2021北京高中数学期末汇编：函数的性质综合

2021北京高中数学期末汇编：函数的性质综合

选择题(共11小题)

1.(2021春•石景山区期末)下列函数中，在区间(0,+oo)上为增函数的是()

A.y=yjx+lB.y=(x-1)2C.y=2~xD.y=log।x

~2

2.(2021春唱平区期末)若不等式a--x-c>0的解集为{M-1<XVL},则函数/(x)=c/一》-。的图象可以

3.(2021春•昌平区期末)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()

A.y—1-x2B.y—2wC.y—y/-xD.y—lnx

4.(2021春•通州区期末)已知指数函数/(x)=炉，将函数/(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为

原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)

的图象重合，则“的值是()

A.±3B.3C.±V3D.V3

5.(2021春•大兴区期末)若函数f(x)={'在区间(〃-1,3-2a)上有最大值，则实数。的取值范

.2x2,x4。

围是()

A.(-oo,1)B.10,I)C.(-00,2)D.(0,I)

|x|

4)4,x<i

6.(2021春•海淀区期末)已知函数f(x)={22,若关于x的额方程。=/(x)恰有两个不同实

-X2+4X-2,X>1

根，则实数。的取值范围是()

A.(-8,1)U[1,2)B,(o,2)

C.(1,2)D.(1,2)

7.(2021春•朝阳区期末)水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的

科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”.育种技术的突破，杂交水稻的推广,

不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等

的两块稻田中连续6年的产量(单位：依)如表：

品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根据以上数据，下面说法正确的是()

A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大

B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小

C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

8.(2021春•海淀区校级期末)如图，在空间四边形ABC。中，两条对角线AC,8。互相垂直，且长度分别为4和

6,平行于这两条对角线的平面与边AS,BC,CD,分别相交于与E,F,G,H,记四边形EFG”的面积为

y,设理=无，则()

AB

BC

A.函数(x)的值域为(0,4J

B.函数y=f(x)的最大值为8

C.函数y=/(x)在(0,A)上单调递增

D.函数),=/(x)满足/(x)=/(]-x)

9.(2021春•海淀区校级期末)已知曲线：①尸二挺/+产=1③y=/④炉->2=i.上述四条曲线中，满足：“若曲线

与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是()

A.1B.2C.3D.4

10.(2021春•大兴区期末)在下列函数①/1(X)=/+1：②Mx)=13®f(x)=sinx；®f(x)=-/中，满足在

定义域内/(xo)(X-xo)t/(xo)>f(x)恒成立的函数个数是()

A.1B.2C.3D.4

W)x,x<a

11.(2021春•通州区期末)已知/(x)=(2,若集合｛小>0,f(x)=/(-x)｝恰有2个元素，则a

x2.x>a

的取值范围是()

A.(-co,0)B.[0,2)C.[0,4)D.[2,4)

二.填空题(共7小题)

12.(2021春•丰台区期末)函数/(X)=，的定义域为___________.

Vx

13.(2021•西城区一模)函数/(x)=/m+声彳的定义域是.

14.(2021春•昌平区期末)函数/(X)=一及X]).的定义插为____________________.

V1-X

15.(2021春•平谷区期末)已知不等式ar+工28对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为.

x

16.(2021春•丰台区期末)已知函数/(X)^lnx-ax+\,若a=L则f(x)的零点个数为；若有两个

不同的零点，则“的取值范围是.

2

17.(2021春•海淀区期末)已知f(x)=/〃(x+l),g(x)=(A)若对可引0,3],3x2G[l,2],使得了

(X|)>g(X2)，则实数机的取值范围是.

'|x+4a|,x<0,

18.(2021春•延庆区期末)已知函数f(x)=1、人若关于x的方程/(x)=。(aGR)有四个实数

x+~,x>0・

X

解Xj(i=l,2,3,4),其中X1<X2<X3<X4,则(X|+X2)(X3-X4)的取值范围是.

三.解答题(共7小题)

19.(2021春•密云区期末)已知关于x的不等式d-5x+6<0的解集为A={R2〈x<6}.

