2020-2021学年高中数学（人教A版2019）期中模拟试题（二）（学生版+解析版）

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题(二)

选择题

1.已知向量次=(2,3),砺=(4,—1),P是线段AB的中点，则P点的坐标是

A.(2,-4)B.(3,1)c.(-2,4)D.(6,2)

2.若复数z满足(z—l)(l+i)=2_2i,则|z|=

A.72B.£C.5D.后

3.已知复数z满足z(l+2i)=|4—3i|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为

A.-2B.-2iC.1D.i

1-2/

4.复数z=—不的共枕复数的虚部为

1+Z

A1•

A•—iB.-iC.--D.-

2222

5.已知向量1,日满足|5|=2|洲=2,\2a-b\=2,则向量。，5的夹角为

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知向量值=(一1,2),b=(2m-l,T),且7_Lb,则|7一21|=

A.5B.4C.3D.2

7.已知〃7,〃为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.mua,nua,mlI/3,〃//月=>a//月B.a//夕，mua,nu/3nmiIn

C.mLa,=D.mlIn,〃_La=m_La

8.四面体A—BCO中，OCJ.面ABC,AB=BC=3,ZABC=120°,0c=8,则四面体A—BCD外

接球的表面积为

A.100万B.50iC.25万D.9U

­.多选题

9.A43c是边长为2的等边三角形，已知向量满足通=23,/=25+5,则下列结论正确的是

A.6是单位向量B.BCHbC.港=1D.BCl(4a+b)

10.在AA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若6=。。。$4,角A的角平分线交BC于点

D,AO=1,cosA=~,以下结论正确的是

8

3

A.AC=-B.AB=S

4

「CD1D.旃的面积为平

BD8

11.在正方体ABC。—〃中，N为底面ABCD的中心，P为线段4A上的动点（不包括两个端点）,

M为线段AP的中点，则

A.CM与PN是异面直线

B.存在P点使得PN//平面CC,D、D

C.平面PAN_L平面

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

12.在棱长为2的正方体A8CD-4SG。中，E,尸分别为43,的中点，则（）

A.BD1B,C

B.EF//平面力用B

C.A£1•平面4"C

D.过直线EF且与直线BR平行的平面截该正方体所得截面面积为近

三.填空题

13.已知i虚数单位，若复数z=±33eR）的虚部为-3,则|z|=—.

1+i

14.已知向量〃=（；,-乎），若向量6与。反向，且|。|=2,则向量5的坐标是.

15.已知向量a=Q%,3）,b=（1,-2）,且（］+万）J_5,则m=.

16.直三棱柱ABC-ABC的各顶点都在球。的球面上，且48=AC=1,8C=6,若球。的表面积为20万,

则这个三棱柱的体积为.

四.解答题

17.已知复z=a+砥a,OeR)满足z+3,•为实数，--为纯虚数，其中i是虚数单位.

2-i

(1)求实数a,8的值；

(2)若复数4=彳+2m+(川-5»在复平面内对应的点在第四象限，求实数〃1的取值范围.

18.已知复数％=1-27,z2=3+4i,j为虚数单位.

(1)若复数4+磁2在复平面上对应的点在第四象限，求实数”的取值范围；

(2)若2=五，求Z的共规复数二

Z2

19.(1)设,e?是正交单位向量，如果。4=2q+仪2,OB=net-e2,OC=5e,-e2,若A、B、C三

点在一条直线上，且机=2〃.求加、〃的值.

(2)已知次=(2,3),砺=(6,-3),点尸在线段84的延长线上，且|而|=』|而求点P坐标.

4

20.如图，在四棱柱中，四边形48CD是边长等于2的菱形，ZADC=\20°,，平面

ABCD,O,E分别是A。，4?的中点，AC交。E于点“，点尸为”C的中点

(1)求证：OF//平面A。；

(2)若OF与平面ABCO所成的角为60。，求三棱锥A-AOE的表面积.

(1)若a=屈,b=\[2,求cosB；

(2)求sin(A+B)+sinBcos8+cos(B-A)的最大值.

22.如图，在四棱锥P-48co中，底面A8C。为正方形，为等边三角形，平面R4D_L平面PC。.

(I)证明：直线CDJ■平面R4£)；

(H)若A3=2,。为线段尸8的中点，求三棱锥。-PCZ)的体积.

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题(二)

选择题

1.已知向量砺=(2,3),丽=(4,一1),P是线段AB的中点，则P点的坐标是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由线段的中点公式可得加=L诙+诙)=(3,1),故尸点的坐标是(3,1)，

2

故选B.

