1.2 集合间的基本关系 高一数学《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学人教A版（2019）必修第一册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列1.2集合间的基本关系【考点梳理】考点一子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B考点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：根据集合包含关系求参数4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知集合，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．题型三：根据集合相等关系求参数7．设，，集合，则（）A． B． C． D．8．已知集合，，若A=B，则a+2b=（）A．-2 B．2 C．-1 D．19．已知，，若集合，则的值为（）A． B． C． D．题型四：与空集有的集合问题10．已知全集，，A是U的子集．若,则的取值范围是（）A．B．C．D．11．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．若集合，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题13．设A={（x，y）||x+1|+（y-2）2=0}，B={-1，2}，则必有（）A． B． C．A=B D．A∩B=14．若集合，，则集合之间的关系为（）A． B． C． D．15．已知，集合，若，则m的取值个数为（）A．0 B．1 C．2 D．316．下列所给的关系式正确的个数是（）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．417．已知，，若集合，则的值为（）A． B．1 C． D．218．若集合，，则（）A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．没有包含关系19．已知，，若且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．或20．下列各组集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}21．集合M=，N=，则两集合M，N的关系为（）A．M∩N= B．M=NC．M⊆N D．N⊆M22．已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题23．集合的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．1624．下列与集合相等的是（）A． B．C． D．25．定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．1626．已知集合，，，则集合的关系是（）A． B． C． D．27．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}28．已知集合，，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（）A．B．C．D．29．设集合，对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是（）A．是的真子集B．是的真子集C．D．与无关30．已知S1，S2，S3为非空集合，且S1，S2，S3⊆Z，对于1，2，3的任意一个排列i，j，k，若x∈Si，y∈Sj，则x－y∈Sk，则下列说法正确的是（）A．三个集合互不相等 B．三个集合中至少有两个相等C．三个集合全都相等 D．以上说法均不对二、多选题31．已知集合，，下列说法正确的是（）A．不存在实数使得B．当时，C．当时，D．存在实数使得32．若集合P={x|x2+x﹣6=0}，S={x|ax﹣1=0}，且S⊆P，则实数a的可能取值为（）A．0 B． C．4 D．33．下列说法正确的有（）A．设，，且，则实数；B．若是的真子集，则实数；C．集合若，则实数；D．设集合至多有一个元素，则；34．已知集合，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或35．下列四个命题中，假命题的是（）A．是空集B．若，则C．集合中只有个元素D．对所有实数、，方程恰有一个解36．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是（）A． B． C． D．37．定义集合运算：，设，，则（）A．当，时，B．可取两个值，可取两个值，有4个式子C．中有4个元素D．的真子集有7个三、填空题38．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.39．已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.40．已知，则方程的解为____.41．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为________．42．已知集合，则集合A、B的关系为A____从“”选择合适的符号填空．43．下列各组中的两个集合相等的有____________（1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}；（3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}.（4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1}四、解答题44．已知集合，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围；（3）集合与能够相等？若能，求出的值，若不能，请说明理由．45．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b，0}．求a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012的值．46．已知集合，集合（1）是否存在实数，使得对任意实数都有成立？若存在，求出对应的值；若不存在，说明理由.（2）若成立，写出所有实数对构成的集合.47．已知集合，，．（1）若时，求实数的取值范围；（2）若是的子集，求实数m的取值范围．48．设集合，，.（1）讨论集合与的关系；（2）若，且，求实数的值.【答案详解】1．B①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．故选：B．2．D解：，，1，2，3，，因为，所以中元素至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合的个数即为集合，3，子集的个数：．故选：D．3．D【详解】求解一元二次方程，得，易知．因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合的子集个数，即有个.故选：D．4．C【详解】因，而，所以时，即，则，此时时，，则，无解，综上得，即实数的取值范围是.故选：C5．D【详解】因为集合，，所以.故选：D6．B【详解】由题意，集合，可得，因为，所以，解得．故选：B.7．C【详解】解：，注意到后面集合中有元素，由于集合相等的意义得或．