2021福建莆田高三数学高考模拟三模测试卷含答案解析

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2021福建莆田高三数学高考模拟三模测试卷含答案解析

莆田市2021届高中毕业班第三次教学质量检测试卷

数学

注意事项：

।.答题前•考牛.务必将H己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.叫答选择题时，选出每小题答案后,用伊罐把答题卡上对应题目的答案标号涂

如।省改动•川橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在

答期卡L：・n在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1

题目要求的.

1.巳知集合八=（762]-3〈工<5）,8=6加+1>0）,则人（18的元素个数为

A.0B.3C.4D.5

2.在aABC中，若AB=bAC=5,sin-AC=

A.3B.±3Q4D.±4

3.函数/⑺=cosZ一十的图象的切线斜率可能为

A.―B.—2C.—1-D.-4

4.跑步是一项有僦运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂/

的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑

8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米,则他要完成该计划至少需要

A.16天B.17夭C.18天D.19天

5.明朝的一个葡箱纹椭网盘如图（1）所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示

北宋的一个汝窑例假I秋如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1）,（2）,G

中椭WI的长轴长与短轴长的比值分别为号，第，票,设图⑴，⑵，⑶中椭圆的离心率分别:

«|，佻，々，则

d)

A.%»小

C.ei>e2>e3

【数学试运第1页（共4页）】

•21-0I-I0B

1/4

6,下列各项中•是（、/的展开式的项为

A,15R-20/C.15/D.-20/

7.某服装店开张箝一网进店消费的人数傩天都在变化，设第*】47W7,JWN）大进店消费的

人数为.、,•且丫与里］（口］表示不大于，的最大整数）成正比，第1天有10人进店消费，则第4

天进店消费的人数为

A.74R76C.78D.80

&在三校柱ABC-ABCi中・D为俱棱CG的中点，从该三楼柱的九条极中做机选取两条•则

这两条校所在直线至少有一条与直线BD异面的榻率是

正告B.||C.看D-f

二、选择图:'本题共工'小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若】•则

A«4&jr—}W8

B.丁费的最小值为10

C.—2&N-

D.的最小值为9

10.已知函数/（x）=tanx—sinxcos工.则

A./《”的最小正周期为工

氏/Gr）的图象关于3,轴对称

C/G）的图象关于（:，0）对称

D.八心的图象关于Gr.O）对称

）1.已知曲线（,的方程为£^寸=!4•+2M,圆M：Q-5）'+9=/">0）,则

A.C表示一条直线

B.当，=4时・C与圆M有3个公共点

C.当7=2时.存在圆N,使得圆N与因M相切，且闻N与C有4个公共点

D.当C与国M的公共点出多时,，的取值范围是（4,+8）

12.如图.函数/"）的图象由一条射线和拗物线的一部分构成“八H的零点为T，则

A.函数四口）=/"）一/（4）•lg§有3个零点r

K/<J-I）^log.lttlrfia\

C.南故&</）=1/（1”-华有4个零点

”•/口一・）-.小）恒成立

：

(HTiXMMnin4fl))OI-WIC*

2/4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.写出一个虚数=,使得/+3为纯虚数，则z=__A_

14.已知双曲线C：M—W=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为为C左支上一点，N

ab

为线段MFn上一点，且|MM=|MBI,P为线段NB的中点.若|FEI=4|0P|(。为坐

标原点)，则C的渐近线方程为A.

15.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工

人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

A区B区C区DKE区

外来务工人员数50004000350030002500

留在当地的人数占比80%90%80%80%84%

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数h的线性回归方程为$=

0.8135x+a.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000.名外

来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总

额为A万元(参考数据:取0.8135X36=29.29)

16.如图，正四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面

PAB是等边三角形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球

与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=73,6=2.

(1)若A=冬，求cos2Bi

(2)若c=3,求△ABC的面积.

18.(12分)

某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐

会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则雷停举行,根据气象部门的天气预报得知,在周一

到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为Px，后两天每天出现风雨天气

的概率均为生，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气

的概率为十，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为谯.

(1)求该社区能举行4场音乐会的概率；

(2)求该社区举行音乐会场数X的数学期望.

【数学试题第3页(共4页)】

,21-04-401C«

3/4

T/IU

19.(12分)

在数列｛a“｝中.4=2,(n'+l)a”+i=2[(n—IT+Ija”

(1)求｛a“｝的通项公式,

(2)在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分.

①设。”=，产a.,数列｛几)的前n项和为7“,证明：—2.