(I)求a,b的值；

(II)求函数f(x)=(a+b)x-f0-(x€A)的最小值,

(2a-b)x

20.(2021春•通州区期末)已知函数)，=/(x)是图象经过点(2,4)的募函数，函数y=g(x)是定义域为R的奇

函数，且当x£［0,+00)时，g(x)=f(x)-2x.

(I)求函数y=f(x)的解析式；

(H)求当xG(-00,0)时函数y=g(x)的解析式，并在给定的坐标系中画出y=g(x)(xGR)的图象；

(III)写出函数y=g(x)(x£R)的单调区间.

21.(2021春•西城区期末)设函数/(x)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>0),使得对于任意x^R,f

G+7)=V(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.

(I)判断函数丫=》和丫=(：05苫具有性质P?(结论不要求证明)

(II)若函数/(x)具有性质P,且其对应的T=n,A—2.已知当xW(0,n］时，,f(x)=sinx,求函数f(x)

在区间［-兀，0］上的最大值；

(III)若函数g(x)具有性质尸，且直线x=，"为其图像的一条对称轴，证明：gG)为周期函数.

22.(2021春•西城区校级期末)已知集合S“={X|X=(xi，垃，…，x£R,，=1,2,…，n},称加为X的第i个

分量.对于S”的元素A=(671，S，…，an),B—(bl，。2，…，bn),定义A与8伯两种乘法分别为：

AxB=(04-”2团,-43历“，anb\-a\bn),

A*B=(vi02+b仍2,a2a3+励3'“，ana\+bnb\).

给定函数f(x),定义S"上的一种变换F(X,f)=(/(xi),f(X2),•»f(xn)).

(1)设f(x)=|x|,A=(1,0,-1),B=(-1,0,1),求F(A,/)xF(B,。和/(A,/)*F(B,/)；

(2)设/(x)=sin%,g(x)=cosx,对于X=(xi)X2,x”)，设Ao=F(X,/),B°=G(X,g).对任意人W

N且-1,定义A*+产A«x母，Bk+]=Ak*Bk.

(i)当〃=3时，求证：山中为0的分量个数不可能是2个；

(»)若X=(制，X2，…，X")的任一分量都只能取X或-X,设A".|的第1个分量为<p(X),求(P(X)的最小正

周期的最小值，并求出此时所有的X.

23.(2021春•海淀区期末)若函数f(x)满足：对于6,re[0,+00),都有f(s)>0,fCt)>0,且f(s)+f(t)<f

(s+f),则称函数/(x)为“T函数

(1)试判断函数f/x)=x2与无(X)=加(x+1)是否为“T函数”，并说明理由；

(2)设函数/(x)为“T函数”，且存在必£[0,+oo),使/(/(刈))=助，求证：fCxQ)=必；

(3)试写出一个“T函数”，满足/(2)=4,且使集合｛y|y=f(x),0W烂2｝中元素最少(只需写出你的结论).

24.已知函数f(x)=Gx3+[x-xlnx,

bN

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/(l))处的切线方程；

(II)若/(x)<4对x€d，e)恒成立，”的最小值.

e

25.(2021春•通州区期末)已知函数/(x)=33g(x)=\x+a\-2(〃£R).

(I)若函数(g(x))是偶函数，求a；

(II)若函数y=g(/(%))存在两个零点，求。的取值范围.

2021北京高中数学期末汇编：函数的性质综合

参考答案与试题解析

选择题（共11小题）

1.（2021春•石景山区期末）下列函数中，在区间（0,+00）上为增函数的是（）

A.y—y/x+1B.y—（x-1）2C.y—2~xD.y=log[X

~2

【分析】根据题意，依次判断各选项中函数的单调性，即可得到答案.

【解答】解：对于A,在区间（0,+oo）上为增函数，符合题意；

对于B,y=（x-1）2是二次函数，在区间（0,1）上为减函数，不符合题意；

对于C,y=2'=（工），是指数函数，在R上为减函数，不符合题意；

2

对于O,y=log[X是对数函数，在区间（0,+00）上为减函数，不符合题意；

~2

故选:A.

【点评】本题考查函数单调性的性质与判断，需注意常见函数的单调性，属于基础题.

