2021春人教版九年级数学下册 第27章 平面直角坐标系的位似教案

27.3.2平面直角坐标系中的位似

一、教学目标

知识与技能

1.巩固位似图形及其有关概念.

2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小

比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.

过程与方法

了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找

出这些变换.

情感态度与价值观

培养学生从特殊到一般地认识事物，获得数学的经验，激发学生探索知识

的兴趣

二、重、难点

重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换

难点：一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律

三、课堂引入

1.如图，AABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,l),C(6,2),(1)将AABC

向左平移三个单位得到△AIBIG，写出A|、Bi、Ci三点的坐标；

(2)写出aABC关于x轴对称的4A2B2c2三个顶点A?、B2,C2的坐标；

(3)将△ABC绕点。旋转180°得到AAsB3c3,写出A3、B3、C3三点的坐标.

2.在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何

用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似

也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形

坐标的变化来表示.

3.探究：

(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3),B(6,0).以原点

O为位似中心，相似比为!，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你

3

有什么发现？______________________________________________________

(2)如图，ZSABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,l),C(6,2),工

以点O为位似中心，相似比为2,将aABC放大，观察对应顶点4

坐标的变化，你有什么发现？2

【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律：…二…’A'')

-2

-4

四、例题讲解

例1(教材的例题)

解：

问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！

解法二：点A的对应点A”的坐标为(-6x(_f,6x(-1)),即A”(3,-3).类

似地，可以确定其他顶点的坐标.(具体解法与作图略)

例2(教材)在右图所示的图案中,你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变

换吗？

餐

分析：观察的角度不同，答案就不同.如：它可以看作是一排

鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以

刎毛《V0》4I

看作位似中心是图形的正中心，相似比是4：3：2：1的位似图

.ik.土织」

就*土

形，…….

五、课堂练习

1.△ABO的定点坐标分别为A(-l,4),B(3,2),0(0,0),试将△ABO放大为△EFO,

使△EFO与AABO的相似比为2.5：1,求点E和点F的坐标.

2.如图，AAOB缩小后得到△COD,观察变化前后的三

角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积

比.

3.如图，将图中的AABC以A为位似中心，放大到1.5倍,

请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化.

4.请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案(选择的变换不限).

六、小结：

以原点为位似中心位的似变换中对应点坐标间的关系.

七、作业：必做：课本习题T3,5

八、课后反思：

27.3.1位似图形

一、教学目标

知识与技能

1.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形

的性质.

2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.

过程与方法

经历画位似图形,探究位似变换对应点坐标间的关系，培养学生的作图能力,

归纳探究的能力

情感态度与价值观

培养学生从特殊到一般地认识事物，获得数学的经验，激发学生探索知识的

兴趣

二、重、难点

重点：位似图形的有关概念、性质与作图.

难点：利用位似将一个图形放大或缩小.

三、教学目标

（一）、课堂引入

1.观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们

有什么特征？

定义：如果两个图形，并且对应点连线一像这样的两个

图形叫位似图形，这个点叫做;这时我们说我两个图形关于这点

位似.

3.问：已知：如图，多边形ABCDE,把它放大为原来的2倍，即新图与原图

的相似比为2.应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法

吗？

（二）、例题讲解

例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图

形，请指出其位似中心.

分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图

形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两

个方面缺一不可.

解：

例2（教材例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的

2

分析：把原图形缩小到原来的,，也就是使新图形上各顶点到位似

2

中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1：2.

（三）、课堂练习

1.画出所给图中的位似中心.

(1)(2)(3)

2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.

3.已知：如图，AABC,画AA'B'C'，

使4A'B'C'saABC,且使相似比为1.5,要求

(1)位似中心在aABC的外部；

(2)位似中心在AABC的内部；

(3)位似中心在aABC的一条边上；

(4)以点C为位似中心.

(四)、小结：

位似的定义，位似图形的画法;

(五)、作业：

必做：课位本P51习题T2

(六)、课后反思:

27.1.2相似多边形

「教学目标

【知识与技能】

1.掌握相似多边形的性质，会利用性质判断相似多边形.

