZMCB

(ASA),

故选：D.

10.解：:△/Be为等边三角形，

：.AB=BC=CA,//=/B=NC=60°,

■：AD=BE=CF,

：.BD=CE=AF,

:.XADF^XBE恒XCFE<SAS),

：.DF=ED=EF,

'△DEF为等边三角形,

故选：A.

11.解：:W为△45。的角平分线，

：./_ABE=Z.DBE,

•：BAVAC,EDVBC,

：./_A=/_BDE=90°,

在△4RE和中，

，ZA=ZBDE

-ZABE=ZDBE,

BE=BE

：./\ABE^l\DBE(AAS),

：.AE=DE,/_BEA=/_BED,AB=BD,故①②③成立,

■：ED]_BC,

；2cED+2C=90°,乙BED+乙DBE=9G°,

当NC=NOBE时，ZCED=ZBED,

故④不一定成立，一定成立的有3个，

故选：C

12.解：如图1,点。是中点，

：.BD=CD,4D垂直平分8G

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..^ABDN=SXDCN，S4BMN=S&MNC，SXCFM，^AEFB=S^EFC，^^AEB=S&AEC，

・•・阴影部分面积为/s；

如图2,-：AB=AC,NA4C=60°,

，△月B。是等边三角形，且AOIBC,BELAC,CFX,AB,

..•力。垂直平分BG诚垂直平分/C,可垂直平分力2,

:'SSXCDO,^£\AEO~*^ACEO>^^AFO=^J^BFO>

・•・阴影部分面积为/s；

如图3,连接40,

图3

■：AB=AC,/84C=90°,。为3。中点，

：.AD=BD,NB=NDAC=45°,AD]_BC,

：.ZADM+ZBDM=90°,KZMDA+ZADN=90°,

ZBDM=ZADN,且4O=B。，"=/ZZ4C=45°,

:AAD蜂l\DBE(ASA)

■■S△月。尸=S^DBE，

・•・阴影部分面积为£s；

故选：D.

二.填空题(共6小题)

13.解：•.•点/的坐标为(0,3),点B与点/关于x轴对称,

・••点B(0,-3),

OA=OB=3,

又•••NZCE=90。,AC=BC9

.・.OC=OA=OB=3,

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.•.点C(3,0)或(-3,0),

故答案为：(3,0)或(-3,0).

14.解：•.•/期。=110°,

"+/。=180°-/期。=180°-110°=70°,

•.•。尸垂直平分/B,EG垂直平分/C,

DA=DB,EA—EC,

：.ZDAB=ZB,/_EAC=AC,

：.ZDAB+ZEAC=ZZC=70",

ZDAE=ZBAC-{/_DAB+AEAO=40°,

故答案为：40.

15.解：如图，连接。。并延长到点E,使。反=。。，连接区4、EB,

则是即的垂直平分线，

BE=BD=752+12=V26»

.,.zCBD=/CBE.

-：AE=732+22=Vl3>^=^32772=713，

：.AE^+A^=2AB2=B彦,

是等腰直角三角形，

.・./4W=45°,

ZCBD+ZABC=ZCBE+ZABC=/ABE=45°.

16.解：在等边△/4。中，尸是的中点，的边长是12,

：.AF=—AB=6,/月=60°,

2

■：EF]_AC,

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：,/.AFE=30°,

.\AE=—AF=3.

2

故答案为：3.

17.解：,:DF=DE,CG=CD,

:‘(E=/_DFE,ZCDG=ZCGD,

*/GDC=/_E+Z.DFE,ZACB=ZCDJ/_CGD,

:・GDC=2(E,/_ACB=2(CDG,

・•・//C3=4NE,

•「△AB。中，AB=AC9ZT4=100°,

・・.N4CB=40°,

・・.NE=40°-4-4=10°.

故答案为：10.

18.解：在4。上截取AE?=Z?G连接。区BE,

ADVDC,

.\AADC=90°,

•・"83=135°,

・・・ZBDE=135°=ZCDB,

♦：BD=BD,

:.XBD8XBDE(SAS),

,,S^BDE^S43£)C=2,

\-^ADC=90°,DC=DE,

；.£DCE=/：DEC=45°,

c

：./_AEC=135°=ZBDCyZ.ACE+ABCD=Z.ACB-/_DCE=90-45°

45。，

•••ZCAE+ZACE=ZDEC=45°,

・•.ZCAE=ZBCD,

ABDC=135°,

：・/_BCA/_CBD=4S。,

:‘乙ACE=/_CBD,

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,AC=BC,

AACE^XBCD(ASA),

*e-AE=CD=DE,S>ACE=S〉RDE=2,

S4/CE=2,S^ABE=S^BDC=2,

••S&ABC=2X5=10,

19

•道AC=10，

2

.\AC=20f

222

\'AD+CD=AC9

•••AD2+(yAD)2=20»

：.AD=4,

故答案为：4.

