2021年中考数学压轴模拟试卷01 （吉林省专用）（解析版）

2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷

2021年中考数学压轴模拟试卷01（吉林省专用）

（满分120分，答题时间120分钟）

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.-6的相反数是（）

A.-6B.--C.6D.—

66

【答案】c

【解析】根据相反数的定义，即可解答.

-6的相反数是：6

2.今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日.目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然

遗产总面积约68000加？.将68000用科学记数法表示为（）

A.6.8X104B.6.8X105C.0.68X105D.0.68X106

【答案】A

【解析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中1W同＜10,〃为整数.确定"的值是易错

点，由于68000有5位，所以可以确定“=5-1=4.

68000=6.8X104.

【答案】A

【解析】根据平面与曲面的概念判断即可.

A.六个面都是平面，故本选项正确；

B.侧面不是平面，故本选项错误：

C.球面不是平面，故本选项错误；

力.侧面不是平面，故本选项错误.

4.下列运算正确的是（）

A.。2“3=。6B.（/丫=/C.（2a）2=2/D./十。2=4

【答案】D

【解析】根据同底数基的乘除法、募的乘方、积的乘方逐项判断即可.

A.。2.03="+3=/,此项错误

B.（G2）3=«2x3=a6,此项错误

C.（2a）2=4〃，此项错误

D.a3-e-«2=«32=a•此项正确

5.如果一个多边形的每一个外角都是36°,那么这个多边形的边数是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】本题考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边

形外角和公式是解决问题的关键.

根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数.

•一个多边形的每个外角都是36°,二”=360。+36°=10.

6.如图，AB为。。的直径，点C,点。是0。上的两点，连接CA,CD,AD.若NCAB=40°,

【答案】B

【解析】连接BC,如图，利用圆周角定理得到/ACB=90°,则/B=50°,然后利用圆的内接四

边形的性质求NADC的度数.

如图，连接8C,

,：AB为。。的直径，

.•./ACB=90°,

AZB=90°-/048=90°-40°=50°,

VZB+ZADC=180°,

ZADC=180°-50°=130°.

二、填空题(每小题3分，共24分)

7.分解因式：a1-ab-•

【答案】a(a-b).

【解析】本题考查因式分解-提公因式法.

a2-ab=a(a-b).

8.不等式3(1-x)>2-4x的解为»

【答案】x>-\

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可

得答案.

去括号，得:3-3x>2-4x,

移项，得：-3x+4x>2-3,

合并，得：-1

9.若关于x的一元二次方程(x+2)2="有实数根，则”的取值范围是.

【答案】G0.

【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式△》()，即可得出关于〃的一元一

次不等式，解之即可得出〃的取值范围(利用偶次方的非负性也可以找出〃的取值范围).

【解析】原方程可变形为7+4x+4-〃=0.

•••该方程有实数根，

.".△=42-4XlX(4-n)20,

解得：〃20.

10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长

一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，

绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺.则符合题意的方

程为。

【答案】$=（x-5）-5

【分析】设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，

即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【解析】设绳索长x尺，则竿长（x-5）尺，

依题意，得：zx~（x-5）-5.

11.如图，两直线交于点。，若Nl+N2=76°,则/1=度.

【答案】38.

【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案.

【解析】♦.•两直线交于点O,

VZ1+Z2=76°,

.'.Z1=38O.

AC1

12.如图，ABHCDHEF.若一=—,BD=5,则。尸=

CE2

【答案】10

【解析】根据平行线分线段成比例得到生=处，由条件即可算出DF的值.

CEDF

,/ABHCDHEF,

.ACBD

..=,

CEDF

,,AC1

乂•---=一,BD=5,

CE2

51

■a-----------------------

DF2

:.DF=10

13.如图，在RtZ\A8C中，NACB=90°,AB=4,点D,E分别在边A3,AC上，且O3=2AO,

AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△480面积最大值为.

【解析】1.

