2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业（十）【含答案】

2021年新教材人教A版(2019)高一数学暑假作业

一、单选题

1.下列函数既是奇函数又在(-L1)上是增函数的是()

A.y=cos©+x)B.y=-|C.丫=1篇D.y=2x-2-x

2.已知函数=(2—V3)sinx+(叵+l)cosx，将f(x)图象向右平移g个单位长度得

22s

到函数g(x)的图象，若对任意XCR,都有g(x)W|g《)成立，则。的值为()

A.—1B.1C.—2D.2

3.已知不等式a--bx-l>0的解集是卜|一3<%<一2},则不等式/+bx+a>0

的解集是()

A.{%|x<一,或%>1}B.{x\x<-1或不>，}

C.{x\x<-2或%>3}D.{x\x<-3或%>2]

4.已知函数/(%)=sinx・sin(x+§则/(%)的值不可能是()

A.—：B.C.0D.2

5.在△4BC中，若b=l,a(2sinB—V5cosc)=V5ccos4,点G是△48C的重心，且

4G=手，贝必/BC面积为()

A.V3B.'C.遮或2百D.手或国

6.下列四个结论，正确的个数是()

①在△48C中，若A>8>C,则sin4〉sinB>sinC；

②若力/刃，则存在唯一实数2使得a=心;

③若a111),bile,则allc；

——►ARAC1

且+至、-BC=0,且空-•=则AABC为等

④在△4BC中，若+

JAB\\AC\>\AB\\AC\2

边三角形;

A.1B.2C.3D.4

7.已知复数z=⑶:热T）（i为虚数单位）,则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4

B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共辗复数2=4-21

D.\z\=2V5

8.在正四面体A2CQ中，点E,F分别是A8,的4

中点，则下列结论错误的是（）

A.异面直线AB与C。所成的角为90°

B.直线AB与平面BCO成的角为60。

C.直线EF〃平面ACD

D.平面AFD1平面BCD

C

9.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲乙成绩的平均数分别为nil，m2,标准差

分别为由,电，则（）

1歹（分）----甲

1207^3乙

9。

60H-------T、

30--------------------

0123456x（次）

A.m1<m2,九1<n2B.m1<m2,>n2

C.m1>m2,叫<n2D.m1>m2,nx>n2

二、多选题

10.如下图，BC,QE是半径为1的圆。的两条不同的直告。

径，BF=2FO.则（）

,2

A.BF=^FC

B.丽.而=*

C.-1<cos（FD,FE）<

D.满足同=AFD+A而的实数4与四的和为定值4

11.下列关于复数的命题中（i是虚数单位），说法正确的是（）

A.若关于x的方程(1+t)x2+ax+l-4(=O(aeK)有实根，则a=±-|-

B.复数z满足(1+i)z=i2O2i,则z在复平面对应的点位于第二象限

C.1+2i是关于x的方程产+px+q=0的一个根，其中P，q为实数，则q=5

D.已知复数Z],Z2满足Z1•Z2=IZ/2,则Z[=Z2

12.如图，在矩形ABC。中，AB=2AD=2,E为A8的中点，将△4DE沿。E翻折到

△aDE的位置，①£平面ABC。，M为aC的中点，则在翻折过程中，下列结论正

确的是()

A.恒有〃平面&OE

B.B与M两点间距离恒为定值

C.三棱锥&-DEM的体积的最大值为照

D.存在某个位置，使得平面41DE，平面4CD

13.下列说法正确的序号是()

A.偶函数f(x)的定义域为[2a-1,a],则a=：

B.一次函数/(x)满足/(/(x))=4x+3,则函数/(x)的解析式为/(x)=x+1

C.奇函数fQ)在[2,4]上单调递增，且最大值为8,最小值为-1,则2/(—4)+

/(-2)=-15

D.若集合4=(x\-ax24-4x+2=0｝中至多有一个元素，则a<-2

三、填空题

14.如图,正方体4BCD-4B1GD1的棱长为1,线段&D1上有两个动点且EF=当，

则下列结论中正确的结论序号是.①4c1BE；②EF〃平面

ABCD-,③异面直线AE,BF所成的角为定值；④直线AB与平面BEF所成的角为

定值；⑤以A8E/为顶点的四面体的体积不随E尸位置的变化而变化.