2.了解相似比和成比例线段的概念.

【过程与方法】

经历观察、思考、探索、猜想等活动，提高推理能力.

【情感态度】

在探索相似多边形的过程中，进一步发展归纳、类比能力，培养学生良好的情感

态度.

【教学重点】

掌握相似多边形性质及判别方法，能用性质解决具体问题.

【教学难点】

判别两个多边形相似.

广,教学亘旌

一、情境导入，初步认识

问题图中的两个大小不同的四边形ABCD和四边形ABCD中，ZA=ZA,,ZB=

ZB,,ZC=ZC,,ZD=ZD,,===因此四边形ABCD与四

ANBeGARA

边形ABCD相彳以.

【教学说明】四边形是学生非常熟知的图形，很容易得出它们相似的结论.让学

生通过四边形相似，初步体验相似图形性质.

二、思考探究，获取新知

问题1如图，四边形ABCD与EFGH相似，求角a,B的大小和EH的长度

X.

【教学说明】通过类比，学生能得到两个四边形的对应角相等，对应边的比相

等的结论.为进一步探索相似多边形的性质做好铺垫.在这一过程中，教师可适时

给出比例线段定义，对其定义，我们应注意：①判别所给出的四条线段是否成比

例线段，可先将这四条线段按长、短顺序排列后，再按顺序将两短线段之比与两

较长线段之比进行比较即可得知它们是否是成比例线段;②如果知识成比例线段

中三条线段的长度，可求出第四条线段之长.这些知识应让学生了解，而后回过

来与学生一道得出两个多边形相似的性质：相似的多边形对应角相等，对应边

的比相等.

三、运用新知，深化理解

1.在比例尺为1：1000000的地图上，甲、乙两地的距离为10cm,求

两地的实际距离.

【教学说明】可让学生独立完成，通过此题可加深学生对比例线段的理解.在

完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

四、师生互动，课堂小结

1.比例线段的定义如何？如何判别四条线段是成比例线段的？

2.相似多边形的性质与判定方法有何区别？

3.这节课你的收获有哪些？还有哪些疑问？

【教学说明】设置三个问题，师生以谈话交流形式进行，共同总结，及时反思.

，课后作业

1.布置作业:从教材P27-28习题27.1选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分

承教学反思

本课时可以以探究的方式引入，使学生通过操作、观察、猜想、探究、交流、

发现等学习方式掌握多边形的性质及判别方法，并且能够运用这些知识解决具体

问题.

27.2.8相似三角形的性质

一、教学目标

知识与技能

1.掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长，面积的比存在

的等量关系，掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系

2.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算.

过程与方法

对性质定理的探究经历观察一一猜想一一论证一一归纳的过程，培养学生主

动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度

情感态度与价值观

在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过对生活问题的解

决，体会数学知识在实际中的广泛应用

二、重、难点

重点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用

难点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用

三、教学过程

（一）、课前导学：学生自学课本第37页内容，并完成下列问题

1.相似三角形的对应角,对应边.

2.相似三角形的判定方法有那些？

相似三角形判定定理1：三边对应的两个三角形相似.

相似三角形判定定理2:两边_____且夹角的两个三角形相似.

相似三角形判定定理3:对应的两个三角形相似.

直角三角形相似的判定定理：两边和它们的夹角对应的两个三角形相

似.

3.回顾交流：读图，思考回答如下问题

(1)三角形中有哪几条主要线段？

(2)全等三角形具有哪些性质？

(3)全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等吗？请说明。

2.(1)如果△ABCsaABC'的相似比为2,那么aABC与4A8c的周长比

是多少？面积比呢？

(2)如果△ABCs/\ABC'的相似比为k,那么AABC与3公、的周长比是多

少？面积比呢？

【结论】相似三角形的周长比等于

相似三角形的面积比等于

(二八合作、交流'展示

例1、已知:如图，△ABC^AA/B'C,相似比为k,AD与A'D'分别是AABC

和4A'B'C'的高，求证:

空〃

AD

【结论】：相似三角形对应高的比等于o

【思考】：如果两个三角形是直角三角形，钝角三角形时结果还成立吗？试试看!