2.若复数z满足(z-l)(l+z.)=2-2i,则|z|=

A.&B.6D.V5

【答案】D

【解析】由(z-l)(l+i)=2-2i,

殂,2-2/(2-2/)(1-0

1+1(l+D(l-z)

:.z=\-2i,

则|z|=J『+(-2)2=石.

故选D.

3.已知复数z满足z(l+2j)=|4—3j|(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为

A.—2B.-2iC.1D.i

【答案】A

【解析】由z(l+2i)=|4-3i|=J?7^7=5,

55(l-2z)

得2==l-2z

1+2/(l+20(l-2z)

・•・复数z的虚部为-2.

故选A.

4.复数z1=-2T/的共辗复数的虚部为

1+「

D.

22

【答案】D

।解析】Z=f=

...复数z=土目的共辄复数的虚部为1,

1+z32

故选D.

5.已知向量万，5满足|万|=2|洲=2,|25-^|=2,则向量1,5的夹角为

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根据题意，设向量5的夹角为。，

若出|=2|利=2,则出|=2,\a\=l,

若|2。-昨2,则(2f)2=4容-4无5+户=8-8侬。=4,

解可得cos6=J,

2

又由。啜B180°,故6=60°,

故选C.

6.已知向量@=(一1,2),5=(2加一1,1),且1_15,则一力|=

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】向量4=(一1,2),fe=(2m-l,l),且Gib,

可得—(—2m—1)+2=0,解得m=—t

2

所以5=(2,1),1-25=(-5,0),

所以|1-25|=5.

故选A.

7.已知根，〃为两条不同的直线，。，尸为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.rnua,nua，ml/p,〃//£=a///?B.a///，tnua，nu0=m〃n

C.mA.a,mn/laD.mIIn,nYa=>tnYa

【答案】D

【解析】m,〃为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，

对于A,mua,〃ua,mlIp,〃//6=。//夕，也可能相交，所以A不正确；

对于8,a!Ip,mua,〃u/nm//〃也可能异面，所以B不正确；

对于C,mLam_L〃=〃//a有可能〃ua,所以。不正确；

对于O,机//〃，〃_Lanm_La,满足直线与平面垂直的性质，所以。正确.

故选D.

8.四面体A—3CO中，OCL面ABC,AB=BC=3fZABC=120°,£>C=8,则四面体A—BCD外

接球的表面积为

A.100兀B.50万C.254D.9E

【答案】A

【解析】设AA3C外接圆的圆心为«,四面体A-3CO外接球的球心为。，半径为R,

连接OC，OQ,OC,

BCOO=^DC=4

由正弦定理可得二20。即o,c=----------}

sinZ.BAC2sin30°

R=OC=yjoQ+OO；=%+32=5,

D

即四面体A-BCD外接球的表面积为S=4万x5?=100%,

故选A.

二.多选题

9.AA3C是边长为2的等边三角形，己知向量5满足荏=2凡/=2万+5,则下列结论正确的是

A."是单位向量B.BC//bC.a[b=\D.BCA.(4a+b)

【答案】ABD

【解析】A.「I而|=2,.•.由丽=22得，|初=^^=1,4是单位向量，该选项正确；

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BC//b,该选项正确；

___2h2

C.\AC\=2,\a\=\.由而=2〃+5得，AC^=4a2+4a[i+b2即4=4+4万区+户，a[b=——工1,

t4

该选项错误；

D.BC=b,由上面得，配1(而+5)=5艮依+5)=4沆8+川=0,BC±(4a+b),该选项正确.

故选ABD.

10.在A48c中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若8=ccosA,角A的角平分线交BC于点

D,AD=l,cosA=-,以下结论正确的是

8

3

A.AC=-B.48=8

4

C.-=-D.的面积为地

BD84

【答案】ACD

【解析】因为b=ccosA,

由正弦定理可得，sinB=sinCcosA=sin(A+C),

所以sinAcosC=0,

因为sinAH0,

所以cosC=0即C=L乃，

2

AC

AB

由角平分线定理可得，-=

ABBD8

设AC=x,AB=8x,则8c=3岳，CD=—x,

3

RtAACD中，由勾股定理可得，x2+(—x)2=l,

解可得x=3,即AC=3,AB=6,

44

..0BC—通旭

ABC24832

8„_3A/7

所以SMMgSABC~--

故选ACD.

