福建省福州市九师教学联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题 附答案

2023-2024学年第一学期福州市九师教学联盟1月联考高一数学试卷完卷时间：120分钟；满分：150分；命题人：徐奇玲一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。）1．已知集合A=x−1<x<2,B=xx>1，则A∪B=（A．x−1<x<1B．x1<x<2C．xx>−1 2．下列命题中的真命题是（

）A．若a>b，则ac>bcB．若ac2C．若a>b，则ab>1D．若a>b,c>d3．函数y=ln3−x的大致图象为（

A．B．C．D．4．“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的（

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．已知tanα=2，则sin2α−3sinαA．−2 B．2 C．0 D．−6．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λlog3n（λ为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=6,T=60．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为（A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．197．已知命题：∃x0∈R,ax0A．−∞,−1∪0,+∞ B．−1,0 8．已知函数fx的定义域为R,fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=ax2+bA．52B．74C．−3一、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的。）9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列结论正确的是（

）A．ab>ac B．logba>10．已知函数f(x)=2cos2x+π6，则（A．函数f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x=5C．f(x)的图象关于点π3,0对称 D．f(x)在区间11．下列说法错误的是（

）A．若α终边上一点的坐标为3k,4kk≠0，则B．若角α为锐角，则2α为钝角C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为D．若sinα+cosα=112．若f(x)=|sinx+3cosx|+|A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)的对称轴方程为x=kπ2C．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在x1,x2∈[−5πD．若函数g(x)=2f(x)+b，x∈[0,25π12]，（b则x三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）13．已知函数f(x)=x2−3x,x≥0g(x),x<0是定义在R上的偶函数，则g−414．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数.例如：−3.6=−4,3.6=3.已知函数fx=115．设α是第二象限角，Px,1为其终边上一点，且cosα=13x，则16．若φ是一个三角形的内角，且函数y=3sin(2x+φ)在区间−π4,π6四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）17．已知p：实数x满足x2−3ax+2a(1)若a=1，求实数x的取值范围；(2)已知q：实数x满足2<x≤3.若存在实数a，使得p是q的必要不充分条件，则求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.18．已知fα(1)化简fα(2)已知fα=−2，求19．已知函数fx=ax+b（a>0且a≠1，b(1)求a,b的值；(2)设函数gx=loga2x+120．近几年，随着网络的不断发展和进步，直播平台作为一种新型的学习方式，正逐渐受到越来越多人们关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，该平台会员每年年末的人数如下表所示（注：第4年数据为截止2023年10月底的数据）建立平台第x年1234会员人数y（千人）28405882(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台xx∈N∗①y=bx+cb>0，②y=dlogrx+e（r>0且r≠1为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过k⋅94x21．已知函数fx=ln（1）讨论fx（2）当a<0时，若关于x的不等式fx≤−222．若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为−2,2的(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.(2)若在区间−1,1上，f(x)+g(x)=−x2+x+1；g(x)（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间−2,（ii）若关于x的不等式g(x1)−g(x2)af(x1)−af(x2023-2024学年第一学期福州市九师教学联盟1月联考高一数学答案解析选择题部分：1-8小题为单项选择题，每小题5分，共40分；9-12小题为多项选择题，每小题5分，共20分。