②设4=6,-2nZ+2n)a”,求数列仍”｝的前n项和T”

20.(12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆。(O为圆

心)过点A,且AO=AC=AP=2,PAJL底面ABCD,M为PC的中点.

(D证明：平面OAM_L平面PCD.

(2)求二面角。一MD-C的余弦值.

21.(12分)

已知函数/(H)=mGr+l尸一l-21nz

(D讨论/(工)的单调性；

(2)当了6口，2：]时,/(工)40,求m的取值范围.

22.(12分)

巳知F为抛物线C：H2=2"(Q>0)的焦点，直线/d=2工+1与C交于A,B两点，且|AF|

+|BF|=20.

(1)求C的方程.

⑵若直线m：、=2H+“eRD与C交于M,N两点，且AM与BN相交于点T,证明：点T

在定直线上.

I数学斌JS第4页(共4页”•21-04-401C-

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莆田市2021届高中毕业班第三次教学质量检测试卷

数学参考答案

1.D【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.

因为4=（-2,—1,0,1,2,3,4},8=61>0>一：1},所以人口8={0」,2,3,4}.

2.D【解析】本题考查平面向量的数量积，考查推理论证能力.

在ZkABC中，因为sinA=［■，所以8sA=±~|•，所以卷•荏=3|•lACIcosA=±4.

3.A【解析】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力.

因为f（x）=-sinx+p->—sin1,所以切线的斜率可能为一!•，不可能为-2,-1-»—4.

4.B【解析】本题考查等差数列的应用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养.

依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位:千米）依次成等差数列，且首项为8,公差为0.5,设经过

九天后他完成健身计划，则8中丐罢X3》200,整理得H»4-31H-800>0.

因为函数人力="+31工一800在［1,+8）上为增函数，且f（16）V0,f（17）>0,所以417.

5.A【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据处理能力与推理论证能力.

因为椭圆的离心率—所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为号仁

1.44筏24,¥21.43,所以&>0>a.

6.C【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力与推理论证能力.

（々一力，的展开式中第3项为凌（行）气一多占15「

7.C【解析体题考查函数模型的应用，考查应用意识与数学建模的核心素养.

依题意可设尸当x=l时,y=5A=10,解得42,故当x=4时，

y=2X［今］.因为今=39.1,所以［=39,所以y=2X［3］=78.

8.B【解析】本题考查异面直线的判定、排列组合的应用、古典概型,考查直观想象、推G

理论证的核心素养.

如困，这九条棱中，与BD共面的是30,88］，«,8】6，例,共五条,故所求概率「L

9./A谭B【解析】本题考查不等式的性质与基本不等式的应用，考查推理论证能力.4Iy4

因为1&X<3«5,所以44z+y<8,—44Z—y<0.因为x十3十=］+

*y

5+>>+半>2+2•/16^=10,

当且仅当x=l,y=i时，等号成立，所以H+y+^+q的最小值为1。

因为GH•十）（>+$=工>•噎+5》2A+5=9,当且仅当初=2时，等号成立，但1«3«5,巧取

不到2,所以（工+°）（y+=）的最小值不是9.

10.ACD【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养.

【数学试题•参考答案第1页（共6页）】•2104401C•

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因为,=由工与、=，E<183%的最小正周期均为it,所以fCz)的最小正周期为n.

因为八一分=一八工)力/(力，所以人%)是奇函数,其明象不关于y轴对称.

因为/(K—x)="tanx+sinxcos工=一/(工),所以fCz)的图象关于(},0)对称.

因为/(2x—x)=—tan工+sinxcos工=一代力,所以fCz)的图象关于(x,0)对称.

11.BC【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

由/x—y1=|x4-2y|,得x*+y*=|x4-2y|,=j?4-4xy4-4y,,BPy(4z+3y)=0,

则c表示两条直线，其方程分别为y=0与4x+3y=0.因为M(5,0)到直线4x+3y=0的距离d=§=4,

所以当，=4时，直线4x+3>=0与圆M相切，易知直线y=0与圆M相交,C与圆M有3个公共点.当r=

2时,存在圆N,使得圆M内切于圆N,且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点.C与圆M的公

共点的个数的最大值为4,当r=5时，公共点的个数为3.

12.BCD【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想.

由题可知射线经过点(一年,0),(1,2),则射线的方程为尸母工+著(工41).由图可知〃|工|)>"0)=

■|•.当心1时，设“H)=m(H-2A+lGn>0),因为/(D=m+1=2,所以m=l.由此得/⑷=5,又

51g■!■=■翁VI,所以gG)只有1个零点.因为零=_|_£52),所以“工)有4个零点.