DFBD2EC1

【分析】过点D作。/〃4,根据平行线分线段成比例定理可.得则一=—=-根据已知一=

AEBA3AE3

可得力O=2OC,。在以A5为直径的圆上，设圆心为G,当CG_LA3时，△ABC的面积最大为：乙X4

2

X2=8,即可求出此时△AS。的最大面积.

【解析】如图，过点。作。尸〃4区

„DFBD2

则——

AE-3

EC1

AE一3’

：.DF=2EC,

：.DO^2OC,

2

：.DO=jDC,

.22

•*.SAADO=S^BDO=QSABDC，

.2

••S^ABO—'^S/\ABC»

VZACB=90°,

・・・C在以A5为直径的圆上，设圆心为G,

当CGJ_AB时，八钻。的面积最大为：-X4X2=4,

2

28

--

此时△A8。的面枳最大为：33

14.如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD^CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫

做“筝形”，筝形ABC。的对角线AC,BO相交于点。.以点8为圆心，B0长为半径画弧，分

别交AB，BC于点、E，F，若NAJBQ=NACD=30°,AD=1，则旗的长为.（结果保

留乃）.

兀

【答案】-

2

【解析】根据题意，求出0B的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解.

由题意知：AB=CB,AD^CD,

ABC和LIADC是等腰三角形，AC1BD.

VZABD=ZACD=30°,AD=1

/.0D=—,0A=-

22

3

.,.0B=-.

2

3

；NABD=30°,r=一

2

.,.ZEBF=60°,

60°,0

FF=----2Pr

〃360°

3P'22'

TT

故答案为一.

2

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.先化简，再求值：（。+1）2+。（1一。）一1,其中a

【答案】3a,3不

【解析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将a=J7代入即

可.

原式=4+2。+1+。一＜?-1

二3。

将a=J7代入

原式=3布■

【点睛】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值.熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项

式法则是解决此题的关键.

16.某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件.用简单随机抽样的

方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统

计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）.已知检测综合得分大于70分的产

品为合格产品.

（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？

某工厂3月份生产的某种产品检测

情况的扇形统计图

【答案】见解析。

【分析】(1)根据题意列式计算即可;

(2)分别求3月份.生产的产品中，不合格的件数和4月份生产的产品中，不合格的件数比较即可得

到结论.

解：(1)(132+160+200)4-(8+132+160+200)X100%=98.4%,

答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；

(2)估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，

理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为5000X2%=100,

4月份生产的产品中，不合格的件数为10000X(1-98.4%)=160,

V100<160,

...估计4月份生产的产品中，不合格的件数多.

17.某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占

地面积多2平方米.建A类摊位每平方米的费用为40元，建8类摊位每平方米的费用为30元.用

60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建8类摊位个数的三.求每个A,B类摊位占地面积

5

各为多少平方米？

【答案】见解析。

【解析】设每个8类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(产2)平方米，

60603

根据题意得：——=一・一,

x+2x5

解得：x=3,

经检验x=3是原方程的解，

所以3+2=5,

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个8类摊位的占地面积为3平方米.

18.如图，在△48C中，ZACB=90°，点E在AC的延长线上，EO_L4B于点。，若BC=ED,求

证：CE=DB.

【解析】由“A4S”可证△A8C出△4EQ,可得A£=AB,AC^AD,由线段的和差关系可得结论.

证明：'：EDLAB,

：.ZADE=ZACB=90c,,ZA=ZA,BC=DE,

：./\ABC^/\AEDCAAS),

：.AE=AB,AC=AO,

：.CE=BD.

四、解答题(每小题7分，共28分)

19.图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段

AC的两个端点均在小正方形的顶点上.

(1)如图1,点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、

QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长；

(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方

形的顶点上.

【答案】见解析——

【解析】(1)如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4XA/IQ=4^/1Q：

(2)如图2所示：四边形ABCD即为所求.

