2021年中考二轮专题复习数学重要题型：二次函数与直角三角形等腰三角形

2021年数学中考复习重要题型二次函数

与直角三角形等腰三角形

1.已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-L0)和C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使PA+PC的值最小?如果存在,

请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的(1)求抛物线的解析式及点M的坐标.

(2)点p为直线上方抛物线上一点，设”为点P到直线CB的距离，

当d有最大值时，求点P的坐标.

(3)若点、F为直线BC上一点、,作点A关于丁轴的对称点A',连接AC,

AT,当AEA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标.

2.己知抛物线〉=ar2+2x+c(aH0)与x轴交于点A(-1,0)和点8,与

直线y=-x+3交于点B和点C,M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线3.已知：抛物线Q：)，=-/+2丘一左2+A+1%=1,2,3，…々为正整数),

的对称轴.抛物线q的顶点为

(2)求证：AB平分NC4。；

(1)当k=1时，陷的坐标为；当k=2时，M2的坐标为

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以AB为直角边的直

(2)抛物线G的顶点是否在同一条直线上？如在，请直接写出这条直

角三角形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

线的解析式；

(3)如图(2)中的直线为直线/,直线/与抛物线G的左交点为4,求证：

与重合：

(4)抛物线q与x轴的右交点为与，是否存在是直角三角形？

若存在，求k的值，若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+/?x+c与x轴交于点A,B,

与y轴交于点C,且直线丁=*一6过点8,与y轴交于点。，点C与点。关

于x轴对称.点P是线段上一动点，过点尸作x轴的垂线交抛物线于点

M,交直线BO于点N.

4.如图，抛物线y=ox2+Z?x-4经过A(—3,0),B(5,-4)两点，与

y轴交于点C,连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式：

第3页共12页第4页共12页

y（2）连接48,点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛

物线于点。，设C点的横坐标为如线段CQ长度为d（存0）.求d与机的

函数关系式（不要求写出自变量，〃的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接A。，是否存在成值，使AACC是等腰三角形?

若存在，求出机的值；若不存在，请说明理由.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当/kMOB的面积最大时，求点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，在），轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N三点为顶

点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明

理由.

7.我们定义：如图1,在AA5c与△AB'C'中，两三角形有公共顶点A，

AB所在射线逆时针旋转a到AC所在射线，所在射线逆时针旋转£到

6.如图，抛物线y=-；x2+bx+c与y轴交于点A（0,3）,与x轴交于点

AD.「

AC所在射线，ABAC=a,ABAC=/?,«+^=180°,—r="，则我

B（4,0）.ABAC

（I）求抛物线的解析式;们称AABC与△AB'C互为“旋补比例三角形

8.如图，抛物线丁=一/+云+。与x轴相交于两点(点A位于点8的

左侧)，与y轴相交于点c,用是抛物线的顶点，直线％=1是抛物线的对

(1)如图1,AABC与△AB'C互为旋补比例三角形，

称轴，且点C的坐标为(0,3).

ZR4C=60°,AB=6,AC=3,AB'=2时，①ZB，AC'，②

S

VABC=

S\!ABC

(2)如图2,在AABC1中，AD,3c于点。，与△DAC互为旋补

比例三角形，延长CB至点E，使EB=BD，连结AE，求证：ABAE与

VBC4互为旋补比例三角形；

(1)求抛物线的解析式.

(3)如图3,在AOAB中，NAQB=135°，点A在％轴的正半轴上，Q4=2,

(2)已知P为线段MB匕一个动点，过点P作P£>_Lx轴于点O.若

点B在第二象限，0B=2叵,抛物线>=一^^+法+「经过点8,与丁轴

产。=6,4尸。的面积为5.

交点为(0,5),△OPQ(点O,P,Q按逆时针排列)与AOAB互为旋补比例三①求S与，”之间的函数关系式，并写出自变量〃?的取值范围；

角形，点尸在抛物线的对称轴上运动，当点AB,P构成的三角形是以A8为②当S取得最值时，求点P的坐标.