令"G="14(<2),则诙方程的解为与=亚产，4=2-,4=2+QT,

x>-xi=2+yFT令TF3!=K«ZC1),

则4一%=2+2-幽平^=一:“一纣+1|<卷故八工+||)〉/(工)恒成立.

13.1+2K答案不唯一，只要x的实部与虚部的平方差为一3,且实部、虚部均不为0即可得分)

【解析】本题考查发数的概念，考查推理论证能力与运算求解能力.

设z=a+bi(a,beR,b^O)，则?+3=o,-/+3+2疝，因为?+3为纯虚数，所以<?一”=一3且a原0.

14.y=±V3z(Jfi73x±y=0)[解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想.

因为IBF,|=4lOP|,所以|QP|="1•，所以INF»l=2|OP|=c，又|峭|一|班|=川61=24,所以<:=%，

所以，+"C的渐近线方程为y=±V3x,

a

15.818.6【解析】本题考查线性回归方程的应用，考查数据处理能力.

工=幽土酗.+3R0+3000+25竺=3600.依题意可得A,B,C,D,E五个地区的外来务工人员中，留在当

地的人数分别为4000,3600,2800,2400,2100,则y=4000+3600+20+2400+2100=2980因为、=

0.813sz+2,所以代入数据,得2=2980—0.8135X3600=2980-100X29.29=51.当x=10000时；=

0.8135X10000+51=8186,故补贴总额约为8186X1000=818.6万元.

/P

16.慕【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解/张

能力，

如图，连接PO,BD,取8的中点E,连接PEQE,过。作OHJLPE于H,易知/春&方海?°

POJL底面ABCD,设AB=4,则BD=/BA'+BC8=4信BO=JBD=20£..»：：：二：：：*/^

2BC

PO==2V?.设球M的半径为R,半球。的半径为R。,则R=242.易知R>=OH,则食=器

，

【数学试题•参考答案第2页(共6页)]-218401C

2/6

=Q^=_1-故匕噂B=N____?—=工(员)3=遮

PE存'政入途2(R)18,

17•解，⑴由正弦定理急=各哈白，...............................................2分

2

解得sinB=亨，...............................................................................

所以cos2B=1-2sin'B="1'...........................................................................................................5分

(2)由余弦定理得8sA=小安里=年........................................................

则sin................................................................................................................................8分

故AABC的面积S=*fcsinA=空・.........................................................

评分细则：

【1】第⑴问解析第TT未写急=表不扣分，得出sinB=§,直接写cos田=母，没有写倍角公式扣1分.

【2】第(2)向中，未单独求sinA的值,但得到$=+加5必4=岑不扣分.

18.解式1)因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为1•，所以0，则加=3・................................1分

]oq

因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为鬃，

所以]_<1_科)'(1_的>=黑，...........................................................分

又初=-1•，所以/>»=母.......................................................................

设“该社区能举行4场音乐食•为事件A,

JUP(A)-Q4-X(I—|-)*ax4(i—............................................5分

CiQUVWJ77

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5.....................................................................................................6分

「。=0)=号>(卷>=,，..................................................................

p(x=D=a<4-),x-5-x(4)t+<4->*Q4x-r=^>...................................................................分

L43L0040

P(X=2)=(3-|-a—|-),(-|-),+Cl(-1-),(l—1-)C|-|x-1-+(y>>(l—.................9分

p(x=3)=a-4)'©»+aQ-4xa4x4'+a(4')，(i一等"i一卷/=悬，……】。分

40L6U04匕。

P(X=°=悬,P(X=5)=1-翳表......................................................................................11分

所以EQO=1X会+2X悬+3X舞+4X悬+5X袤=器................................12分

评分细则：

口】第⑴问中，只要得到必=方即得1分，得到力=等即得2分.

【2】第(2)问中,E(X)的最后结果写为1.9不扣分.