2.（2021春•昌平区期末）若不等式以2一x-c>。的解集为国-则函数/G）=次-》-”的图象可以

为（）

>4>4

11X

2

2-:

【分析】根据题意，分析可得方程加-x-c=0的解为R=-1或及=工，且〃<0,由根与系数的关系分析。、

2

的值，即可得f（x）的解析式，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，不等式五-…〉。的解集为｛x|-

贝1J方程ox2-X-c=0的解为X|=-1或及=上，且“V0,

2

则有(/，解可得门一2,

(-l)x1=^"I

Za

函数/(x)—ex2-X-a--x2-x+2,是开口向下，对称轴为x=-5•的二次函数，

故选：C.

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及二次函数的性质，属于基础题.

3.(2021春•昌平区期末)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()

A.1-X2B.y—2wC.y—y/~x.D.y—lnx

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=\-x2,是二次函数，是偶函数，在区间(0,1)上为减函数，不符合题意；

对于8,y=2R=|2，，既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增，符合题意；

.2-x,x<0

对于C,y=y/~x，其定义域为［0,+8),不是偶函数，不符合题意；

对于。，y^lnx,是对数函数，，其定义域为(0,+00),不是偶函数，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

4.(2021春•通州区期末)已知指数函数/(x)=〃，将函数/(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为

原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)

的图象重合，则a的值是()

A.±3B.3C.±V3D.V3

【分析】根据图象的变换，求出对应的解析式，建立方程进行求解即可.

【解答】解：将函数/(x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图

象，

则g(x)=3ax,

再将g(x)的图象向右平移2个单位长度，得到y=3a「2,所得图象恰好与函数/(x)的图象重合，

即3aL2="\即_^_=[,得层=3,“=遍，

a

故选：D.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数图象变换关系求出相应的解析式是解决本题的关键，是

中档题.

5.(2021春•大兴区期末)若函数f(x)={'在区间Ca-\,3-2a)上有最大值，则实数。的取值范

2x2,x<。

围是()

A.(-oo,1)B.[0,1)C.(-00,2)D.(0,1)

【分析】先根据单调性画出函数/(x)的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案.

【解答】解：令g(x)=3x-V,x>0,则g'(x)=3-3N=3(1-3)，

令g，(x)>0,解得OVxVl；令g，(x)<0,解得x>l,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减.

又/(I)=2=/(-1),作出函数/(x)的大致图象，

结合图象，由题意可得--1<1<3-2a,解得O<a<l,

所以实数。的取值范围是[0，1).

故选:B.

【点评】本题考查函数的最值，考查导数的应用，考查数形结合的数学思想，考查直观想象的核心素养，属于中

档题.

(.)团号,X<1

6.(2021春•海淀区期末)已知函数f(x)={22,若关于x的额方程a=/(x)恰有两个不同实

-X2+4X-2,X>1

根，则实数a的取值范围是()

A.(-8,1)U[1,2)B.(0,2)

C.1)U(1,2)D.(1,2)

【分析】作出/(x)的图象，问题转化为y=a与y=/(x)恰有两个不同的实数根，解得。的范围.

【解答】解：作出/(x)的图象如图所示：

当它1时，l</(x)<<(0)=旦，

22

又/⑴=1,

又因为%>1时，/G)=-G-2)2=2,

此时/(X)最大值为2,

所以当工或3<4<2时，方程a=/(x)恰有两个不同的实数根,

22

故选：C.

【点评】本题考查函数与方程之间的关系，分段函数，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

7.(2021春•朝阳区期末)水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的

科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”.育种技术的突破，杂交水稻的推广,

不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等

的两块稻田中连续6年的产量(单位：依)如表:

品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根据以上数据，下面说法正确的是()

A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大

B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小

C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

【分析】根据已知数据对应各个选项逐个计算判断即可求解.

