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文档简介
2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷
2021年中考数学压轴模拟试卷01(吉林省专用)
(满分120分,答题时间120分钟)
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1.-6的相反数是()
A.-6B.--C.6D.—
66
【答案】c
【解析】根据相反数的定义,即可解答.
-6的相反数是:6
2.今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日.目前我国世界遗产总数居世界首位,其中自然
遗产总面积约68000加?.将68000用科学记数法表示为()
A.6.8X104B.6.8X105C.0.68X105D.0.68X106
【答案】A
【解析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式,其中1W同<10,〃为整数.确定"的值是易错
点,由于68000有5位,所以可以确定“=5-1=4.
68000=6.8X104.
【答案】A
【解析】根据平面与曲面的概念判断即可.
A.六个面都是平面,故本选项正确;
B.侧面不是平面,故本选项错误:
C.球面不是平面,故本选项错误;
力.侧面不是平面,故本选项错误.
4.下列运算正确的是()
A.。2“3=。6B.(/丫=/C.(2a)2=2/D./十。2=4
【答案】D
【解析】根据同底数基的乘除法、募的乘方、积的乘方逐项判断即可.
A.。2.03="+3=/,此项错误
B.(G2)3=«2x3=a6,此项错误
C.(2a)2=4〃,此项错误
D.a3-e-«2=«32=a•此项正确
5.如果一个多边形的每一个外角都是36°,那么这个多边形的边数是()
A.7B.8C.9D.10
【答案】D
【解析】本题考查了多边形外角与边数的关系,利用外角求正多边形的边数的方法,熟练掌握多边
形外角和公式是解决问题的关键.
根据多边形的外角的性质,边数等于360°除以每一个外角的度数.
•一个多边形的每个外角都是36°,二”=360。+36°=10.
6.如图,AB为。。的直径,点C,点。是0。上的两点,连接CA,CD,AD.若NCAB=40°,
【答案】B
【解析】连接BC,如图,利用圆周角定理得到/ACB=90°,则/B=50°,然后利用圆的内接四
边形的性质求NADC的度数.
如图,连接8C,
,:AB为。。的直径,
.•./ACB=90°,
AZB=90°-/048=90°-40°=50°,
VZB+ZADC=180°,
ZADC=180°-50°=130°.
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.分解因式:a1-ab-•
【答案】a(a-b).
【解析】本题考查因式分解-提公因式法.
a2-ab=a(a-b).
8.不等式3(1-x)>2-4x的解为»
【答案】x>-\
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤:去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集,继而可
得答案.
去括号,得:3-3x>2-4x,
移项,得:-3x+4x>2-3,
合并,得:-1
9.若关于x的一元二次方程(x+2)2="有实数根,则”的取值范围是.
【答案】G0.
【分析】将原方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式△》(),即可得出关于〃的一元一
次不等式,解之即可得出〃的取值范围(利用偶次方的非负性也可以找出〃的取值范围).
【解析】原方程可变形为7+4x+4-〃=0.
•••该方程有实数根,
.".△=42-4XlX(4-n)20,
解得:〃20.
10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长
一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,
绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳索长x尺.则符合题意的方
程为。
【答案】$=(x-5)-5
【分析】设绳索长x尺,则竿长(x-5)尺,根据“将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺”,
即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
【解析】设绳索长x尺,则竿长(x-5)尺,
依题意,得:zx~(x-5)-5.
11.如图,两直线交于点。,若Nl+N2=76°,则/1=度.
【答案】38.
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案.
【解析】♦.•两直线交于点O,
VZ1+Z2=76°,
.'.Z1=38O.
AC1
12.如图,ABHCDHEF.若一=—,BD=5,则。尸=
CE2
【答案】10
【解析】根据平行线分线段成比例得到生=处,由条件即可算出DF的值.
CEDF
,/ABHCDHEF,
.ACBD
..=,
CEDF
,,AC1
乂•---=一,BD=5,
CE2
51
■a-----------------------
DF2
:.DF=10
13.如图,在RtZ\A8C中,NACB=90°,AB=4,点D,E分别在边A3,AC上,且O3=2AO,
AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△480面积最大值为.
【解析】1.
DFBD2EC1
【分析】过点D作。/〃4,根据平行线分线段成比例定理可.得则一=—=-根据已知一=
AEBA3AE3
可得力O=2OC,。在以A5为直径的圆上,设圆心为G,当CG_LA3时,△ABC的面积最大为:乙X4
2
X2=8,即可求出此时△AS。的最大面积.