2、证明：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比

【结论】：相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于

3、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB〃CD,AB=2m,CD=5m,

（1）若点P到CD的距离为3m.求P到AB的距离?

（2）若PELCD于D交AB于F,EF=lm,求PF.p

cED

4.如图，DE〃BC,AB=30m,BD=18m,AABC的周长为80m,面积为lOOn?,

求AADE的周长和面积。

（三）、巩固与应用：

1、若两个相似三角形的相似比是2：3,则它们的对应高的比是,

对应中线的比是,对应角平分线的比是.

2、若△ABCS^AA，B'C,BC=3.6cm,B'C=6cm,AE是AABC的一条中线，

AE=2.4cm,则AA'B'C中对应中线A'E'的长是.

3、已知：梯形ABCD中，AB//DC,AC与BD交于点O,若=5cn?,

=2cm2q-

^cDo0贝U%^^ACD--------------------------------------------

5CO

4、已知两个相似三角形的一对对应边分别长为32cm和12cm.

（1）若它们的周长差为40cm,求这两个三角形的周长.

（2）若它们的面积差为500cm2,求这两个三角形的面积.

5、某人拿着一把分度值为厘米的小尺，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前

伸直，小尺竖直，看到尺上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知臂长为60cm.求

电线杆的高.

6、已知在AABC中，BC=120mm,BC边上的高为80mlli,在这个三角形内有一个

内接正方形，正方形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB、AC±.求

这个正方形的边长

7、锐角^ABC中，BC=6,SAABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑

动，且MN〃BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形

MPQN与aABC公共部分的面积为y（y>0）

（1）AABC中边BC上高AD=；

（2）当*=时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；

（3）当PQ在AABC外部时（如图2）,求y关于x的函数关系式（注明x的

取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

（图D（图2）

（四）、小结：相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似

比，那么相似多边形的周长比等于，面积比等于

（五）、作业：必做：课本练习T1,2,3,4,5,6

（六）、课后反思:

27.2.9相似三角形的应用举例

一、教学目标

知识与技能

1.进一步巩固相似三角形的知识.

2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测

量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题.

3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模

的思想，培养分析问题、解决问题的能力.

过程与方法

经历分析实际问题中已知条件，建立数学模型，进而利用相似三角形知识解

决问题

情感态度与价值观

体会数学和现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高用代数方法解决问题

的能力

二、重、难点

重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度

难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问

题）

三、教学过程

（一）、课前导学：预习课本中本节内容，完成下列问题：

1、判断两三角形相似的方法有：:

2、相似三角形的性质：（1）对应角、对应边；（2）

对应线段的比等于；（3）面积之比等于；

3、仰角：；俯角：;

（二）、合作、交流、展示：

［例题1］胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇

观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230

多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59

米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.

据史料记载，古希腊数学家、天文学家

泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字

塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构

成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.

如图，如果木杆跖长2m,它的影长川为3

塔的高度BO.

练一练：在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的

影长为90米，那么高楼的高度是多少米？（在同一时刻物体的高度与它的影长

成正比例）

【例题2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对

岸选定一个目标尸，在近岸取点。和S,使点只Q、S

共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与尸S垂直的

S

直线a上选择适当的点T,确定尸7与过点。且垂直尸S的直线b的交点R.如果

测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.

二A

B

E

<M20)

练一练：如图,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求河宽ABO

【例题3】如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵

树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，

发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有

三棵树，则河宽为多少米.

T

、干萍小中广

练一练：已知左、右并排的两棵大树的高分别是=8m和CD=12m,两树根

部的距离8。=5m.一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路/从

左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树

的顶端点C?