(3)在(2)的条件下，在线段MB上是否存在点P,使好。。为等腰三角

腰的等腰三角形时，求点。的坐标.

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形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由.

10.如图，抛物线,=0^+云+。的图象与*轴交于人(-1.0),B(3,0)

两点，与y轴交于点C(0,-3),顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式.

9.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴负半轴上，点C

(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.

4

在y轴的正半轴上，AB=10.tanZDAB=-,抛物线经过点B,C,D.(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是

(1)求抛物线的解析式：等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说

(2)若直线EF与BC平行，与同物线只有一个交点，求直线EF的解析式；明理由.

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使三角形PBC是以BC为腰的等腰三角形,

若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由.

yf

A-------Ac

7/\\7/f/l1

4-------―\

11.如图，直线y=-x+4与x轴交于点8,与y轴交于点C,抛物线y=-

/+6x+c经过8,C两点，与x轴另一交点为4.点尸以每秒0个单位长度

的速度在线段BC上由点8向点C运动（点P不与点8和点C重合），设运

动时间为r秒，过点尸作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作），轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当

需MQ=21时,求'的值；

（3）如图②，连接AM交8C于点。，当△POM是等腰三角形时，直接写

出『的值.

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参考答案

1.(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，当Q4+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2)；(3)

QD

点"的坐标为(1,1)、(1,2)、(l,p或(1,一令

解：⑴将A(-1,O)、C(0,3)代入y=-f+bx+c中,

—1—0+c=0b=2

得：〈c,解得：\

c=3c=3

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)连接8C交抛物线对称轴于点P,止匕时小+PC取最小值，如图1所示.

当丁=0时，有—f+2x+3=0.

解得：$=-1,々=3，

二点5的坐标为(3,0).

抛物线的解析式为y=-/+2x+3=-(》—1了+4,

抛物线的对称轴为直线x=l.

设直线BC的解析式为y=kx+d(k^O),

将8(3,0)、C(0,3)代入y=H+d中,

3k+d=0

得:，解得:

d=3

直线BC的解析式为y=-x+3.

•.,当x=l时，y=-x+3=2,

当PA+PC的值最小时，点尸的坐标为(1,2).

答案第1页，总21页

(3)设点M的坐标为(1,加)，

则CM=7(l-O)2+(m-3)2，AC=7[O-(-l)]2+(3-0)2=V10，

分三种情况考虑：

①当NAMC=90°时，有AC?=A〃2+CA/2,即IO=1+(，-3)2+4+机?，

解得：网=1,网=2,

.・•点M的坐标为(1,1)或(1,2)；

②当NACM=90°时，有AM?=AC?+CA/2,即4+/=10+1+(利一3『，

Q

解得：，"=],

Q

...点M的坐标为(L§)；

③当NC4M=90°时，有CM?=AA72+AC2,即I+(利―产=4+疝+10,

解得：m---,

3

点M的坐标为.

综上所述：当八皿以。是直角三角形时，点M的坐标为(LD、(1,2)、(1,9或(1,-»

2.(1)丁=一一+2》+3,点M的坐标为(1,4)；⑵点P的坐标为(|,?)；(3)点尸

(51A

的坐标为3,3或(2,1).

解：(1)•.•直线y=-x+3,

令y=0,解得x=3,

二3(3,0),

将点A(—1,0),3(3,0)代入抛物线y=a?+2%+0中，

=

CL—2+c=0ci-1

得9/八，解得｛.