题号12345678答案CBACDADA题号9101112答案ACDABDABAD1．C【分析】根据集合的并集运算求解即可.【详解】根据集合的并集运算，得A∪B=x故选：C.2．B【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；选项B，不等式ac2<bc选项C，从不等式a>b到不等式ab>1，是不等式两边同乘1b选项D，对于结论a−c>b−d，实际上是a+(−c)>b+(−d)，但−c<−d，无法保证同向相加.【详解】选项A：若c≤0，则ac>bc不成立，即A错误；选项B：由不等式性质可知：若ac2<选项C：当a>0,b<0时，由a>b，可得ab选项D：当a=5，b=2，但此时a−c=5−11=−6，b−d=2−2=0，由−6<0可知，a−c>b−d不成立，即D错误.故选：B.3．A【分析】由函数的定义域排除C，由函数的奇偶性排除D，由特殊的函数值排除B，结合奇偶性和单调性判断A.【详解】由3−x>0得−3<x<3，则函数y=ln又ln3−−x=ln3−当x=52时，因为y=ln3−x为偶函数，且当3>x>0选项A中图象符合.故选：A4．C【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】在角α终边上任取点P（异于原点）其坐标为(x,y)，OP=r若sinα>0且tanα<0，所以sinα=yr>0可得x<0,y>0，所以α的终边在第二象限，所以“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的充分条件，若α的终边在第二象限，则x<0,y>0，所以sinα=yr>0所以“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的必要条件，综上“sinα>0且tanα<0”是“α的终边在第二象限”的充要条件.故选：C.5．D【分析】根据齐次式问题分析求解.【详解】因为tanα=2所以sin2故选：D.6．A【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得λ，进而利用对数的运算法则列式即可得解.【详解】因为Q=Tλ+1，Q=6，T=60，所以6=设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K则K=12×ln2+ln故选：A.7．D【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：∀x∈R,ax2+2ax−1<0【详解】由题意知命题：∃x则命题：∀x∈R故当a=0时，ax2+2ax−1<0当a≠0时，需满足a<0Δ=4a综合可得实数a的取值范围是−1,0，故选：D8．A【分析】由已知奇偶性质得到f(x)的周期性与对称性，借助已知条件f0+f3=6与f(1)=0待定系数a,b，再利用周期性得【详解】由f(x+1)为奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)，故f(x)=−f(2−x)①，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；由f(x+2)为偶函数，得f(−x+2)=f(x+2)②，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；由①②得f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故f(x)的周期为4，所以f2025由f(−x+1)=−f(x+1)，令x=0得f(1)=0，即a+b=0③，已知f(0)+f(3)=6，由函数f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(3)=f(1)=0，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(0)=−f(2)所以f(0)+f(3)=−f(2)=6，即f(2)=−6，所以4a+b=−6④，联立③④解得a=−2,b=2故x∈1,2时，f(x)=−2由f(x)关于(1,0)对称，可得f1故选：A.9．ACD【分析】A选项，根据y=axa>1单调递增，得到B选项，根据y=lnx单调性得到0>lnb>lnc，lna>0，lnaC选项，根据y=x−1D选项，根据y=logbx【详解】A选项，因为y=axa>1单调递增，又b>c，所以B选项，因为y=lnx在0,+∞单调递增，因为a>1>b>c>0，所以0>lnb>lnc，lna>0，故1lnb<1lncC选项，y=x−13在0,+∞上单调递减，而D选项，因为y=logbx在0,+∞单调递减，而b>c>0因为y=bx单调递减，而a>0，故0<b故选：ACD10．ABD【分析】对于A：利用周期公式判断；对于B：通过计算f(5π12)判断；对于C：通过计算f(π【详解】对于A：T=2对于B：f(5对于C：f(π对于D：当x∈(0,π)时，2x+π6∈(π6,13故选：ABD.11．AB【分析】由三角函数的定义可判断A；取α=π6,2α=π3可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对sinα+cosα=1【详解】对于A，3k,4kk≠0到原点的距离为r=5若r>0时，cosα=3k5k=3对于B，若α=π对于C，设扇形的半径为r，则π3r=π所以扇形面积S=1对于D，因为sinα+cosα=所以sinα所以sinαcosαsin2因为sinα+cosα=15所以sinα>cosα故选：AB.12．