【解析】如图,过点。作。尸〃4区
„DFBD2
则——
AE-3
EC1
AE一3’
:.DF=2EC,
:.DO^2OC,
2
:.DO=jDC,
.22
•*.SAADO=S^BDO=QSABDC,
.2
••S^ABO—'^S/\ABC»
VZACB=90°,
・・・C在以A5为直径的圆上,设圆心为G,
当CGJ_AB时,八钻。的面积最大为:-X4X2=4,
2
28
--
此时△A8。的面枳最大为:33
14.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD^CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫
做“筝形”,筝形ABC。的对角线AC,BO相交于点。.以点8为圆心,B0长为半径画弧,分
别交AB,BC于点、E,F,若NAJBQ=NACD=30°,AD=1,则旗的长为.(结果保
留乃).
兀
【答案】-
2
【解析】根据题意,求出0B的长;根据弧长的公式,代入数据,即可求解.
由题意知:AB=CB,AD^CD,
ABC和LIADC是等腰三角形,AC1BD.
VZABD=ZACD=30°,AD=1
/.0D=—,0A=-
22
3
.,.0B=-.
2
3
;NABD=30°,r=一
2
.,.ZEBF=60°,
60°,0
FF=----2Pr
〃360°
3P'22'
TT
故答案为一.
2
三、解答题(每小题5分,共20分)
15.先化简,再求值:(。+1)2+。(1一。)一1,其中a
【答案】3a,3不
【解析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算,再合并同类项,然后将a=J7代入即
可.
原式=4+2。+1+。一<?-1
二3。
将a=J7代入
原式=3布■
【点睛】本题考查整式的混合运算,二次根式的化简求值.熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项
式法则是解决此题的关键.
16.某工厂生产某种产品,3月份的产量为5000件,4月份的产量为10000件.用简单随机抽样的
方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测,并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统
计图和频数直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产
品为合格产品.
(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率;
(2)在3月份和4月份生产的产品中,估计哪个月的不合格件数最多?为什么?
某工厂3月份生产的某种产品检测
情况的扇形统计图
【答案】见解析。
【分析】(1)根据题意列式计算即可;
(2)分别求3月份.生产的产品中,不合格的件数和4月份生产的产品中,不合格的件数比较即可得
到结论.
解:(1)(132+160+200)4-(8+132+160+200)X100%=98.4%,
答:4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%;
(2)估计4月份生产的产品中,不合格的件数多,
理由:3月份生产的产品中,不合格的件数为5000X2%=100,
4月份生产的产品中,不合格的件数为10000X(1-98.4%)=160,
V100<160,
...估计4月份生产的产品中,不合格的件数多.
17.某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经济”,每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占
地面积多2平方米.建A类摊位每平方米的费用为40元,建8类摊位每平方米的费用为30元.用
60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建8类摊位个数的三.求每个A,B类摊位占地面积
5
各为多少平方米?
【答案】见解析。
【解析】设每个8类摊位的占地面积为x平方米,则每个A类摊位占地面积为(产2)平方米,
60603
根据题意得:——=一・一,
x+2x5
解得:x=3,
经检验x=3是原方程的解,
所以3+2=5,
答:每个A类摊位占地面积为5平方米,每个8类摊位的占地面积为3平方米.
18.如图,在△48C中,ZACB=90°,点E在AC的延长线上,EO_L4B于点。,若BC=ED,求
证:CE=DB.
【解析】由“A4S”可证△A8C出△4EQ,可得A£=AB,AC^AD,由线段的和差关系可得结论.
证明:':EDLAB,
:.ZADE=ZACB=90c,,ZA=ZA,BC=DE,
:./\ABC^/\AEDCAAS),
:.AE=AB,AC=AO,
:.CE=BD.
四、解答题(每小题7分,共28分)
19.图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段
AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、
QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方
形的顶点上.
【答案】见解析——
【解析】(1)如图1所示:四边形AQCP即为所求,它的周长为:4XA/IQ=4^/1Q:
(2)如图2所示:四边形ABCD即为所求.