Bl

15.(1)已知锐角三角形48c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足8028-

cos2C-sin2i4=—sinAsinB,sin(4—B)=cos(4+8).若(1=&，则三角形ABC

的面积为.

(2)已知不范均为单位向量，且它们的夹角为120。，则|2丘+3|=.

(3)若点P是2L4BC内的一点，且满足以+两+定=6,则寝=.

(4)已知刀=(-1,3),OB=(3,-l),OC=(m,1)若前1BC,则实数m=。

(5)如图，在四边形OBCO中，加=2B0.O4=2布,4。=90。，且|前|=|而|=

1.点P在线段AB上，HAB=3AP,则COSNPCB=__________。

16.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方

图(如图).若要从身高在［120,130),［130,140),［140,150］内的学生中，用分层随机

抽样的方法选取18人参加一项活动，则应从身高在［140,150］内的学生中选取的人

数为.

“频率

17.新型肺炎疫情期间，A地派遣甲、乙、丙、丁四支运输队将“爱心物资”运往B地，

已知甲运输队在三天内到达B地的概率为:，乙运输队在三天内到达8地的概率为

42

丙、丁两运输队在三天内到达8地的概率均为|,若四支运输队在三天内到达8地

与否相互独立，则至少2支运输队在三天内到达B地的概率为；

18.已知，•是虚数单位，若复数Z满足zi20I9=l+i,则团=.

19.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,求函数/(x)的解析

式_(1)_若对于任意的Xe[t,t+2],不等式/(x+t)>恒成立，则实数t的

取值范围是

20.已知sin(x+§=%则sin(1-x)+cos2=-x)=_(1)_；已知a为钝角，若

siii(a+-J,贝Ucos(2a+居)的值为_(2)_.

21.设a,b,c分别是△ABC的内角的对边，(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA—

sinC),则角4=；设。是边8c的中点，且△ABC的面积为百，则而•

(DA+DB)=.

四、解答题

22.已知函数f(x)=2sin2(a)x+5-V3cos(2a)x)-10>0),f(x)的最小正期为m

(1)求f(x)的值域；

(2)方程/(x)-n+1=0在[0,行]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

(3)是否存在实数机满足对任意与e[-1,1],都存在打eR,使4打+4rl+m(2%-

2-%)+2>/(次)成立.若存在，求〃?的取值范围；若不存在，说明理由.

23.在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知记=(a,c-2b),n=

(cost,cosA),且记1n.

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=5,△ABC的面积为百，求a.

24.如图，在三棱锥P-ABC中，APBC为等边三角形，点。为BC的中点，AC1PB,

平面PBC，平面ABC.

(1)求证：平面PAC1平面PBC；

(2)己知E为PO的中点，尸是A8上的点，AF=XAB.若EF〃平面PAC,求；I的值.

25.当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入

贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体

健康放在第一位.结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫

有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组

两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分

题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的

人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位

同学每次答题之间相互独立，第一次由甲组开始答题.求：

(I)若第〃次由甲组答题的概率为4,求匕；

(n)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？

26.如图，在直三棱柱48。-4/传1中，4ABe为直角，8。=2,。6=4,。为。。1的中

点.

B-------,C,

/iI、I

(1)求证：平面必当。J_平面A8D；

(2)若异面直线&Bi与4c所成的角的正弦值是警，求三棱锥B-的体积.

27.已知函数/(%)=|a%2—i|一万2+必,其中aw1.

(1)当a=l时，求函数/(%)的单调递减区间；

(2)对满足f(x)有四个零点的任意实数小当［0,1］时，不等式Sm恒成立,

求实数，”的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，函数的定义域与值域，对数函数

及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和指数函数及其性质.

利用诱导公式和正弦的奇偶性对A进行判断，再利用函数的定义域对B进行判断，再利

用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性对C进行判断，最后利用指数函数的单调

性和复合函数的单调性，结合函数的奇偶性对。进行判断，从而得结论.