，，，即，，，，．故选：C8．D【详解】由于，所以（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.（2）解得.故选：D9．B【详解】因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，即.故选：B.10．D【详解】由题意知，集合，所以，又因为A是U的子集，故需，所以a的取值范围是．故选：D11．A【详解】①错，当m＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a，并不一定大于或等于0；③正确；④错，空集是任何非空集合的真子集.故选：A.12．A【详解】若集合，则不等式恒成立，当时，不等式可化为，则，不满足题意；当时，为使不等式恒成立，只需，解得，综上集合时，；又集合，所以.故选：A.D【详解】由于集合A是点集而B是数集，所以是两类集合，所以交集为空集，故选：D.14．C【详解】解析：设任意，则，当时，所以；当时，，所以．所以又设任意，则因为，，且表示所有的偶数，表示所有的奇数．所以与都表示所有的奇数．所以．所以故．故选：C．15．D【详解】解：由题意知，集合，由于，当时，，满足；当时，，由于，所以或，或，或1或．即m的取值个数为3，故选：D．16．A【详解】解：①，0为集合N的一个元素，，故①错误，②，因为为无理数，，故②错误，③，因为集合是集合的子集，故③正确，④，因为为R的子集，故④错误．故选：A．17．B【详解】，，即，当时，或，当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去，综上，，，故选：B18．B【详解】，为奇数，为整数，所以.故选：B19．B【详解】集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：故选：B20．B【详解】对于A：M，N都是点集，与是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合；对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；对于C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M，N是不同的集合，故不符合；对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合；故选：B．21．D由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n=2k（k∈Z），则x=k+1（k∈Z），当n为奇数时，设n=2k+1（k∈Z），则x=k+1+（k∈Z），∴N⊆M，故选：D.22．C【详解】因为，所以或因为无解，所以不成立，由得，所以实数的取值集合为.故选：C.23．D【详解】，的子集的个数为.故选：D.24．D解：∵，∴与集合相等的是.故选：D25．B【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.26．C【详解】解：集合，当时，，当时，，又集合，，集合，集合，，可得，综上可得故选：C．27．D由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x即有且只有一个实数解,∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；则x－1＝0或x－1＝4，计算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故选：.28．C【详解】解：因为集合，所以，又集合，所以，根据韦恩图可得选项C正确，故选：C.29．A【详解】由题意，由对任意的恒成立，对分类：①当时，恒成立，②当时，则，解得，综上可得，即，所以是的真子集.故选：A.30．B解：若x∈Si，y∈Sj，则y－x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，所以Si中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a(由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在)，不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a(否则b不可能大于a，只能等于a，所以b－a＝0∈S3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b－a＜b，且b－a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x－0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y－0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，故选：B．31．AD【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.选项B：当时，，不满足，故选项B错误.若，则①当时，有，；②当时，有此方程组无实数解；所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.故选：AD.32．ABD解：P={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，①S=，a=0；②，S={x|x}，3，a，2，a；综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{，0，}.故选：ABD.33．ABD【详解】对于A，因为，故（无解舍去）或，故，故A正确.对于B，因为是的真子集，故为非空集合，故，故B正确.对于C，，若，则，满足；若，则，又，故或即或，综上，或或，故C错误.对于D，因为至多有一个元素，故或，所以，故D正确.故选：ABD.34．ABC【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．35．ABD【详解】对于A选项，不是空集，A错；对于B选项，当时，则且，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，取，，则方程无实解，D错.故选：ABD.36．ABC【详解】由于集合有且仅有两个子集，则集合为单元素集合，即方程只有一根.①当时，方程为，解得，合乎题意；②当时，对于方程，，解得.综上所述，或.故选：ABC.37．BD【详解】，故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确.当，时，，故A错误.可取两个值，可取两个值，共有4个算式，分别为：，，故B正确．故选：BD．38．12设会骑车的人组合的集合为，会驾车的人组成的集合为，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合,易知，记表示集合中的元素个数，则有，所以既不会骑车也不会驾车的人为.故答案为：1239．解：分两种情况考虑：①若B不为空集，可得：，解得：，，且，解得：，②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为：.40．【详解】若，则无意义，故有，此时有，.或（舍去，因为中不满足集合的互异性）代入得，方程的解集为.故答案为：41．【详解】.当时，，满足.当时，，由于，所以或.综上所述，所有的取值构成