【解答】解：选项A：甲种水稻产量的平均数为：9OO+92O+9OO+85O+91O+92O=goo，

6

乙种水稻产量的平均数为：-0+960+950+850+860+890=900，

6

即甲乙种的水稻产量的平均数相等，故A错误，

选项8：甲种的水稻产量分别为：850,900,900,910,910,920,中位数为列号电=905，

乙种的水稻产量分别为：850,860,890,890,950,960,中位数为890<905,故8错误，

选项C：甲种的水稻产量的极差为920-850=70,乙种的水稻产量的极差为960-850=110>70,故C错误，

选项D-.甲种的水稻产量的方差为：•^[(850-900)2+(910-900)2+(920-900)2+(920-900)2]=上整，

63

乙种的水稻产量的方差为：^[(890-900)2+(960-900)2+(950-900)2+(850-900)2+(860-900)2+(890

6

-900)

2J=5200_>170CI_)

33

因为甲乙种的水稻产量的平均数相等，而甲种的水稻产量的方差小于乙，故甲种的水稻产量稳定，故。正确，

故选：D.

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到平均数，中位数以及方差的运算，考查了学生的

运算能力，属于中档题.

8.(2021春•海淀区校级期末)如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC,8。互相垂直，且长度分别为4和

6,平行于这两条对角线的平面与边A8,BC,CD,D4分别相交于与E,F,G,H,记四边形EFGH的面积为

A.函数y=/(x)的值域为(0,4J

B.函数y=f(x)的最大值为8

C.函数(x)在(0,—)上单调递增

3

D.函数满足f(x)=f(--X)

3

【分析】根据空间四边形的性质证明四边形EFGH为矩形，然后根据比例关系求出函数f(x)的表达式，结合一

元二次函数的性质进行判断即可.

【解答】解：〃平面EFGH,8£>〃平面EFGH,

J.AC//EF.AC//HG,BD//EH.BD//FG,

则四边形EFGH为平行四边形，

•••两条对角线AC,8。互相垂直，

EHVEF,则四边形EFGH为矩形，

即EH=(1-x)BD=6(1-x),

同理空=此，IjIIJEF=x'AC=Ax,

ACAB

则四边形的面积为产2

EFGH(1-x)=24(x-x)=-24(x-A)2+6,

；xG(0,1),

...当x=2时，函数取得最大值6,故A,8错误.

2

函数的对称轴为x=2，则函数在(0,工)上是单调递增函数，故C正确.

23

函数的对称轴为x=—,

2

函数y=/(x)满足/(x)=/(1-x),故。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查空间四边形和函数的综合以及与一元二次函数有关的性质是考查，综合性较强，涉及的知

识点较多，有一点的难度.

9.(2021春•海淀区校级期末)已知曲线：@/=%(2)^+/=l(§)y=x3©x2-/=1.上述四条曲线中，满足：“若曲线

与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是()

A.IB.2C.3D.4

【分析】分别根据直线和抛物线，圆，幕函数，双曲线有一个点的情况，进行讨论即可.

【解答】解：①当直线和抛物线产=》对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点，

但此时直线不是切线，故①错误，

②当直线和圆/+产=1只有一个公共点时，直线与圆相切，故②正确，

③当直线和x轴平行时，直线和只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故③错误，

④当直线和双曲线x2-)2=1的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点，

但此时直线和双曲线不相切，故④错误，

故正确的只有②，

故选：A.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线和曲线相切的位置关系的判断，要求掌握常见曲线和直线的位

置关系.

10.(2021春•大兴区期末)在下列函数①/'(x)=/+1；②/'(x)—lux；®f(x)=sior；@f(x)=-炉中，满足在

定义域内f(xo)(x-xo)+f(x<>)¥(x)恒成立的函数个数是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】分别求得给出的函数的导数，结合因式分解和导数的运用，求得最值，可判断结论.

【解答】解：对于副(x)=N+1,f(x)=2x,

f(xo)(X-X0)+f(期)-f(x)—2xo(X-xo)+xo2+l■(N+l)

=2x0（X-XO）+（xo-x）（必+x）=-（X-Xo）2g0,

即/(Xo)(x-Xo)+f(Xo)<f(x),故①不满足题意；

对于②f(X)=bvc，导数为,尸(x)=—(x>0),

X

设尸(x)=f(xo)(x-xo)4/(xo)~f(x)=-^—(x-xo)+btxoT，vc,

x0

F'(jt)=--当x>xo时，F'(x)>0,F(x)递增；

x

0xxx0

当O<x<xo时，F'(x)<0,F(x)递减.