【解答】

解：对于A,因为y=cos(]+x)=-sin尤是(一1,1)上的减函数，

所以A不符合题目条件；

对于8,因为函数丫=一:在x=0没有定义，

所以8不符合题目条件；

对于C,因为y=In亲=In(专一1)是其定义域内的减函数，

所以C不符合题目条件；

对于因为函数y=2工-2-丫是奇函数，且在(—1,1)上是增函数，

所以。符合题目条件.

故选D

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查考查三角函数的图象变换和图象的性质，涉及两角和差的正切值公式，涉及三

角函数的最值，周期，图象性质，难度较大.

先根据已知得到当，:时g(x)最大或最小，进一步根据平移变换得到/(%)的极值点(

最值点)，然后关键一步，利用周期得到/(%)的零点，然后结合两角差的正切公式和诱

导公式进行计算求解即可.

【解答】

解：由对任意XCR,都有g(x)<|g©)l成立，可知|g(今|是g(x)的最大值，

・•・当/*时g(x)最大或最小，

又・・•将/(%)图象向右平移g个单位长度得到函数g(x)的图象，

.•・当7~-7.时/(%)最大或最小，

4<)

又••・f(x)的周期为2”，四分之一周期为［,

,7T7T7T,,,,,,

二当T=/,,=---+-时/(X)的值为0,

4J/

/.(-a—V3)sinj：o+=(),

•••©a一回碧+(与a+1)=0,

解得a=2,

故选D

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法以及一元二次方程根与系数关系，属基础题.

根据已知可得-3,-2为方程以2-取-1=0的两个根，根据韦达定理求出a,b,然

后根据一元二次不等式求出结果，属于基础题.

【解答】

解：根据已知可得一3,-2为方程a/一一1=0的两个根，且a<0,

_Q—2=上a=—

6

根据韦达定理可得-3x(-2；=-r解得

b=-

6

则不等式/+bx+Q>。为/+一；>o.

66

解得

X>6<-1.

故选民

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和与差的三角函数公式，以及二倍角公式，辅助角公式，正弦函数,

余弦函数的性质，积化和差公式.

方法一：利用两角和与差的三角函数公式，以及二倍角公式，辅助角公式，正弦函数，

即可得；

方法二：利用余弦函数的性质，积化和差公式，即可得.

【解答】

解：方法一/(X)=sinxsin(x+§

=sinxfisinx+—cos—-

\2274

1J3i

=-sin2%4--sin-vcos%--

224

11—cos2xV31

=2-2—+TSin2x-4

V31

=—sin2x--cos2x

44

=|(Tsin2x-lcos2x)

・•・/(x)e卜得.

方法二/(%)=sinxsin(%+§-]

--I^COS(%+%+§—COS(%-X一到一

=-1[coS(2x+^-cos(-^]-i

•••/(x)G

5.【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及向量数量积,属于中档

题.

先根据正弦定理可求出4或等，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c,根据三角

形的面积公式计算即可.

【解答】

解：因为a(2sin8-V3cosC)=V3ccos/1»

由正弦定理可知2sirh4sinB—V3siri24cosC=巡sinCcos/,

所以2sinAsinB\/3sinB,

因为在AaBC中H0,

所以sinA］，

2

因为在A/IBC中AW(0.7T),

所以4*或小

又4G=叵，延长AG交BC于点。，

3

所以=足.

2

因为AD=；(4B+AC),

所以而2=；（荏+前）2

=^（AB2+AC2+2\AB\\AC\cosA'）,

即|4。|2=l（/）2+c2+2bccosA）,

又因为b=1,

所以？=^（l+c2+2xlxcxcos/1）,

当力=g时，c=3,所以/ABC的面积为（bcsinA=乎：

当力=g时，c=4,所以/ABC的面积为^bcsinA=遮.

故选。.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量共线的定义及性质、向量的运算、向量的数量积、正弦定理，属较难题.