9〃+6+c=0[C=3

答案第2页，总21页

，抛物线的解析式为y=—*2+2x+3,

y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

二点M的坐标为(1,4)；

(2)过点尸作轴，交BC于点、H,连接PC,PB,如解图所示,

由题意，可知4有最大值时，5八户6有最大值，

设点P的坐标为(加,一/++3)(0<m<3),则3),

PH-{—nr+2m+3)—(+3)=—nr+3m,

；•S^CB=)尸".(/-左)=((一根？+3m)x3=一■|n?2+\加=_|.(加_^)+1，

3

—<0,0<m<3,

2

327

.♦.当加=：时，SAP®有最大值，且最大值为方，此时d有最大值，

2o

.•.点P的坐标为1”

(3)由题意，知A(l,0),C(0,3).设点尸的坐标为&—1+3),

则AC?=『+33=10,A尸=(/-1)2+(-/+3)2=2/_&+10,PC?=产+(-r)2=2产,

由题，易知NA'C〃H9()。，则当AFWC是直角三角形时，需分以下两种情况进行讨论，

答案第3页，总21页

①当NC4N=90°时，A'C2+A'F2=CF1，

即10+2/一8r+10=2/，解得f=2，

2

(51A

，点户的坐标为3,3；

122y

②当NANC=90。时，A'F2+FC2=A'C2>

即2/—8/+10+2/=10，解得，=0(与点C重合，故舍去)或，=2,

•••点户的坐标为(2,1),

综上所述，点尸的坐标为或(2,1).

3.(1)(1,2),(2,3)

(2)在,y=x+l

(3)见解析

(4)存在，k=3.

解：(1)当k=l时，则有y=—/+2x+i,所以必(1,2)；

当k=2时，则有>=一/+4》—1,所以限(2,3)；

故答案为(1,2),(2,3)；

(2)在同一直线上，解析式为y=x+l,理由如下：

由y=-x2+2kx-k2+k+1可得y=-(x-A：y+Z+1,

所以顶点坐标为〃*(左,攵+1),

••・满足函数关系式为y=x+l；

(3)c*：y———(x—k)-+左+1

也(%次+1)

x+1=—x2+2kx—k-+攵+1

解得：xt=k,x2=k-\

Af,{k—1,k)

答案第4页，总21页

Ak+I(k,k+l)

M*与A*,重合；

(4)存在，理由：分三种情况，4(%+灰万,0),过点加人、&分别作MQJ.X轴,

&E_Lx轴，4。，M人C交x轴于点C、E、D,如图所示：

①/4&“*=90。则以&为直径作圆，它与抛物线只有两个交点儿、Mk,不存在

②=90。,ARD=I,%D=1AZAkDMk=45°

/.ZBkMkC=45°,1+l=〃+l；.k=0(舍去)

③NMkAkBk=90。则NDAkBk=45°.*.ZBkAkE=45°

：.k=l+dk+l，解得匕=0(舍去)，k2=3.

综上所述，存在，k=3.

4.(1)y=-x2--x-4；(2)详见解析；(3)存在，点M的坐标为(°,—9)或(2,

6622

11).

【详解】

解：(1)将A(-3,0),B(5,-4)两点的坐标分别代入，

9a—3/?—4=0,

得4

25a+5b-4=-4,

1

a=N

解得、

答案第5页，总21页

15

故抛物线的表达式为y=y=0一='—4.

66

(2)证明：VA0=3,OC=4,

*22=5

..AC=A/3+4-

取D(2,0),则AD=AC=5.

由两点间的距离公式可知BD=7(5-2)2+(-4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

；.BC=5.

->.BD=BC.

在△ABC和△ABD中，AD=AC,AB=AB,BD=BC,

/.△ABC^AABD,

.".ZCAB=ZBAD,

，AB平分/CAO；

(3)存在.如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.

VA(-3,0),B(5,-4),

答案第6页，总21页

/.tanZEAB=—.

2

•?ZMzAB=90°.

/.tan/M'AE=2.

・・・M'E=2AE=11,

5、

・・・M'(一，11).

2

同理：tanNMBF=2.

XVBF=-,

2

AFM=5,

5、

AM(-,-9).