（三）、巩固与应用:

1、小明要测量一座古塔的高度，从距他2米口、j〃j、大依小心j但划用」火口、j।到影,

已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是

40米.求塔高？

2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上,

求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动）

3、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但

当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影

子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面部分的影长2.7m,

他求得的树高是多少？

4、如图，已知零件的外径a为25cm,要求它的厚度x

先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若

0A:0C=0B:0D=3,且量得CD=7cm,求厚度x。

（四）、小结：计算不能直接测量物体的长度和高度，可建立相似1与甭形如数对

模型。

（五）、作业：必做：课本中练习T9,10,14

（六）、反思:

27.2.1相似三角形及平行线分线段成比例

一、教学目标：

知识目标

理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会

灵活应用。

能力目标

通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

情感态度与价值观

（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生

活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交

流的习惯。

二、重、难点

重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定

理的变式。

三、教学过程

1、复习设疑，引入新课

内容：教师提问：

（1）什么是成比例线段？

（2）什么是相似多边形？

（3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是

2:3?

目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线

段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。

效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是

2:3,这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。

2、小组活动，探究定理

探究活动一：

内容：如图（1）小方格的边长都是1,直线a〃b〃c，分别交直线m,n

于Ai»A?,A：j9Bi，B?,B3o

（i）计算-1-你有什么发现？

A2A3B2E

（2）将b向下平移到如下图2的位置，直线m,n与直线b的交点分别为

A”B2o你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？

（图2）

（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对

应线段成比例；

目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，

达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。

效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多

边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。

2.议一议：

内容：教师提问：

1.如何理解“对应线段”？

2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？

3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

A4_

若a〃b〃c则

242AB2B3

A&_B、B?aa=B2B3

由比例的性质还可以得到：4A4当，AABR,

aA_

AA54B3笺

目的：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有

进一步的理解。并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。

效果：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。利用比例的性质写出

成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那

就是都体现了“对应”二字。

探究活动二：

内容：如图3,直线a〃b〃c，分别交直线m,n于A|,A2,A3,Bi，

（图3）（图4）

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等

分线段定理的推论。

效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A|C2=B|B2,

C2c3=B2B3,进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括

能力及语言表达能力。

目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。

效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其

推论的本质特征。

3.探究活动三:

内容:直线1//1J/L,L、卜、1被L、L、L所截且AB=BC则图中还有哪些

线段相等?

思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？

2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部

分之比是2:3?

目的：让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特

例。解决课堂引入时提出的问题。

效果：学生很容易得出此时的对应线段的比值为1,也为后面探究相似与全等的

关系做了铺垫。

3、灵活应用

内容：例1、如图，在AABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF〃BC,

(1).如果AE=7,FC=4，那么AF的长是多少？

(2).如果AB=10,AE=6,AF=5，那么FC的长是多少？

课堂练习:

1、如图，I1//I2//I3,

(1).在图(1)中AB=5,BC=7,EF=4,求DE的长。

(2).在图(2)中DE=6,EF=7,AB=5,求AC的长。

2、如图，在AABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE〃BC,

(1).如果AD=3.2cm,DB=1.2cm,AE=2.4cm,那么EC的长是多少？

(2).如果AB=5cm,AD=3cm,AC=4cm,那么EC的长是多少？

目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严

谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。

效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自

然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。

4、课堂小结：

内容：本节课你有哪些收获？

目的：

通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业

和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。

效果：

学生都能归纳出：1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

5、布置作业：

27.1.1相似图形及成比例线段

一、教学目标

1.理解并掌握两个图形相似的概念.

2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比

二、重点、难点

1.重点：相似图形的概念与成比例线段的概念.

2.难点：成比例线段概念.

3.难点的突破方法

（1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相

同的图形说成是相-似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还

要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能

一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全

等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的

情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作

有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和

原图形不是相似图形.

（2）对于成比例线段:

①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比

例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一

单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d成比例，记作或

a:b=c:d；⑤若四条线段满足,则有ad=bc（为利于今后的学习“•可适当,补充：

反之，若四条线段满足ad=bc,则有，或其它七种表达形式）.

三、例题的意图

本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图形相似一的选择题，通过讲

解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关;

（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个，图形放大或缩小得到的，

而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识

别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过分别采用m、cm、

mm三种不同的长度单位，求得的的值相等，使学生明确：两“条线段的比与所采

用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例3是求线段的.比

的题，要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺=,而求图上距离与实际距离

的比就是求两条线段的比.

四、课堂引入

1.（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角

星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什

么.关系.（还可以再举几个例子）

（2）教材P36引入.