①由三角形中大角对大边及正弦定理可知正确.②当B=6时不成立.③当石=6时，满

足条件但五与坏平行.④根据单位向量的定义及向量的加法可知缁+答在乙4的角平

分线上，再由（篇+备）•就=0得AB=AC,再由向量的数量积求解.

【解答】

解：①在△4BC中，若4>B>C,则a>b>c,由正弦定理可得：sinA>sinB>sinC,

所以①正确.

②若五〃江且石力6,则存在唯一实数%使得五=43,故当B=6时，②不正确.

③当石=6时，满足万〃b//c,但不与3不平行，故③不正确.

④在A2BC中，编为与同同方向的单位向量，需为与前同方向的单位向量，

设△ABC中，乙4的角平分线交BC于点。.

所以箫+iSf在"的角平分线A。上,由（肃+jS）.能=°

所以4D1BC,所以48=AC.

又vyA隔B.A扃S=\扁AB\.l鬲^cl.cosA』/I所匚匚以I、Icos4A=3i，

又4e（0,兀）,

所以A:，所以AABC为等边三角形，故④正确.

M

故选艮

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查的是复数的概念及运算，属于基础题.

先求出复数z,再逐项进行判断即可.

【解答】

解：因为z=（Z甯7）=m=-4+21,

z的虚部为2,所以A错误；

复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以8错误;

z=-4-2i,所以C错误；

|z|=J（—4/+22=2>/5.所以。正确.

故选D.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空

间角的求法，是中档题.

过A作4GJ.CD,则G为C£>中点，连接4G,AF,BG,DF,则BG1CD,DF1BC,

利用正四面体的性质逐一分析四个选项得答案.

【解答】

解：如图，过A作4GJ.CD,则G为CD中点，连接4G,AF,BG,DF,则BG_LCD,

DF1BC,

XvBGdAG=G,AG,BGu平面ABG,

CDJL平面ABG,ABu平面ABG,则CD14B,故A正确；

由AB与平面BCD所成的角即乙4BG,又4G=BG^AB,所以乙4BG中60°；故B错误；

正四面体ABC。中，点E,P分别是A8,8C的中点，E尸〃4C,

vEF,平面ACD,ACu平面ACD,EF〃平面ACD,故C正确；

••,几何体为正四面体，4在底面BCD的射影为底面的中心，

则401平面BCD,

而40u平面AF£),••.平面AFD平面BCD,故D正确.

二结论错误的是B.

故选：B.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查两组数据的平均数、标准差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，属

于基础题.

通过观察折线图比较两组数据的平均数、标准差的大小.

【解答】

解：由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图，知：

甲的平均成绩高于乙的平均成绩，

甲的成绩的波动小于乙的成绩的波动，

甲、乙两组数据的平均数分别为机】，62,标准差分别为电，的，

则mi>m2>rtj<n2.

故选C.

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法减法数乘运算、向量的数量积、向量的夹角、向量的模、向量平行

的判断与证明，属于中档题.

运用共线向量的比值可判断A,运用向量的加减法运算及数量积运算将丽•丽分解为

（FO+OD）（FO+OE）BPfO2+FO（OD+OE>）+OD-左可判断B,运用向量的数量积

公式cos<FDFE>=赢^।结合|阿•\FE\=\F0+OD\-\FO+函的模的运算

而+西2-而+函,可判断C,运用三点共线的向量表示可判断D.

【解答】

解：对于A,因为而=2而，

所以前=|前=|灵，FO=|BO=|oc,

而定=所+沅=河，

所以前=1同，故A错误；

对于B,由题意而+灰=6，F02=-,OD-OE=-1,

9

所以而.丽=（FO+OD）（FO+0E）

=FO2+F0（0D+OE）+0D-0E=^-1=-|,

故3正确；

对于C,\FD\■|FE|=\F0+OD\\FO+0E\

=甫+阿甫+国2

1一一>1一一•

§+1+2尸0•0。•-+1+2F0-0E

102102

=-4--cosZ-DOC--4--cosZ-EOC

、93、93

侬〈丽・丽.瑞福

81

=-----X「

9播专"D℃，

因为()<Z.DOC<7T,

所以04COS2ZDOC<1,

所以3<J詈-gcos2z_DOC<

所以-l<cos<丽•布>4-g,故C正确；

对于。，因为D,O,E三点共线，

所以存在实数m,n满足FO=mFD+nFE(m+n=1)>

又因为定=4而+4而且正=4而，

所以4而+〃而=4(m而+n而)，

所以2=4m,n=4n,

因为m+n=1,

所以;1+〃=4,故。正确.