11.在正方体ABC。—A4G。中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点(不包括两个端点)，

M为线段AP的中点，则

B.存在P点使得PN//平面

C.平面PAN_L平面4

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】对于A，因为C,N,A共线，又CN,PW交于点A,即P,M,N,C共面，因此CM与

PN共面，故选项A不正确；

对于3，当P为4.的中点时，PN”平面CCQQ,故选项3正确；

对于C,AN1BD.AN工BB、,BD^\BB,=B,BD,u平面5£）£）百，

AN1平面BDDtB”ANu平面PAN,

平面PAN，平面BDDtB,,故选项C正确；

对于。，过P,A,C三点的正方体的截面与GR相交于点。，则AC//PQ,HPQvAC,因此一定

是等腰梯形，故选项。正确.

12.在棱长为2的正方体A88-A8CR中，E,尸分别为Afi,AA的中点，贝”（）

A.BDVB.C

B.EF//平面

C.AGJ.平面

D.过直线E尸且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为应

【答案】BC

【解析】对于A,•.•BC//A。，是8。与耳。所成角（或所成角）的补角，

•••AD=BD=AB，.•.ZAI£>B=60。，与BC不垂直，故4错误；

对于8，取AD中点G,连接FG,EG,则EG//BD,FG//BB,,

•.•EGp|FG=G，，平面EFG//平面力用8,

•.•£/匚平面£尸6,，后产//平面。耳3,故B正确；

对于C,:AQ!■BQi,AA}±BlDl,\.

AG、平面MG，

BRJ.平面AAG,•••AC,u平面AAG，AC,XB.D,,

同理4GJ_8|C,

•.•B1£>,p|BlC=Bl.gCu平面8QC，

.•.AG_L平面SRC,故C正确；

对于。，取Ag中点打，连接FE、EH,

则切//BQ,GFIIBBX,

■：FH[y3F=F，平面E”FG//平面88a£),

•.•BRu平面BBP\D,EFu平面EHFG,

过直线EP且与直线B"平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

•/GF=2,GE=-BD=-y/4+4=-j2,

22

/.过直线EF且与直线BR平行的平面截该正方体所得截面面积为5=2^2,故D错误.

故选：BC.

三.填空题

13.已知，虚数单位，若复数z=j(aeR)的虚部为-3,则|z|=—.

1+i

【答案】V13

■［匚,1—ai(1—t7/)(1—z)1——z+cii~(1—a)—(1—ci)i\—ci1+”.

【解析】z=----=-----------=-----------=-------------=----------1

1+Z(1+i)(l-z)1-Z2222

・.•复数z=^—(tze/?)的虚部为一3,

1+i

工二一3,解得。=5

2

z=-2-3i,

.•」z|=J(—2了+(—3)2=屈.

故答案为：A/T3.

14.已知向量〃=(；,-¥),若向量b与。反向，且|〃|=2,则向量5的坐标是

【答案】(—1,6)

【解析】因为：向量”=(1-/),

31=1,

•.・向量b与a反向，且|5|=2

b=-2a=(_],&).

故答案为：(-1,6).

15.己知向量2=(.,3),5=(1,-2),且m+5)J_5,则,〃=.

【答案】1

【解析】根据题意，向量「=(〃?,3),5=(1,-2),则々+5=0+1/).

因为m+5)j_5,所以m+5)z="?+i-2=o,解得机=i,

故答案为：I.

16.直三棱柱ABC-A8c的各顶点都在球。的球面上，且A8=AC=1,8c=行，若球。的表面积为20万,

则这个三棱柱的体积为一.

【答案】6

【解析】设AABC和444G的外心分别为a、O2,连接002,

可得外接球的球心。为的中点，连接。4、OB、0C、QA、O\B、0tC,

…「山222

AABC中，cos,A=A-B---+--A-C------B-C--

2ABAC2

2%

vAe(O,^-),A=—,

3

根据正弦定理，得"BC外接圆半径QA=一—=1

2sinA

•.•球。的表面积为20万，4万店=204，R=#>,

々△OQA中，00=406-0讨=2,可得002=200=4,

•••直三棱柱ABC-A用G的底面积SMBC=gA8•ACsiny=^,

直三棱柱ABC-ABCI的体积为SMBCx4Q=6■

故答案为：6.

17.已知复z=“+瓦（a,6eR）满足z+3i为实数，工为纯虚数，其中i是虚数单位.

2-z

（1）求实数〃，匕的值;

（2）若复数4=5+2机+（,/-5»在复平面内对应的点在第四象限，求实数机的取值范围.