所以F(x)在x=xo处取得最小值0,即尸(x)>0,

故②符合题意；

对于③f(x)=sinx,导数为/(x)=cosx,

设F(x)=f(即)(x-xo)+f(沏)-f(x)=cosxo(x-xo)+sinxo-sinx,

F'(x)=COSXO-cosx,由广(x)=0,可得x有无数个解，故③不符合题意；

对于④f(x)=-X2,导数为/(x)=-2x,

f(xo)(X-Xo)+f(xo)-f(x)=-2xo(X-xo)-X02-(-X2)

=-2x0(x-xo)-(xo-x)(xo+x)=(x-xo)2>0,

即f(xo)(x-xo)+f(xo)>f(%),故④满足题意.

故选：B.

【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

("­)x,x<a…一

11.(2021春•通州区期末)已知/(x)=<2,若集合｛小>0,f(x)=/(-x)｝恰有2个兀素，则〃

x2,x>a

的取值范围是()

A.(-oo,0)B.[0,2)C.[0,4)D.[2,4)

【分析】分QV0,。=0,。>0三种情况，写出/G),/(-X),再由fG)=/(-X)讨论方程解的情况，即可

得到答案.

【解答】解：当“<0时，f(x)=，份)*,x4a

,则(x>0)图象的对称轴左右部分均可以取到,

x2,x>a

而y=(本身具有偶函数的性质，所以集合“k>0,/(X)=/(-X)}中不止有两个元素，不符合题意:

当a=0时，f(x)=<、2)X,x<0

,则/(-X)—2',由2'=9，可得x=2或x=4,恰好两个解，符合题意;

x2.x>0

当a>0时，若0a时，f(X)=(-L)x(

则-x<0<a,/(-x)=(-^-)-x=2X,

由=/(-%),可得.)x=2x,解得尸0,不符合题意;

若x>。时，可得乂2=(■!)"=2x,解得x=2或x=4,恰好两个解，所以0Va<2.

综上所述，实数4的取值范围为［0,2).

故选:B.

【点评】本题考查了分段函数的应用，指数函数与二次函数的图象与性质的运用，对于分段函数问题，一般运用

分类讨论或数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

二.填空题(共7小题)

12.(2021春•丰台区期末)函数/(X)=勺的定义域为期反>0}

VX

【分析】可看出，要使得/(x)有意义，则需满足x>0,然后写出f(x)的定义域即可.

【解答】解：要使/(x)有意义，则x>0,

：.f(x)的定义域为{X仇>0}.

故答案为：{x|x>0}.

【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题.

13.(2021•西城区一模)函数/(x)=和什、/7二的定义域是30〈炬”.

【分析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出/(x)的定义域.

【解答】解：•.•函数f(x)=//w+JTG，

./x>0

解得0〈烂1;

函数f(x)的定义域为国0〈烂1}.

故答案为：30〈烂1}.

【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而

求出定义域，是基础题.

14.(2021春•昌平区期末)函数/(x)=应刍也的定义域为(工，1).

E—2

【分析】由题意根据函数的定义域的求法，得出x的范围.

【解答】解：对于函数/(x)=、牛;1),应有2x-1>0,1-x>0,

V1-x

求得工Vx<l,可得函数的定义域为(工，1),

22

故答案为：(工，1).

2

【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题.

15.(2021春•平谷区期末)已知不等式以+1次对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为16.

X

【分析】问题可转化为af-⑥+GO,对任意正实数无恒成立，结合二次函数的性质，列不等式，即可得出答案.

【解答】解：因为不等式依+1次对任意正实数X恒成立，

X

所以加-8X+1K),对任意正实数X恒成立，

当。=0时，不等式-8/后0,即吗，不符合对任意正实数x恒成立，

当今0时，令/(x)=0^-8x+l,

若对任意正实数X恒成立,

\>0^->0

则|Q/无解，或,2a

-^-<0

,2a4aX1(8)2

>0

4；a-

解得a>16,

所以正实数〃的最小值为16.