故选BCD.

11.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本概念，复数代数形式的四则运算，复数相等，以及复数的儿何意义

与复数模的求法，是基础题.由复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，韦达定理

等知识逐一分析四个选项得答案.

【解答】

解：4由关于x的方程(1+I)T2+aj-+1-4z0(u€R)有实根，

所以a=型工卢丝(万大0),

因为a,x为实数，

所以=4,即*=±2,

则。=±|,则A正确；

B.v(1+i)z=i2021

...z=£=」_=N+L,在复平面内对应的点在第一象限，故2错误；

1+11+122

C.l+2i是关于x的方程/+px+q=0的一个根，故另外一个根为1一21,

故得q=(l+2i)(l-2i)=5,故C正确；

D设Z]=a+bi,z2=c+di,(a力，c,d€R)

Z1Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=a2+b2

俱(ac—bd=a2+b2

讨lad+be=0

故a=c,b=—d

即Zi=^,故。错误；

故选AC.

12.【答案】ABC

【解析】

【分

本题主要考查了线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性质，以及线面垂直和面

面垂直的性质，涉及余弦定理，同时考查了空间中的距离，三棱锥的体积，属于较难题.

根据空间中线面，面面间的位置关系，结合选项依次分析求解即可.

【解答】

解：对于A,取的中点F,连接MF,BF,

易知FB/1ED,

vMFC平面AiDE,ArDu平面&DE,

〃平面&DE,

同理可得FB〃平面&DE,

又MFCFB=F,MF,FBu平面MBF,

••・平面MB/7/平面&DE,

又BMu平面MBF,

二恒有BM〃平面4DE,故A正确；

对于B,在矩形ABC。中,4B=24。=2,E为AB的中点，所以4E=4。=\,DE=也

取CQ的中点F,连接MF,BF,则MF〃&D,且MF=|ZiD=5

BF//DE.BF=DE=®Z-AXDE=/.ADE=4MFB=45°,

,_________________________________,/F

在三角形MBF中,由余弦定理得MB=v/BF2+A/F2-2BF-MF^^IFB=笠，

故8正确；

对于C,因为BM〃平面&DE,所以"到平面&0E的距离等于8到平面&DE的距离，

BE=1为定值，SAADE=：为定值，

当平面&DEJ■平面ABCO时，B到平面&DE的距离最大，三棱锥力一OEM的体积取

最大值，

此时,以「曲=九.的=""¥=去故C正确；

对于。，取CO的中点凡连接EEaF,

假设存在某个位置，使得平面40E_L平面&CD,平面&OEn平面&C0=&D,AXE1

ArD,ArEu平面公。氏

•••AXEJ_平面力iCD,

「4Cu平面&CD,&EJLAC

=CE=&,.••&C=1,此时必与尸重合，不符合题意，故假设错误，故。

错误.

故选ABC.

13.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查函数的解析式、函数的奇偶性和单调性以及集合中的元素，属于基础题.

根据题意，逐项分析各选项中的问题，即可求解.

【解答】

解：A、••・偶函数/(%)的定义域为[2a—l,a],

2a-1=-a,解得a=1,

故A正确;

B、设一次函数f(%)=kx+H0),

则/[/(%)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,

,,4[/(%)]=4%+3,

・的2=4

•"+b=3'

解瞰：我仁二泰

二函数f(x)的解析式为/'(x)=2x+1或f(x)=-2x-3,

故B不正确；

仁:奇函数/(乃在[2,4]上单调递增，且最大值为8,最小值为-1,

二/(2)=-1,/(4)=8,

•••/(-2)=-/(2)=1(/X—4)=-/(4)=-8,

•••2/(-4)+/(-2)=2x(-8)+1=-15,

故C正确；

。、;集合4={x|-ax2+4尤+2=0}中至多有一个元素，

二方程—a/+4x+2=0至多有一个解，

当a=0时，方程4x+2=0只有一个解一也符合题意，

当a。。时，由方程—a/+4x+2=0至多有一个解，

可得2=16+8a40,解得a<-2,

a=0或a<-2,

故。不正确.