2

.••点M的坐标为(一，11)或(一，-9).

22

2

5.(1)y=-x+5x+6；(2)(2,0)；(3)存在，(0,12)或(0,-4)或(0,4+2A/15)

或（0，4-2715）.

解：（1）•••直线y=x-6过点8,点B在x轴上,

令y=0,解得x=6,令x=0,解得y=-6,

AB(6,0),D(0,-6),

•••点C和点D关于x轴对称，

AC(0,6),

・；抛物线y=-x2+bx+c经过点B和点C,代入,

0=—36+6。+cb=5

解得:

6=cc=-6

...抛物线的表达式为：y=-x2+5x+6；

（2）设点P坐标为（m,0）,

则点M坐标为（m,一加2+5机+6）,点N坐标为（m,m-6）,

MN=-m2+5m+6-m+6=-m2+4m+12，

SABMD=SAMNB+SAMND

答案第7页，总21页

=1x(-.,2+4m+⑵x6

2I

=-3m2+12m+36

=-3(m-2)2+48

当m=2时,SABMDK火=48,

此时点P的坐标为(2,0)；

(3)存在，

由(2)可得：M(2,12),N(2,-4),

设点Q的坐标为(0,n),

当NQMN=90°时,即QM_LMN,如图，

可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，

即Q(0,12)；

当/QNM=90。时，即QN_LMN,如图,

可得，此时点Q和点N的纵坐标相等,

即Q(0,-4)；

答案第8页，总21页

分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F,

■:ZMQN=90°,

，ZMQE+ZNQF=90°,又NMQE+/QME=90°,

ZNQF=ZQME,

/.△MEQ^AQFN,

.MEEQ212-77

>.---=----,即r1n-----=------

QFFN〃+42

解得：产4+2/或4-2后,

二点Q(0,4+2/)或(0,4-2V15),

综上：点Q的坐标为（0,12）或（0,-4）或（0,4+2而）或（0，4-2小）.

答案第9页，总21页

j51323

6.(1)y=——x2o+—x+3；(2)d=——m2+2m；(3)存在，”=一或加=一或

242212

(1)VA(0,3),B(4,0)

3=cc=3

・.・％1.2立，解得L5，

0=——x4+4〃+cb=—

I2I4

1、5

・・・该抛物线的解析式是y=——/+—x+3

24

(2)设直线AB的解析式为尸H+”・・A(0,3),B(4,0)

・,・{"•+；2,解得＜

直线AB的解析式为y=-=x+3

4

・・・c、。两点的横坐标都为江

33

在》=——x+3中，当时、y=----m+3

44

3

C(加,—根+3)

4

2

在y=—'12+工1+3中，当后加时，y=_Lm4--m+3

2424

125

D(tn—m~H—m+3),

f24

2

VA(0,3),B(4,0)：.OA=3f08=4,AB=^+4=5

过点C作CE-Ly轴于点E,：.CE//OB,：./\ACE^/\ABOf：.AC=-m

答案第10页，总21页

若△ACO是等腰三角形，则分以下情况讨论：

513

①CA=CQ时，则一/〃=仅2+2加整理得2/层一3根=0解得：机=0或加=二

422

不与A重合，.•.，“=()舍去

,3

♦♦m=一

2

②D4=OC时，过点。作。H_LAC于点H,：.AH=HC

•；CO〃y轴

:.ZDCA=ZOAB,：.cosZDCA=cosZOAB,

.CHOA.CH3

：.5CH=3CD.

'~CD~~AB'"CD-5

又・・・HC=LAC,：.5AC=6CD

2

则5x—=6♦(——irr+2m)

42

23

整理得12疗一23m=()解得：加=0或m==

・・・C不与4重合,

@AD=AC时同理得m-\

323

综上存在加值，m=二或，〃=’或帆=1使得△ACO是等腰三角形.

212

7.(1)①120。；②!