AD【分析】由题设得f(x)=21+|cos(2x+π6)|，根据三角形函数y=cos2x与y=|cos2x|的周期、对称轴变化性质判断f(x)最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有∃a∈R，∃x1,x2∈[−5π12,0]【详解】由题设f(x)=2|sin(x+π所以f2(x)=4(1+|sin(2x+2π由y=cos2x的最小正周期为π，则y=|cos2x|的最小正周期为π2同理y=21+cos(2x+π6)的最小正周期为π对于f(x)，令2x+π6=kπ2对任意x有f(x)∈[2,22]，∃a∈R，∃x1,x2∈[−5π12,0]且所以af(xk)∈(2a,所以{2a<526a≥由g(x)=0可转化为f(x)与y=−b2交点横坐标，而x∈[0,25π函数有奇数个零点，由图知：6≤−x1+x22=π6、x2+x32所以x1故选：AD【点睛】关键点点睛：求得f(x)的解析式，应用类比思想，根据y=cos2x与y=|cos2x|最小正周期、对称轴的关系得到f(x)的周期和对称轴；由对任意x有f(x)∈[2,22]，∃a∈R，∃x1,x2∈[−5π12,0]且填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。）412.−1,013.−2414.0,π613．4【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.【详解】因为f(x)=x2−3x,x≥0所以g(−4)=f(−4)=f(4)=4故答案为：4.14．−1,0【分析】依题意可得fx=−12+11+【详解】因为fx=1因为y=1+ex在定义域上单调递增，则所以fx=−1当x<0时，ex当x=0时，f0=1当x>0时，ex所以，当x>0时−x<0，则fx=−1,f当x<0时−x>0，则fx=0,f当x=0时，fx综上所述，y=fx+故答案为：−1,0.15．−24【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.【详解】由题设cosα=xx2+1=13所以tanα=1x=−216．0,【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据0∈−π4【详解】函数y=3sin(2x+φ)，令2kπ−π2令2kπ+π则y=3sin(2x+φ)的单调递增区间为2kπ−π2若函数y=3sin(2x+φ)在区间−π则−π∵φ是一个三角形的内角，∴−π2−φ∈∵0∈−要使0∈2kπ只能令k=0，得−π2−φ此时0∈−则−π则−π2−φ∵φ是一个三角形的内角，∴φ∈0,若函数y=3sin(2x+φ)在区间−π则−π∵π2−φ∈−要使0∈2kπ只能令k=0，得π2−φ2此时0∈π则−π则π2−φ2≤−π∴函数y=3sin(2x+φ)在区间−π综上所述，φ∈0,故答案为：0,π四、解答题（本大题共6小题，满分70分。除第17小题10分以外，每小题12分。）17．(1)(1,2)(2)(【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；（2）先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围.【详解】（1）a=1时，由不等式x2−3x+2<0可得：1<x<2，即实数x的取值范围为（2）由不等式x2−3ax+2a2<0可得：(x−a)(x−2a)<0，因a>0因p是q的必要不充分条件，故q⇒p,p⇏q，则(2,3](a,2a)，故得：2a>3即实数a的取值范围为(318．(1)−tanα(2)3.【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；（2）根据同角关系式结合条件即得.【详解】（1）f==−sinα（2）因为fα=−2，所以∴sinα+cosαsinα−cosα=19．(1)b=5,a=2(2)[1【分析】（1）利用待定系数法即可得解；利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.【详解】（1）因为fx=ax+b所以a1+b=5a又a>0且a≠1，解得a=3或−2（舍去），则b=5,a=2.（2）由（1）得g(x)=log因为函数y=log3(2x+1)在[1,4]所以g(x)在[1,则g(x)g(x)故g(x)在[1,4]上的值域为20．(1)函数模型解析式为y=16⋅32x(2)112【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将x=4代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出16⋅32x+4≤k⋅94x，令t=32x≥32【详解】（1）解：由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，由表格中的数据可得ta+s=28ta2所以，函数模型的解析式为y=16⋅3预测2023年年末的会员人数为16×3（2）解：由题意可得16⋅3令t=32x≥3令s=1t∈0,23，所以，fsmax=f故k的最小值为112921．（1）当a≥0时，fx在0,+∞上是单调增函数；当a<0时，fx在0,−1a【分析】（1）由题意有f′x=2ax（2）不等式fx≤−2a+b−1恒成立，即fxmax≤−2a+b−1，（1）可得，当a<0时，fxmax【详解】（1）fxf′当a≥0时，f′x>0，f当a<0时，f′当x∈0,−1a时，f′x所以fx在0,−1a综上，当a≥0时，fx在0,+∞当a<0时，fx在0,−1a（2）由（1）可得，当a<0时，fx由不等式fx≤−2即b≥ln−1a令t=−1a，gt当t∈0,1时，g′t当t∈1,+∞时，g′t所以gt的最大值为g1=−1.得b≥−1，所以实数b【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题.22．(1)证明见解析