故选AC.

14.【答案】①②④⑤

【解析】

【分析】

本题考查棱柱的结构特征，熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及

线面垂直的证明是解答本题的关键，考查空间思维能力，属于较难题.

@AC1BE,可由线面垂直证两线垂直；②由面面平行的定义可证得结论正确；③可

由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；④把线面角转化为线线角即乙4BD,

即可得知④正确；⑤可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值.

【解答】

解：①•；4C平面又BEu平面BBiDiD,二AC_LBE,故①正确；

②•.•平面4BCD〃平面4/iGDi，EFu平面4/GD1，・•.EF〃平面ABC。，故②正确；

③由图知，当F与当重合时，令上底面中心为0,则此时两异面直线所成的角是乙4]A0,

当E与。1重合时，此时点尸与。重合，则两异面直线所成的角是OBCi，此二角不相等，

故异面直线AE、8P所成的角不为定值，故③错误；

④直线AB与平面8EF所成的角也就是直线AB与平面8/D1D所成的角，•:AC1平面

BB/iD,.•.直线A8与平面BBiAD所成的角就是乙4BD为45。，因此，直线AB与平面

BEF所成的角为定值，故④正确；

⑤由几何体的性质及图形知，三角形BE尸的面积是定值,A点到面。。1殳8距离是定值，

故可得三棱锥4-BEF的体积为定值，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

15.【答案】(1)萼；

(2)73;

⑶玄

(4)1±2V2;

⑸等.

【解析】

(1)【分析】

本题主要考查了利用余弦定理表示出cosC,把已知等式利用正弦定理化简，整理后代

入计算求出cosC的值,即可确定出C的度数，由sin(4-B)=cos(4+8),可得si几4=

cos4由A为锐角，可得A,利用三角形内角和定理可求3的值,利用正弦定理可求乩

进而根据三角形面积公式即可计算得解.

【解答】

解：・・・44BC的三个内角为4,B,C,且满足cos2B—cos2C—sin2/=—sizMs出B,

可得:sin2c+sinAsinB=sin2?l+sin2B,

・•・由正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2,

a24-b2—c2ab1

2而=双=5'

v0<C<7T,.•・C=；,

•••sin(4—B)=cos(7l+8).

BPshiAcosB-<-oes.4siiiB=co«4cosl?-sin.4sin".

siiL4(co6B+sin/?)=cusA(sinB+cos/?),

siiul=co«,A，

二由4为锐角，可得a=9,B=it-A-C=^,­.-a=V2,

.••由正弦定理可得：b=上吧=产+返,

sh\A2

二三角形ABC的面积S=L(l^inC=-x^x四土遮乂县=33.

22224

故答案为笆血.

4

(2)【分析】

本题考查数量积以及向量的模，属于中档题，根据题意可得五•方=-；,再由|2百+3|=

J片+4下•I+片求得答案.

【解答】

解：因为五万均为单位向量，且它们的夹角为120。，所以由数量积的定义可得

r1x1x00612,1-J1所以|2己+方|=^4a2+4a-b+b2=V4-2+1=

V3.

故答案为

(3)【分析】

本题主要考查了向量的加减法，属于中档题.由题意可得，P为ZL4BC的重心，由重心的

性质，可得结果.

【解答】

解：点尸是44BC内的一点，且满足用+两+定=6，

P为44BC的重心，由重心的性质，

设P到直线AB的距离为h,则C到直线AB的距离为3人

'SABO.14/Jx3/13-

故答案为

(4)【分析】

本题主要考查了向量的加减法，向量垂直的条件，属于基础题.求出正，玩的坐标，由

ACLBC,代入公式即可.