（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形.（强调：见前面）

（4）让学生再举几个相似图形的例子.

（5）讲解例1.

2.问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD,那么

这两条线段的长度比是多少？

归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比.

3.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段

的比相等，如（即ad,=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线

段.

【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意

统一单位,；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成

比例，记作或a:b=c:d；（4）若四条线段满足,则有ad=bc.

五、例题讲解

例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）

分析：因为图A是把图拉,长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相

似；图B是正六边形.，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似;

而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180。后，再按一定比例缩小得到的，因

此.图C与左图相似，故此题应选C.

例2（补充）一张桌面的长a=l.25m,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少？

（1）如果a=125cm,b=75cm,那么长与宽的比是多少？

（2）如果a=125.0mm,b=750mm,那么长与宽的比是多少?

解：略.（）

小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，

所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位

必须一致.

例3（补充）已知：一张地图，的比例尺是1:320000,00,量得北京到上海的图上距

离大约为3.5cm,求北京到上海的实际距离大约是多少km?

分析：根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.

解：略

答：北京到上海的实际距”离大约是1120km.

六、课堂练习

1.教材P37的观察.

2.下列说法正确的是（）

A”小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.

B.商店新买来的.一副三角板是相似的.

C.所有的课本都是相似的.

D..国旗的五角星都是相似的.

3.如图，请测量出右。图中两个形似的长方形的长和宽，

F

（1）（小）长是cm,宽是cm；（大）长是cm,宽是cm；

（2）（小.）；（大）.

.（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？

（答：相似的长方形的宽与长之比相等）

,4.在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离

时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少？

5.AB两地的实际距离为2500m,在一张平面图上的距离是5cm,那么这.张平面地

图的比例尺是多少？

七、课后练习

27.2.5用边角关系判定三角形相似

（教学目标）

1.掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，

并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

2.培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法

2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关

系。

3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

（教学重点与难点）

重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用

难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程

（教学设计）

教学过程设计意图说明

新课引入：

1.复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形

判定方法（SSS）的区别与联系：从回顾探究判定引例、

SSS判定方法1的过程及复习两

1个三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这与全等三角形判定方法

两个三角形相似。（相似的判定方法1）（SSS）的区别与联系两个角

2.回顾探究判定引例、判定方法1的过程度来以旧引新，帮助学生建立

1新旧知识间的联系，体会事物

探究两个三角形相似判定方法2的途径间一般到特殊、特殊到一般

的关系。

提出问题：

利用刻度尺和量角器画AABC与AAiBiG，使N

A=NA”也和都等于给定的值k,量出它们

Ai5iA\C\

的第三组对应边BC和BCi的长，它们的比等于k

学生通过作图，动手度量

吗？另外两组对应角NB与NBi，NC与NG是否相

三角形的各边的比例以及三

等？

角形的各个角的大小，从尺规

（学生独立操作并判断）

实验的角度探索命题成立的

1

可能性，丰富学生的尺规作图

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三

与尺规探究经验。

组对应边BC和BiG的比都等于k,另外两组对应角

NB=NB”ZC=ZCto

延伸问题：

改变NA或k值的大小，再试一试，是否有同样

改变NA或k值的大小再

的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组

作尺规探究，可以培养学生在

合作再作出具体判断。）

变化中捕捉不变因素的能力。

探究方法：

探究2通过几何画板演示验证，培养

改变NA或k值的大小，再试一试，是否有同样学生学习在图形的动态变化

的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动中探究不变因素的能力。

态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化

中捕捉不变因素。）

!