（图1）（图2）

20.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边8点处，某测量员从山脚C点

出发沿水平方向前行78米到。点（点A,B,C在同一直线上），再沿斜坡。E方向前行78米到E

点（点A,B,C,D,E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC

的高为144.5米，斜坡QE的坡度（或坡比）;=1：2.4,求信号塔A8的高度（结果精确到1m）。

（参考数据:sin43°七0.68,cos430=0.73,tan43°-0.93）

A

DC

【答案】25米

【解析】过点E作EF±DC交DC的延长线于点F,过点E作EMLAC于点M,

FDC

•.,斜坡QE的坡度（或坡比）/=1：2.4,CE=CQ=78米,

.,.设EF=x,DF=2Ax.

在R△£>£：尸中，

VEF2+DF2=D£2,即/+（2.4x）2=782,

解得x=30,

尸=30米,DF=72米,

/.CF=DF+DC^72+78=150米.

,：EMI.AC,ACLCD,EFLCD,

，四边形EFCM是矩形，

EM=CF=150米，CM=EF=30米.

在RtAAEM中，

VZAEM=43°,

，AM=EA/・tan43°g150X0.93=139.5米，

.*.AC=AW+CM=139.5+30=169.5米.

AB=AC-BC=169.5-144.5=25米.

21.如图，一次函数了=5+1的图象与反比例函数>=］的图象相交于A(2,m)和2两点.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)求点8的坐标.

【答案】见解析。

【分析】U)将点4坐标代入一次函数解析式可求，〃的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式,

可求解；

(2)联立方程组可求解.

【解析】⑴：一次函数尸抄1的图象过点A(2,w),

.,.〃?=,x2+l—2,

.,.点4(2,2)，

•反比例函数y=§的图象经过点A(2,2),

"=2X2=4,

・・•反比例函数的解析式为：尸*

V=+1

（2）联立方程组可得：［2,

4

Vy=一x

解得:11二:或

.•.点8（-4,-1）.

22.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了

解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取

了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

等级非常了解比较了解基本了解不太了解

人数（人）247218x

（1）求x的值；

（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类

知识的学生共有多少人？

【答案】见解析。

【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x的值；

（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例.

【解析】（1）x=120-（24+72+18）=6；

(2)1800x2/2=144()(人)，

答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人.

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为

5L.在整个过程中，油箱里的油量》（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示.

(1)机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L.

(2)求机器工作时y关于X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围.

(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.

【答案】(1)3,0.5：(2)y=-;x+35,10<x<60；(3)5或40.

【解析】(1)根据lOmin加油量为30£即可得；根据60min时剩余油量为5L即可得;

(2)根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；

(3)先求出机器加油过程中的>关于X的函数解析式，再求出y=15时，两个函数对应的x的值即

可.

【详解】(1)由函数图象得：机器每分钟加油量为二=3(L)

10

30-5

机器工作的过程中每分钟耗油量为

60—10

故答案为：3,0.5；

(2)由函数图象得：当x=10min时，机器油箱加满，并开始工作；当x=60min时，机器停止

工作

则自变量x的取值范围为10WXW60,且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)

设机器工作时》关于％的函数解析式丫=履+人

(10左+〃=30

将点(10,30),(60,5)代入得：「

60%+6=5

k=--

解得，2

6=35

则机器工作时y关于X的函数解析式y=-gx+35；

(3)设机器加油过程中的y关于x的函数解析式y=以

将点(10,30)代入得：10。=30

解得。=3

则机器加油过程中的y关于X的函数解析式y=3x

油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：

①在机器加油过程中

当y=j"=15时，3x=15,解得x=5

②在机器工作过程中

301

当y=」=15时，一一x+35=15,解得x=40

22

综上，油箱中油量为油箱容积的一半时X的值为5或40.

【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函

数图象中正确获取信息是解题关键.

24.一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道儿何题来体

验一下.

（发现猜想）（1）如图①，己知/AO8=70。，ZAOD=100°,OC为的角平分线，则N4OC

的度数为;.

图①图②

（探索归纳）（2）如图①，ZAOB=m,ZAOD^n,0c为的角平分线.猜想/AOC的度数

（用含"?、〃的代数式表示），并说明理由.