【解答】

解：OA=(-1,3),OB=(3,-1),OC=(m,l)，

则方=OC-OA=(m+i(-2),

BC=OC-OB=(.m-3,2)，

由於1BC，可得O+1)0-3)+2x(-2)=0,

解得m=1±2V2.

故答案为1土2夜.

(5)【分析】

本题主要考查平面向量的加法，减法及几何意义、平面向量的数量、正弦定理以及余弦

定理，根据题意可得|CDj=2>\0A\=2>\0D\=3>ZO!X).所以|灰=\AB\=V5,

\BC\=V10,可得44BC为等腰直角三角形，故NA3C-15,因为ZB=3AP,所以BP=

延，由余弦定理求出PC=2，由正弦定理求出siiMPLB，渔，所以

333

,Dec2滤

c-otsZ/xii----

【解答】

解：因为|前|=|而|=1,所以|C£)i=2,|57|=2，\0D\=1+2=3.

因为ZD=90°,CD//OB,所以NO=90",

所以|4C|=\AB\=Vl2+22=V5,|fiC|=J32+(2—=V10,

因为两之+同2=j园2,1画=j狗，

所以ZMBC为等腰直角三角形，乙ABC'45,

因为4B=34P,所以BP=这，

222

由余弦定理得(sNABC=BC+BP-PCa

2BC-I3P

所以PC=*,由正弦定理得BPPC

shiZ.BCPsinZ.ABC

所以sin/PLZ?=——'所以COMNPCB=---

故答案为毡.

16.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查了频率分布直方图和分层抽样，属于基础题.

先根据各矩形面积之和为1确定〃的值，得到在［120,130),［130,140),［140,150］这三

组内学生的人数，再根据分层抽样确定选取人数即可.

【解答】

解：由(0.005+0.010+0.020+a+0,035)x10=1,得a=0.030.

由于在［120,130),［130,140),［140,150］这三组内学生人数的频率分别为0.3,0.2,0.1,

所以在这三组内学生的人数分别为30,20,10,

因此应从身高在［140,150］内的学生中选取的人数为首x18-3.

故答案为3.

17.【答案】||

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

先求出4个人都没有完成任务的概率和4个人中有3个人没有完成任务的概率，由此利

用对立事件概率计算公式能求出至少2人完成任务的概率.

【解答】

解：4个人都没有完成任务的概率为

423324

4个人中有3个没有完成任务的概率为：

-xixixi+-xix-xi+-xixC2X-X=-,

42334233422339

故至少2人完成任务的概率为1=黑

24972

故答案为

18.【答案】V2

【解析】

【分析】本题考查复数的四则运算，考查复数的基本概念：共加复数和复数的模，考查

i的基运算的周期性，属于基础题.

先计算z,得到2,再用求模公式求模.

【解答】解：•.・产019=(产)504xi3=i3=t,

:.zi2019=zx(―i)=14-i,

l+i(l+i)i1..

-i(-i)i

Az=-1—i,

|z|=7(-l)2+(-1)2=V2.

故答案为应.

19•【答案】"%)=｛北

I-X,X<.U.

[2,+oo)

【解析】

【分析】

本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇

偶性，属于中档题.

由当x>0时，f(x)=x2,函数是奇函数，可得/(0)=0,当久<0时，/(x)=-x2,从

而/(x)在R上是单调递增函数，且满足3/(x)=f(|x),再根据不等式/Q+t)2

3/Q)=/©为在+恒成立，可得x+t2|x在+恒成立，即可得出答案•

【解答】

解：当工〉0时，/(%)=x2,

•••函数是R上的奇函数，所以/(0)=0,

••・当％<0时，一%>0,/(-%)=x2=-/(%),所以f(x)=-x2'

.f(x}-俨2。>0)

•••f(x)在R上是单调递增函数，且满足=/(|x),

•••不等式+t)>;/(%)=〃|x)在［t,t+2］恒成立，

Q

•••%+t23%在［t,t+2］恒成立，

即:久W2t在+恒成立，

•••t+2<2t,

解得：t>2,

故答案为：/(X)=(X，X-^';[2,+8).