三.解答题(共6小题)

19.(1)解：如图所示，。尸是N/CB的平分线;

(2)证明：-：AACB=90°,AC=BC,

：./_ACB=/_ABC=^°,

•••。户是N/C归的平分线，

；.NACF=/BCF=45°,

■：AE]_AB,

：.^EAB=90°,

.・./血C=90°-ZCAB=45°,

在△4ED和△。皿中，

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^ZEAD=ZFCD

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

.,•△AED^ACFD(ASA),

:.DE=DF,・

(3)解：BD=3DE,

理由如下：由(2)可知，XAED^XCFD,

：.AE=CF9

在△区4。和△户CB中，

'AE=CF

,ZEAC=ZFCB,

AC=CB

••.△区4&△产CB(S4S),

；.EC=FB,Z_ACE=/_CBFy

VZECF=/_ACE+/_ACF=/_ACE^45°,ZEFC=ZCBF^/_BCF=ZCBJ^-45Q,

・•.ZECF=ZEFC,

：.EF=EC=BF,

BD=3DE.

20.证明：(1)•・・△4BC为等边三角形,

:.BA=BC,AABC=60°,

••,。为/c的中点，

..•。夕平分NA5G

:.NDBC=30°,

•."£03=120°

.•."=180°-120°-30°=30°

r./DBC=ZP,

：.DB=DP-,

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(2)解：如图2,过点D作DHIIBC交AB于H,

图2

是等边三角形，AC=8,点。是的中点，

.-.AD=CD=4,ZABC=ZACB=Z60°,BC=AC=S,

■：DHIIBC,

ZADH=ZAHD=600,

是等边三角形，NHDC=126：

：.AD=HD=AH=4,

；.HD=CD=4=BH,

■：ZQDP=ZHDP=120°,

ZQDH=ZPDC,

在△0。"和△ODC中，

，ZQDH=ZPDC

<HD=CD,

ZAHD=ZC=60°

：.i\QDH^t\PDC(ASA)

:.HQ=PC,

:.A8PC=A5QH=AH=4.

21.解：(1)在Rt△83。中，tan^=—

AC63

由题意得，AD=t,

在RtZXADE1中，tan^=—

ADt3

4

DE=^t,

o

R

根据勾股定理得，AE=%t.

o

5

：.CE=6-±t,

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故答案为：6-晟f;

(2)在Rta45C中，/月。8=90°,AC=6,BC=8,由勾股定理得：

=V62+82=1°-

如图1,

当点后与点,重合时'1^.^=|AC-BC,贝”8=警=啥=4.8.

在直角△力8中，力C=6,8=4.8,由勾股定理得：/。=后复赤=而工一^

=3.6.

①当0VEV3.6时，S=S△3=jAD・DE=#1f=M2；

②如图2,当3.6VEV10时,

S=S^ABC~SABDF=-^X6x8--^-X（10-0x-1-x（10-0=--|-?+-^-Zt-

Yt2（0<t<3.6）

综上所述，S=3ccr^

得1244t与⑶6Vt410）

842

22.证明：（1）•.•/3=/G凶是3C中点，

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二月〃是NA4C的角平分线,

■：MDLAB,ME1AC,

：.ME=MD-,

(2)如图2,过点〃作于E,作于D,则ZMDP=ZMEQ=9G°,

由(1)知：ME=MD,

■：APMQ=150°,/期。=30°,

：./：BAC+^PMQ=180°,

：./.APM+/_Q=1SG°,

■：AAPM+ADPM=lS00,

ZDPM=ZQ,

:,XMDP^XMEQ(A4S),

：.MP=MQ\

(3)如图3,作点N关于月。的对称点州,点N关于"3的对称点抽，连接“小交

AC千F,交AB于G,连接/佻，AN2,AN,

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图3

由对称得：AN=AN[=AN2,ZCAN=ZCANy,^BAN=^BAN2,

•：Z.BAC=30°,

：.^NrAN2=60°,

.•・△/%'是等边三角形，

:.AN[=N[N2,

•:FN=FN、,GN=GN2,

：.△NFG的周长=FN+GN+FG=FNX+FG+GN?,

•.・点TV,F,G分别在5C,AB,/C上运动，

.•.当叫，FG,G国共线时，△7V"G的周长最小，

.•.△7VRG的周长的最小值是7vl小的长，即当“小最小时，△7VRG的周长最小,

•:N\Na=AN,

当月AU3C时，4V最小，此时N与“重合，

-：AM=12,

△”万G的周长的最小值是12.

23.解：(1)QMVAB,//2。=90°,

QM\\BC,

：./_QMP=ZC,

*；NQPM=/ABC=90°,

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XABCsXQPM,

•；AP=PQ=t,

.MPQP