9

(2)见解析

答案第11页，总21页

(3)2,(2-275,2+275),Q2(2+262-2研

S(ARr\1

(1)由题意可知：ZB'AC'=180°-ABAC=120°,=—=-

SvABCU5J9

(2)-：ADIBC,ZADBZADC^9Q0,

•.•△DM和△04c互为旋补比例三角形，一=—,

DAAC

:./\DBA-/XDAC.ZBAD=ZC,

-.-ZABD=ZCBA,

..AR4£>sABC4，

BDBA

•.BD=EB，

.BEBA

NEBA+NABC=180。，

..△BAE与V8C4互为旋补比例三角形.

(3)QZAOB=135°，,1.ZBOC=45°,

•/OB=2A/2>过B作轴于点

.-.DO=DB=2,8(—2,2),

-.■OA=2,.-.A(2,0)

•♦•>=—经过c(o,5)与3(—2,2),

1,

,y=——x+x+5,对称轴为直线x=2,

4

•••△OPQ与AOAB互为旋补比例三角形，

OAOB

/.ZPOQ=180°-ZAOB=45°,~OP~~OQ

,OP^OA=2=102

'OQOB2V2^2'V2

如图，过点。作于点”,

答案第12页，总21页

Q\

H

:.OH=OH=OP,即点〃与点P重合,

:.ZOPQ=90°,即△OP。为等腰直角三角形,

•「A、B、尸为以点A为顶点的等腰三角形,

：.AB=AP，

AB=yjBD2+AD2=275>AP=AB=2下

①P在x轴上方，如图:

.•.P（2,26）

易证：△OAP2△PM。，

：.OA=PM=2,AP=QM=2后,

XQ=2-2\/5,）>Q=2+2\/5,

.♦02-2氐2+23

②P在x轴下方，如图:

答案第13页，总21页

P(2,-25/5)

易证：/\PED^/\QFP

：.EP=QF=2,0E=PF=2小,

XQ=2+2A/5,-2-2>/5,

综上，g(2—26,2+26),2(2+26,2—2«).

8.(1)y=-x2+2x+3；(2)①S=--m2+—m(0<m<4)；②当,”=3时，S取得最

42

93

大值“此时P(5,3)；(3)存在,点尸的坐标为(-6+3/,18-6近)或(4-近，-2+26).

(1)抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线尤=---7—=1,，。=2.

2x(-1)

又,:抛物线与y轴的交点为C(o,3),c=3,

抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)①y=—f+2x+3=—(x-1)?+4,.•.顶点M(1,4),3(3,0).

设直线BM的解析式为y=kx+n.

将8(3,0),M(l,4)代入,

3攵+〃=0,优=—2,

得<z)解得,

攵+几=4,[〃=6,

・・・直线BM的解析式为y=-2x+6.

•."£>_1%轴且「。=m,；.P(3—/，加)，

...△/>。。的面积5=120。0=,机(3_')=_或二^=_!，篦2+3机

222442

•.•点尸在线段加上,且加(1,4),8(3,0),

/.0<77?<4,

13

故S与加之间的函数关系式为S=——m29+-m(0<m<4).

42

②・.・S=——m+—m=——(m—3)+—,

4244

答案第14页，总21页

93

...当m=3时,S取得最大值一,；，(一,3)；

42

当.•.()＜加＜4时，S没有最小值.

93

综上，当机=3时，S取得最大值乙，此时P(—,3)

42

(3)存在.

当PC=PD时,

IT1

PD=m，尸(3——,/n),C(0,3),

2

J(3-^--O)2+(m-3)2=m,

解得"2=18+677(舍去)或机=18-6近，此时P(-6+3V7/8-6«).

当OC=£)P时，

m

■：PD=m,£)(3-5,0),C(0,3)

.•.J(3_(_0)2+(—3)2=加

解得m=-2-2币(舍去)或机=-2+2万，此时P(4-77,-2+277).