【数学试题•参考答案第3页(共6页)】•2104401C•

3/6

19.解：⑴因为("+D<Md=2[(n-D'+l]a-，且m=2,

所以数列｛[(n-D'+ljA.)是首项为2,公比为2的等比数列，..............................2分

Hlj[(»-1)»+1K=2",......................................................................................................................4分

所以+1=T-Xi+2....................................................................................................§分

(2)选①

因为4=；7^，且......................................................8分

所以4=了套产，...................................................................9分

因此兀＞2+22+…+2"=驾三科=21rH-2,即兀321rH-2......................................................12分

选②

因为A=5'-27?+271)4=71•2",....................................................................................................6分

所以0=2+2X22+…2%........................................................................................................7分

M2X.=2,+2X2,+-+n-r*1,...................................................................................................8分

则一，=2+2'+2*+・・・+2--7i-rH............................................................................................9分

=(1-H)・21rM-2,...........................................................................................................................11分

故T；=Gr-D-21rH+2...............................................................................................................12分

评分细则；

(1]第(D问指出数列位b一是首项为2,公比为2的等比数列，首项如果错了而公比正确，本题

只给1分.

【2】第(2)问中的两个条件要二选一，如果都作答，则按第一个条件解答计分.

20.(1)证明：由题意点A为圆。上一点，则AB_LAC..........................................................................1分

由PAJ_底面ABCD,知PA_LAR又PAf)AC=A，因此AB,平面PAC,......................................2分

则ABJLAM,又AB〃CD,则AMJLCD.............................................................................................3分

因为AC=AP,M为PC的中点，所以AMJ_PC...............................................................................4分

又CDnPC=C,所以AM_L平面PCD.............................................................................................5分

因为AMZ平面QAM,所以平面QAMJL平面PCD...........................................................................6分

(2)解:如图，以A为原点，⑥的方向为工轴的正方向建立空间直

角坐标系A

JliJC(0,2,0),D(-2V3,2,0),M(0,l,l),CXV3,l,0),

avi=(-/3,O,l),dD=(-3i/3,l,O).............................7分

设u=(工，的外为平面QMD的法向量，

(n•QiCi=0,f—J3x+x=o,

则汴尽乂厂....................8分

In•。。=0,I—3V3x4-y=0.

令工=1,得见=(1,3，渡)・..............................................................9分

由(D可知,AM,平面PCD,则平面CDM的一个法向量........................10分

所以向=1音商=嘴^........................................................11分

由图可知二面角0-MD-C为锐角，故二面角O-MD-C的余弦值为注警.................12分

【教学试题•参考答案第4页(共6页”・2104401C・

4/6

评分细则：

口】第（1）问严格按步骤给分.

【2】第（2）问中，平面OMD的一个法向量只要与”=（1,3右/力共线即可得分.

21.解:⑴八力二/工+》一看=？0"11：7"1—。,？〉。.....................................1分

①当m40时，显然fGOVO,此时人工）在（0,+8）上单调递减...............................2分

②当m>0时，令人力<0,得0<1<乌王而一当令外工）>0,得工>乌十如一亮.....3分

所以人工）在（。,"尸一多）上单调递减，在（，啜冲一等,+8）上单调递增.............4分

£>m44mt>

（2）由于对一切工6口,2工人工）40恒成立，所以芸群.......................5分

14*.-7—41nx

构造函数F8=母群,工€口岗,则F3=展+1"................................6分

再令g（H）=^-41nH,工£［1,2］,所以/（工）=一/心<0道（工）在口,2：|上单调递减...........7分

因为g（l）=2>0,g（2）=l-41n2V0,所以存在唯一的为《（1,2）,使g（a）=0,...............8分

且当H«1,H）时,g（H>>0;当工€5,21时,g（H）V0,所以尸（工）在［1血）上单调递增，在5,2：］上单调

递减....................................................................................9分

因为5=lne?<ln3SVln2*=81n2,....................................................10分

所以F（2）—则F（H）4=F（D=：,..................................11分

004

从而mW—■，即m的取值范围是（-8,............................................12分

评分细则，

【1】第Q）问中,未写定义域或未说明工>0,但求导正确不扣分.

【2】第（2）问中,解法二如下：

由于对一切工6口,2」,八1）40值成立,所以八1）=4s-140,得》<十.......................6分

下面证明当时,/（工）《。对一切工6口,2］恒成立.

要证此结论成立，只需证明当•时,义工）W0对一切工任［1,2］恒成立，......................7分

此时人工）=/（工+1>-1-2111工,/7工）=丐尹.令人工）=0,得工二e（i，2）,且人工）在

口,乌二b上单调递减，在（玛二L2J上单调递增..........................................8分

因为5=lne$<ln3s<ln2,=8ta2,....................................................9分

所以=■—21n2<0.............................................................10分

又八1）=0,所以当•时，结论成立....................................................11分

综上,m的取值范围是（一8,毋］................................................................

22.（1）解:设AGci,xbBG：,》