(图1)(图2)
20.如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边8点处,某测量员从山脚C点
出发沿水平方向前行78米到。点(点A,B,C在同一直线上),再沿斜坡。E方向前行78米到E
点(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC
的高为144.5米,斜坡QE的坡度(或坡比);=1:2.4,求信号塔A8的高度(结果精确到1m)。
(参考数据:sin43°七0.68,cos430=0.73,tan43°-0.93)
A
DC
【答案】25米
【解析】过点E作EF±DC交DC的延长线于点F,过点E作EMLAC于点M,
FDC
•.,斜坡QE的坡度(或坡比)/=1:2.4,CE=CQ=78米,
.,.设EF=x,DF=2Ax.
在R△£>£:尸中,
VEF2+DF2=D£2,即/+(2.4x)2=782,
解得x=30,
尸=30米,DF=72米,
/.CF=DF+DC^72+78=150米.
,:EMI.AC,ACLCD,EFLCD,
,四边形EFCM是矩形,
EM=CF=150米,CM=EF=30米.
在RtAAEM中,
VZAEM=43°,
,AM=EA/・tan43°g150X0.93=139.5米,
.*.AC=AW+CM=139.5+30=169.5米.
AB=AC-BC=169.5-144.5=25米.
21.如图,一次函数了=5+1的图象与反比例函数>=]的图象相交于A(2,m)和2两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点8的坐标.
【答案】见解析。
【分析】U)将点4坐标代入一次函数解析式可求,〃的值,再将点A坐标代入反比例函数解析式,
可求解;
(2)联立方程组可求解.
【解析】⑴:一次函数尸抄1的图象过点A(2,w),
.,.〃?=,x2+l—2,
.,.点4(2,2),
•反比例函数y=§的图象经过点A(2,2),
"=2X2=4,
・・•反比例函数的解析式为:尸*
V=+1
(2)联立方程组可得:[2,
4
Vy=一x
解得:11二:或
.•.点8(-4,-1).
22.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动,调查问卷设置了“非常了解”、“比较了
解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级,要求每名学生选且只能选其中一个等级,随机抽取
了120名学生的有效问卷,数据整理如下:
等级非常了解比较了解基本了解不太了解
人数(人)247218x
(1)求x的值;
(2)若该校有学生1800人,请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类
知识的学生共有多少人?
【答案】见解析。
【分析】(1)根据四个等级的人数之和为120求出x的值;
(2)用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例.
【解析】(1)x=120-(24+72+18)=6;
(2)1800x2/2=144()(人),
答:根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人.
五、解答题(每小题8分,共16分)
23.某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作,当停止工作时,油箱中油量为
5L.在整个过程中,油箱里的油量》(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.
(1)机器每分钟加油量为L,机器工作的过程中每分钟耗油量为L.
(2)求机器工作时y关于X的函数解析式,并写出自变量X的取值范围.
(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.
【答案】(1)3,0.5:(2)y=-;x+35,10<x<60;(3)5或40.
【解析】(1)根据lOmin加油量为30£即可得;根据60min时剩余油量为5L即可得;
(2)根据函数图象,直接利用待定系数法即可得;
(3)先求出机器加油过程中的>关于X的函数解析式,再求出y=15时,两个函数对应的x的值即
可.
【详解】(1)由函数图象得:机器每分钟加油量为二=3(L)
10
30-5
机器工作的过程中每分钟耗油量为
60—10
故答案为:3,0.5;
(2)由函数图象得:当x=10min时,机器油箱加满,并开始工作;当x=60min时,机器停止
工作
则自变量x的取值范围为10WXW60,且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)
设机器工作时》关于%的函数解析式丫=履+人
(10左+〃=30
将点(10,30),(60,5)代入得:「
60%+6=5
k=--
解得,2
6=35
则机器工作时y关于X的函数解析式y=-gx+35;
(3)设机器加油过程中的y关于x的函数解析式y=以
将点(10,30)代入得:10。=30
解得。=3
则机器加油过程中的y关于X的函数解析式y=3x
油箱中油量为油箱容积的一半时,有以下两种情况:
①在机器加油过程中
当y=j"=15时,3x=15,解得x=5
②在机器工作过程中
301
当y=」=15时,一一x+35=15,解得x=40
22
综上,油箱中油量为油箱容积的一半时X的值为5或40.
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点,从函
数图象中正确获取信息是解题关键.
24.一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程,下面结合一道儿何题来体
验一下.
(发现猜想)(1)如图①,己知/AO8=70。,ZAOD=100°,OC为的角平分线,则N4OC
的度数为;.
图①图②
(探索归纳)(2)如图①,ZAOB=m,ZAOD^n,0c为的角平分线.猜想/AOC的度数
(用含"?、〃的代数式表示),并说明理由.