当DC=PC时，

P(3-—,m),D(3-—,0),C(0,3)，

22

J(3_g_())2+(-3)2=^(3---0)2+(m-3)2＞

解得加=0或加=6,均不符合题意，舍去.

综上所诉，存在点P使AP8为等腰三角形，点P的坐标为(-6+3近,18-6")或

(4一近,一2+2近).

9.(l)y=—x2+x+8；(2)y=gx+5；(3)存在，P点坐标为(-5,8—56)或

(-5,8+56)或(―5,3而)或(-5,-3JTT)

解：(1)因为四边形ABCD是菱形，

所以AD〃BC,BC=AB=10.

:"DAB=/CBO

答案第15页，总21页

/.tan/DAB=tanNCBO="OC=—4

OB3

4

OC=—OB

3

又因为在直角三角形OCB中，OO+OBZnBC,

即二08+OB2=100

(3)

解得OB=6(负值已舍去)

所以OC=8

所以B(-6,0),C(0,8),D(-10,8).

设抛物线的解析式为丁=依2+陵+0,•

因为抛物线经过点B,C,D,

36a-6b+c=0

«c=8解得，a=-,Z?=—,c=8

33

100"100+c=8

所以抛物线的解析式为＞=；/+弓》+8

⑵设直线BC的解析式为y=mx+n,

-6m+n-0

将B,C点代入上式，得《°

”=8

-4

m=—

解得J3

”=8

4。

y——x+8

3

因为EF〃BC,

4

设直线EF的解析式为y=§x+f.

又因为直线EF与抛物线只有一个交点，

所以1/+此％+8=&》+，只有一个解,

333

A=22-4X1（8-Z）=0,解得t=5.

答案第16页，总21页

4

设直线EF解析式为y=—x+5

(3)抛物线的解析式为丁=3%2+：*+8=；(%+5)2一：

所以抛物线的对称方程为x=-5

设抛物线的对称轴上存在点P(-5,y),使^PBC是以BC为腰的等腰三角形.

由⑴知B(-6,0),C(0,8),BC=10.

分两种情况：

①如果CP=CB,那么52+(>—8)2=100,

解得y=8±5百

②如果BP=BC,那么(6-5)2+(y-0)2=100

解得y=±3JTT.

所以抛物线的对称轴上存在点P,使APBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为

(-5,8-56)或卜5,8+56)或卜5,3而))或卜5,-3日).

3

10.(1)y=f—2x—3；(2)D的坐标是(1,-4),对称轴是直线x=l；(3)P(1,一一)

-2

或(1,-4-26)或(1,-4+26)或或4).

试题分析：(1)根据抛物线>=依2+法+。的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C(0,-3),可以求得抛物线的解析式；

(2)根据(1)中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；

(3)首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可;

试题解析：(1)•••抛物线y=af2+云+。的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点,

〃一b+c=0a=1

与y轴交于点C(0,-3),・・・{9。+3。+。=0,解得：协二-2,即此抛物线的解析式是

c=-3c=-3

y=x2-2x-3；

(2)・・・y=/一2X一3二。-1)2-4,・,•此抛物线顶点D的坐标是(1,-4),对称轴是直

线x=l；

(3)存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为(1,

答案第17页，总21页

y),分三种情况讨论：

______________________________3

①当PA=PD时J(_]—1尸+(O—J)?=J(1—+(-4—J)?,解得，y=-y,即点P的坐标

“3

为(1,—)；

2

②当DA=DP时，7(-1-1)2+[0-(-4)]2=7(l-l)2+(-4-y)2，解得，y=—4土2x/5，即

点P的坐标为(1,-4-26)或(1,-4+275)；

③当AD=AP[3寸，+[0-(-4)]2=J(_[_l)2+(0_y)2,解得，y=±4,即点P的

坐标是(1,4)或(1,-4),当点