3

【答案】（D"=一5;(2)(-,V2).

b=-34

【解析】(1)由z=4+砥。,b€R),得z+3i=a+(h+3)z,

z_tz+W_(a4-bi)(2+z)2a-ba+2b.

-------------F----------1

2-i~2-i-(2-z)(2+z)55

4+3=0__3

再由题意可得：＜2a-b=0,解得”一5；

a+2bw0b=-3

3

(2)由(1)得，z=一一+3i,

2

则Z]=彳+2m+(m2-5)z=-^+3z+2m+(7?72-5)z

=(2m--1)+(AH2—2)z,

-3八

2m——>0

则2,B|J—<m<A/2.

4

病一2<0

实数机的取值范围是（3,x/2）.

18.已知复数Z1=l-2i,Z2=3+4i,i为虚数单位.

（1）若复数4+82在复平面上对应的点在第四象限，求实数。的取值范围;

（2）若z=2,求z的共知复数二

Z2

【答案】（1）（-；,g）;（2）z=-

55

【解析】（1）复数4=1-2"4=3+4八

所以4+az?=(1-2i)+a(3+4z)=(1+3a)+(4a-2)i；

山该复数在复平面上对应的点在第四象限,

1+3。>0

所以

4"2<0'

11

解得<4V-，

32

所以实数。的取值范围是g）;

z.1-2/(l-2Z)(3-4z)-5-lOz12.

（2）化简z——=----=------------=-------=—

z23+4z32-(4「2555

1

Z的共轨复数）+马

55

19.（1）设［，1是正交单位向量，如果砺=21+/旗，痂=欣见,OC=5e}-e^,若A、B、C三

点在一条直线上，且m=2〃.求加、〃的值.

（2）已知）=（2,3）,而=（6,-3）,点尸在线段84的延长线上，且|而|=°|丽|,求点P坐标.

4

772=10

【答案】（1）1或；(2)P(-10,21).

n=n=5

~2

【解析】（1）以。为原点,G，e2的方向分别为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标系xQy，

则丽=(2,附，OB=(n,-l),OC=(5,-1),

AC=(3,-1-AW),沅=(5—〃,0),

又・.・A,B,C三点在一条直线上,

AC//BC,

/.3x0-(-1--n)=0,与m=2〃联立,

m=-l

…„(/H=1A1()

解得"{1或I=；

n———In=5

I2

(2)•/OA=(2,3),OB=(6,-3),

.■.4(2,3),8(6,-3),设P(x,y),

•.•点P在线段84的延长线上，且|丽|=3|而I，

4

—3—

/.AP=一一PB,

4

3

即(X—2,y_3)=—(6—x,—3—y)»

4

3

x-2=—(x-6)

「.<4,解得工=一10,y=21.

3

y-3=-(y+3)

I4

P(-10,21).

20.如图，在四棱柱ABCC-ABCQ中，四边形是边长等于2的菱形，ZADC=120°,抽_L平面

ABCD,O,E分别是AC,AB的中点，AC交OE于点“，点F为”C的中点

(1)求证：。尸〃平面AEQ;

(2)若。尸与平面A8CD所成的角为60。，求三棱锥片-AOE的表面积.

【答案】（1）答案见解析；（2）6+用小

2

【解析】（1）连接A"，由于点厂为“c的中点，。为AC的中点，所以o尸〃A〃，

由于。/（t平面A。，4”<=平面4口）,

所以。尸//平面A。.

（2）连接30,由于四边形ABC。为边长为2的菱形，ZADC=120°.

所以4曲为等边三角形.

所以AH=¥^,DE=6且Z）E_L/W,

由于。尸与平面A8C£>所成的角为60。，且OF〃A”，

由于A4,，平面A8C。，

则：N41H4=60。，

所以A4,=2,4后=石，

由于441J■平面A8CO,DEu平面48CZ）,

所以44,IDE.

又DE，AB，A4,p）AB=A,

A4,ABu平面AABBI，

所以DEL平面AAB4，

则：A,E1DE,

所以三棱锥A—ADE的表面积为：—x2x2+—xlx2+—x\/3x亚+—x1x2x—,

222222

序2

21.已知&43C的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,其面积S=~——:--------

4

(1)若a=娓,b=\[2,求cosB；

(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B-A)的最大值.

【答案】(I)叵；(2)3.

62

【解析】(1)・.・S="2+」一",可得J■反sinA=2"8sA

424

sinA=cosA,可得tanA=1,

A