（问题解决）（3）如图②，若NAOB=20。，NAOC=90。，NAOO=120。.若射线0B绕点。以每秒

20。逆时针旋转，射线0C绕点0以每秒10。顺时针旋转，射线0。绕点。每秒30。顺时针旋转，三

条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动.运动几秒时，其中一条射

线是另外两条射线夹角的角平分线？

【答案】见解析。

【解析】（1）85°；

(2)VZAOB=m,ZAOD=n,：.ZBOD^n~m

：0C为的角平分线

n-m

：.ZBOC--2

,„„n-mm+n

/A0C==2

（3）设经过的时间为x秒,

则ZDOA=120°—30x；ACOA=90°—lOx；/80A=20°+20x：

3

①当在之前，OC为OB,。。的角平分线；30—20x=70—30x,箱=4（舍）；

②当x碍和2之间，OD为OC,13

08的角平分线;-3O+2Ox=IOO-5Ox,X2=—

③当x在2和〈之间，OB为OC,17

0。的角平分线;70-30x=-100+50x,

X3一石

④当x在（和4之间，OC为OB,

。。的角平分线:-70+30x=-30+20x,X4—4.

1317

答：经过与，V-4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.

/O

【点拨】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线

的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.

六、解答题（每小题10分，共20分）

25.如图1,RtA4?C中，NACB=90。，AC=6cm,BC=8cm,动点尸从点B出发，在BA边上以

每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点。从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点8

匀速运动，运动时间为“少（0<t<2）,连接尸。.

(1)若△8PQ与△A8c相似，求/的值;

(2)如图2,连接A。、CP,若AQLCP,求/的值;

(3)试证明：尸。的中点在△ABC的一条中位线上.

图1图2

【签素】见解析。

【解析】ABP。与AA8C有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程.

作尸。工8c于O,动点尸、。的速度，暗含了BO=CQ.

尸。的中点”在哪条中位线上？画两个不同时刻尸、。、H的位置,一目了然.

(I)RS48C中，AC=6,8c=8,所以48=10.

△BPQSAABC相似，存在两种情况:

g加由BPBA丽/5t

①如果一=——，那么——解得，=1.

BQBC8-4?8

三hn田BPBC

②如果一=——，那m么/—.解得工=必

BQBA8-4r1041

图3图4

（2）作尸。_L8C,垂足为D

4

在RS8P。中，BP=5f,cosB=-,所以3O=5Pcos5=4/,PD=3九

5

当AQLCP时，△ACQSACOR

「「I”ACCD日n68—4/7

所•以一=—，即一=----.解得

QCPD4t3r8

图5图6

（3）如图4,过PQ的中点”作8C的垂线，垂足为R交AB于E.

由于，是尸。的中点，HF//PD,所以尸是。。的中点.

又因为8O=CQ=4/,所以8F=C£

因此F是BC的中点，E是AB的中点.

所以P。的中点，在△ABC的中位线EF上.

26.已知抛物线y=o?—2ax+c过点A（—1,0）和C（0,3）,与x轴交于另一点B,顶点为D.

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图1,E为线段8C上方的抛物线上一点，EF1BC,垂足为EEMLx轴，垂足为M,

交BC于点G.当3G=b时，求匚EPG的面积；

（3）如图2,AC与89的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使

NOPB=NAHB?若存在,求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

(2)先求出BC的解析式y=-x+3,再设直线EF的解析式为y=x+Z\设点E的坐标为

(见一M+2机+3),联立方程求出点F,G的坐标，根据BG2=C/2列出关于m的方程并求解，

然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；

(3)过点A作ANXHB,先求得直线BD,AN的解析式，得到H,N的坐标，进而得到NH=45°，

设点p(〃，一〃之+2〃+3),过点P作PRx轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR,证明DOPS困OP8，

根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标.

详解】(1)把点A(-1,0),C(0,3)代入y=QX2—2or+c中，

。+2。+c=0

[c=3，

a=—\

解得〈o，

c=3

/.y——+2x+3,

当％=---=1B't,y=4,

・•・0(1,4)

(2),/y=