(问题解决)(3)如图②,若NAOB=20。,NAOC=90。,NAOO=120。.若射线0B绕点。以每秒
20。逆时针旋转,射线0C绕点0以每秒10。顺时针旋转,射线0。绕点。每秒30。顺时针旋转,三
条射线同时旋转,当一条射线与直线OA重合时,三条射线同时停止运动.运动几秒时,其中一条射
线是另外两条射线夹角的角平分线?
【答案】见解析。
【解析】(1)85°;
(2)VZAOB=m,ZAOD=n,:.ZBOD^n~m
:0C为的角平分线
n-m
:.ZBOC--2
,„„n-mm+n
/A0C==2
(3)设经过的时间为x秒,
则ZDOA=120°—30x;ACOA=90°—lOx;/80A=20°+20x:
3
①当在之前,OC为OB,。。的角平分线;30—20x=70—30x,箱=4(舍);
②当x碍和2之间,OD为OC,13
08的角平分线;-3O+2Ox=IOO-5Ox,X2=—
③当x在2和〈之间,OB为OC,17
0。的角平分线;70-30x=-100+50x,
X3一石
④当x在(和4之间,OC为OB,
。。的角平分线:-70+30x=-30+20x,X4—4.
1317
答:经过与,V-4秒时,其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
/O
【点拨】本题考查了角平分线的性质,一元一次方程的应用,解决本题的关键是熟练掌握角平分线
的性质,理清各个角之间存在的数量关系,根据数量关系列出方程.
六、解答题(每小题10分,共20分)
25.如图1,RtA4?C中,NACB=90。,AC=6cm,BC=8cm,动点尸从点B出发,在BA边上以
每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点。从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点8
匀速运动,运动时间为“少(0<t<2),连接尸。.
(1)若△8PQ与△A8c相似,求/的值;
(2)如图2,连接A。、CP,若AQLCP,求/的值;
(3)试证明:尸。的中点在△ABC的一条中位线上.
图1图2
【签素】见解析。
【解析】ABP。与AA8C有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程.
作尸。工8c于O,动点尸、。的速度,暗含了BO=CQ.
尸。的中点”在哪条中位线上?画两个不同时刻尸、。、H的位置,一目了然.
(I)RS48C中,AC=6,8c=8,所以48=10.
△BPQSAABC相似,存在两种情况:
g加由BPBA丽/5t
①如果一=——,那么——解得,=1.
BQBC8-4?8
三hn田BPBC
②如果一=——,那m么/—.解得工=必
BQBA8-4r1041
图3图4
(2)作尸。_L8C,垂足为D
4
在RS8P。中,BP=5f,cosB=-,所以3O=5Pcos5=4/,PD=3九
5
当AQLCP时,△ACQSACOR
「「I”ACCD日n68—4/7
所•以一=—,即一=----.解得
QCPD4t3r8
图5图6
(3)如图4,过PQ的中点”作8C的垂线,垂足为R交AB于E.
由于,是尸。的中点,HF//PD,所以尸是。。的中点.
又因为8O=CQ=4/,所以8F=C£
因此F是BC的中点,E是AB的中点.
所以P。的中点,在△ABC的中位线EF上.
26.已知抛物线y=o?—2ax+c过点A(—1,0)和C(0,3),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
(2)如图1,E为线段8C上方的抛物线上一点,EF1BC,垂足为EEMLx轴,垂足为M,
交BC于点G.当3G=b时,求匚EPG的面积;
(3)如图2,AC与89的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使
NOPB=NAHB?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
(2)先求出BC的解析式y=-x+3,再设直线EF的解析式为y=x+Z\设点E的坐标为
(见一M+2机+3),联立方程求出点F,G的坐标,根据BG2=C/2列出关于m的方程并求解,
然后求得G的坐标,再利用三角形面积公式求解即可;
(3)过点A作ANXHB,先求得直线BD,AN的解析式,得到H,N的坐标,进而得到NH=45°,
设点p(〃,一〃之+2〃+3),过点P作PRx轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR,证明DOPS困OP8,
根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程,求得后即可得到点P的坐标.
详解】(1)把点A(-1,0),C(0,3)代入y=QX2—2or+c中,
。+2。+c=0
[c=3,
a=—\
解得〈o,
c=3
/.y——+2x+3,
当%=---=1B't,y=4,
・•・0(1,4)
(2),/y=
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