20.【答案】白

16

17a

50

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是三角函数的诱导公式，二倍角公式及同角三角函数基本关系与两家

和与差的三角函数公式，将未知角用已知角表示是解答本题的关键，属于一般题.

①利用诱导公式，我们易将Sin昌一工)+一工)化为sin"+：)+sin2(工+[,

1

由已知sin(上+7：r)=：,代入计算可得结果.

②利用同角三角函数基本关系求出+；)-:，再利用二倍角公式、诱导公式与

两角和与差的三角函数公式求出即可.

【解答】

解：①：sin(T+

64

，siu佟一工什―仁一工)

63

=«in[7r-(x+^)]+COK2[^一(x+^)]

=sin(jr+I)+siir(r+

66

11

=—|-------

416

5

=1?

②a为钝角，且sin(a+-,

7T47r

,7T\3

.,.co«g+：f)=一?，

35

siu[2(a+g)]=2sin(a+^)cos(a+1)=2x(一：)x(一5=,

3335525

«»[2(a+1)]=1-2sin2(a+^)=l-2x(-^)2=一：

«»(2a+^)=cos[(2a+争一3

1/4)

=co«(2a+^)cos—+sin(2a+

3434

7V224V2

=---X---1---X—

252252

_17调

一50°

故答案为三酒

1650

2万

21.【答案】—:2

3

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理,

三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.

利用三角形内角和定理可得他+<?”血=(。+3(3114-而。).由正弦定理可得从+

c2-a2=-bc,由余弦定理可得COS4=-L,结合范围4C(0,兀)可得A的值，结合

A4BC的面积求得从，将南・(雨+而)利用向量加减法运算转化为荏•近，即可求

得结果.

【解答】

解：•••(6+c)sin(4+C)=(a+c/sin/l-sinC),

•••由正弦定理可得：(b+c)b=(a+c)(a—c),整理可得：b2+c2-a2=-be,

二由余弦定理可得：COSA=-L,

2

27r

由46(0,兀)，可得：A=——，

3

又48c的面积为G，

即Ibesi^=百，•••be=4,

23

又48•CDA+DF)=(DB-DA)•(DA+DB)=DB-DA

JCB(AB4-AC)2_(AB-AC)2(AB+AC)2

=~44=44

=4-=-bccosA=2•

故答案为丝；2.

3

22.【答案】解：(1)函数f(x)=sin23%-百cos23X=2sin(23x-$,

•・,/(%)的最小正周期为兀，3>0,

2n

造=…3=1.

那么/(%)的解析式/(1):二2sin(2z一白，

则当sin(2x-$=1时，函数取得最大值2；当sin(2x-$=-1时，函数取得最小值一2.

所以函数的值域为[一2,2].

(2)方程门x)-n+1=。在[0,争上有且有一个解，转化为函数y=f(x)的图象与函数

y=几—1的图象在[0爷上只有一个交点.

vxG[0,—],2%

L'12」336

因为函数/(X)在[0,靠上单调递增，在密有上单调递减，

且f(0)=-V3,/(g)=2,/(g)=1,

-V3<n—1<1或M—1=2,

所以1-V5Wn<2或n=3.

(3)由(1)可知/(上)-2siu(21-：),：.f(x2)min=-2.

实数m满足对任意e[-1,1],都存在%2GR,使得4%+4-X1+m(2Z-2一刃+2>

/(上)成立.

即4%+4rl+m(2zi-2-1)+4>0成立，

令y=4X,+4rl+m(2X1—2~Xi)+4,

设”1-2rl=t,贝必勾+4rl=(2%-2T1)2+2=t2+2,

•••Xje[-1,1],

可得产+mt+6>0在t€[-|,|]上恒成立.

令g(t)=/+m+6,其对称轴£=一；，•••t€

・•・①当W-|，即m>3时,g(t)在[一|,|]上单调递增,g(t)min=5(-f)=日一等〉

0,解得3Wm〈日；

②当一；<—