故答案为：16.

【点评】本题考查不等式的恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

16.(2021春•丰台区期末)已知函数/(X)^lnx-ax+\,若a=l,则/(x)的零点个数为1；若f(x)有两个

不同的零点，则”的取值范围是0<a<i.

【分析】当a=l时，求导得了(x),分析f(x)的单调性，进而可得f(x)n,ax^f(1)=0,故f(x)的零点个

数为1；对/(公求导得/(x)=上型，分两种情况：当任0时，当a>0时，讨论f(x)的单调性，最值，即

X

可得出答案.

【解答】解：当4=1时，f(x)=lnx-x+1,

f(x)=—-1=J^,

XX

当OVxVl时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当x>lEl寸，f(x)<0,f(x)单调递减，

所以/(X)max=f(1)=0,

所以/a)的零点个数为i,

f(x)=--a=-1--ax,

xx

当区0时，f(x)>0,f(x)单调递增，/(x)不会有两个零点，

当a>0时，令/(x)>0,得0<x<』，/(x)单调递增，

a

令/(x)<0,得工，f(x)单调递减，

a

所以/(x)niax=f(―)=ln—-ax—+\=ln—f

aaaa

若f(x)有两个零点，则/〃工>0,

a

所以2>1,有。>0,

a

所以OV〃V1,

故答案为：1；0<4<1.

【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题.

春•海淀区期末)已知=加2g若对2],使得了

17.(2021f(x)(x+l),(x)=(A)^-m,WqG[0,3],3x2e[l,

(X|)>g(X2),则实数，"的取值范围是」+8).

4

【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数，"的取值范围.

【解答】解：因为尤1H0,3]时,/(xi)G[0,历10]；

及引时，g(及)e[X-m,

1,2]A-m].

42

故只需ON工-

一44

故答案为：[工，3).

【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题.

'|x+4e|,x40,

18.(2021春•延庆区期末)己知函数f(x)=10若关于x的方程/G)=a(4£R)有四个实数

x+—,x>0・

解即(i=l,2,3,4),其中XiVx2Vx3Vx4，则(%i+x2)(尤3-戈4)的取值范围是—(o,16e/74e2-ll_0

【分析】由函数的图象及性质判断出X”X2,X3,X4之间的关系，进而把所求式子转化为y=x-工在(0,2e-

X

伍W)上的取值范围，即可得到所求范围.

|x+4e|,x40,

【解答】解：函数f(x)=10的图象如右:

x+~，x>0,

X

关于x的方程/(x)=a(〃£R)有四个实数解，

可得>=/(无)的图象与直线有四个交点,

可以判断2<〃S4e,XJ+X2=2X(-4e)=-8e

XQ」V4e,即心，必是方程/-4ex+l=0的两个根,

3x34x4

则可得X3d(0,2^-iy4e2_1),x4e(b2e+5y4e2_1),

且有X3%4=1，所以X4=

故（xi+%2）（%3-X4）=-8e（%3--其中为右（0,2e-44巳2_]）,

xJ

又由函数y=》-』在（0,2e-^4e2_p上递增，

可得函数丫=X-2在（0,Ie--^4e2-l）上的值域为（-2山02-];0），

可知-8e（M-」亍）的取值范围为（0,16^4e2_1）.

【点评】本题考查函数图象的运用及函数方程的关系，考查数形结合思想，正确作出函数图象，并从图象中挖掘

出有效信息是解题的关键，属于中档题.

三.解答题（共7小题）

19.（2021春•密云区期末）已知关于x的不等式五-5x+6<0的解集为4=｛取《。｝.

（I）求小h的值;

求函数f（x）=（a+b）xV%（x€A）的最小值,

(II)

【分析】(I)由方程与不等式的关系知2,6是方程加-5x+6=0的解，从而由韦达定理求解.

(II)化简/(x)=4x+至，从而利用基本不等式求解.

X

【解答】解：(I)・・,关于x的不等式以2—5X+6V0的解集为4=32〈无〈加，

；.2+b=—,26=2，

aa

解得a=l,6=3,

(n)由(I)知，/(x)=4x+空尔4、25=20,

(当且仅当4X=2A,即x=5时，等号成立)，

x2

故f(x)的最小值为20.

【点评】本题考查了方程与不等式的关系，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.

20.(2021春•通州区期末)已知函数)，=/(x)是图象经过点(2,4)的幕函数，函数y=g(x)是定义域为R的奇

函数，且当xG[0,+oo)时，g(x)—f(x)-2x.

(I)求函数(x)的解析式；

(H)求当xd(-oo,0)时函数y=g(x)的解析式，并在给定的坐标系中画出y=g(x)(%eR)的图象；

(III)写出函数y=g(x)(x£R)的单调区间.

【分析】(I)利用待定系数法进行求解即可；

(II)利用奇函数的对称性进行求解；

(III)利用图象进行求解即可.

【解答】解：(I)设/(x)=K,幕函数过点(2,4),则2。=4,得a=2,

即函数y=/(x)的解析式为/(x)=炉；

(II):当xC[O,+00)时，奇函数g(x)满足g(x)=f(x)-2x=x1-2x

当xC(-co,0)时，-(0,+oo)时，g(-x)—x1+2x--g(x),

则g(x)--x2-2x,xd(-oo,0),

给定的坐标系中y=g(x)(xeR)的图象如图；

(III)由图象知函数y=g(x)(xGR)的单调递增区间为(-8,-1],[1,+oo).

单调递减区间为[-1,1].

【点评】本题主要考查函数解析式以及函数奇偶性的应用，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中

档题.

21.(2021春•西城区期末)设函数/(X)的定义域为R.若存在常数T,A(T>0,A>0),使得对于任意x£R,f

(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.

(I)判断函数具有性质尸？(结论不要求证明)

(II)若函数f(x)具有性质P,且其对应的7=兀，A=2.已知当(0,何时，/(x)=sinx,求函数/(x)

在区间[-兀，0J上的最大值；

(III)若函数g(X)具有性质P,且直线x=机为其图像的一条对称轴，证明：g(X)为周期函数.

【分析】根据题中给出的性质P的定义，结合函数周期性进行判断解题.

【解答】解：(I)函数y=x不具有性质P；函数y=coso：具有性质P.

(II)设xG(-兀，0],则％+兀£(0,7i].

由题意，得了(x+兀)=2f(x)=sin(什兀)，

所以当/(x)=--^-sinx,(-n>0]

由/(-兀+兀)=2f(-7C),/(0+71)=2f(0),得f(-兀)(兀)=0.

所以当工£［-兀，0］时，/(x)=--i-sinr.

故当x=T时，/(x)在区间［-兀，0］上有最大值

(Ill)证明：当g(x)=0,xGR时，结论显然成立；

下面考虑g(X)不恒等于0的情况，即存在必，使得g(%o)却，

由于直线x=m为函数g(x)图象的一条对称轴，所以g(2/H-XO)=g(xo)加，

由题意，存在公，Ao，(7o>O,Ao>O),使得g(x+W=A°g(x0)成立，

所以g(2m-xo)=Aog(2机-x(>-To),即g(2机-xo-To)=~^~g(xo)>

由直线x=，〃是函数g(x)图像的一条对称轴，

得g(2m-xo-7b)=g(xo+7o),

又因为g(w+7b)=Aog(xo),g(xo)/)，

所以」二-g(冽)=A°g(x0)>即Ao=l,

A0

故对于任意xWR，g(x+W=g(x)成立，其中7b>0.

综上，g(x)为周期函数.

【点评】本题为函数创新型题目，考查函数周期性的应用，需要对知识有一定的运用能力，为中等题目.

22.(2021春•西城区校级期末)已知集合S“={X|X=(xi，M，…，x”)，x,WR,i=l,2,…，〃},称汨为X的第，个

分量.对于S”的元素A=(a”a2,an),B=(bi，历，…，b”),定义A与B伯两种乘法分别为：

AxB={a\bi-。2加，a2b3-a3b2…,anb\-a也),

A*B=(〃1。2+历历,a2a3+b2b3…,ana\+bnb\).

给定函数fG),定义S〃上的一种变换/(X,/)=(/(xi),f(及)，…，/