归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且

相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的

证明由学生独立完成）

对几何定理作文字语言、图

Ai

A;形语言、符号语言的三维注

解有利于学生进行认知重构，

以全方位地准确把握定理的

内容。

BZ____________、Bia

若NA=NA”-^-=-^-=k通过辨析，使学生对两个三角

AiBiAiC\

形相似判定方法2的判定条

贝（J=AABC^AAiBiCi

件一“并且相应的夹角相等”

具有较深刻的认识，培养学生

辨析：对于AABC与AAIBIG，如果处=《Q,N

A\B\A\C\严谨的思维习惯。

B=NB”

这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立

思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展

示反例。）

应用新知：

例1：根据下列条件，判断AABC与AAIBICI是

否相似，并说明理由：

(1)ZA=120°,AB=7cm,AC=14cm,

ZA|=120°,AiB|=3cm,A|C|=6cm。让学生了解运用相似三角形

(2)ZB=120°,AB=2cm,AC=6cm,的判定方法2进行判定三角

ZB,=120°,A|Bi=8cm,AiG=24cm。形相似的一般思路，体会这与

运用全等三角形的判定方法

SAS进行相关证明与计算的

雷同性。

分析：(1)—=—=-,ZA=ZA=120°

A.BiACi31

=AABCSAABCI

(2)2=W=』,NB=NB|=120°但

让学生注意到：两个三角形相

AiBiAC4

NB与NB|不是AB、AC、A】B|、A£i的夹角，似判定方法2的判定条件“角

所以AABC与AABCi不相似。相等”必须是

“夹角相等”。

运用提高：运用相似三角形的判定

1.P47练习题1(1)。方法2进行相关证明与计算，

2.P47练习题2(1)。让学生在练习中熟悉定理。

课堂小结：说说你在本节课的收获。让学生及时回顾整理本

节课所学的知识。

布置作业：分层次布置作业，让不同

1.必做题：的学生在本节课中都有收获。

P55习题27.2题2(2),3(2)o

2.选做题：

P56习题27.2题8。

3.备选题：

已知零件的外径为25cm,要求它的厚度x,需先求出

它的内孔直径AB,现用一个交叉卡钳（AC和BD的备选题答案：x=2cm

长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：0D=3,

CD=7cmo求此零件的厚度x。

h—23cm—

设计思想:

本节课主要是探究相似三角形的判定方法2,由于上节课已经学习了探究两

个三角形相似的判定引例、判定方法1,而本节课内容在探究方法上又具有一定

的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上

的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学

生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论+集中展示反例”的学习形式来加深学

生的印象。

27.2.6用两角相等关系判定三角形相似

学习目标：

1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.

2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.

学习重点:三角形相似的判定方法4——“两角对应相等，两个三角形相似”.

学习难点:三角形相似的判定方法4的运用.

教具:三角板

学法指导：自主完成一、认真阅读教材小组合作交流完成二、三、四、五

学习过程备注

一、复习导学：

1、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

2、如图，aABC中，点D在AB上，如果AC2=AD・AB,那么aACD自主完成

与AABC相似吗？说说你的理由.A

二、探究新知：口/

问题1:观察两副三角板其中同样度数的

两个三角尺相似吗？说说理由。

问题2：作AABC和△NB'C/使得NA=NA/,ZB=ZB/,这时它们把你的结果

的第三个角满足NC=Nd吗？分别度量这两个三角形的边长，计与邻座的同

算4ABC和△APd的对应边的比是否相等？学比较，你

们的结论一

样吗？

x.Lx.△ABC和

B

c89△AWd相

似吗？

小结：三角形相似的判定方法4：

的两个三角形相似.

几何语言：

自己画图证

明。

V

△ABCs/iNB'C'

证明：

三、巩固提升

如图，RQABC中,ZC=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,

AE=5,ED±AB,垂足为D.求AD的长.

自己动脑完

成看谁最先

做出来

由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足或

，那么这两个直角三角形相似.

四、思考探究：

对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。那

么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?

已知:如图，Rt^ABC与Rtz^AWc/中，ZC=ZCz=90o,

AB：AB=AC：A，C，.求证：RsABCsRsA/Bg/

结论：_________________________________________________

五、能力提升:

1、已知:如图，矩形ABCD中，E

为BC上一点，DFLAE于F,若

AB=4,AD=5,AE=6,求DF的长.

小组交流展

示讲解

2、已知：如图，4ABC的高AD、BE交于点F.求证：—.

BFFD

A

BDC

六、小结

27.2.3用平行线判定三角形相似

（教学目标）

4.了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的

直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的

三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

5.培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法

1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关

系。

6.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

（教学重点与难点）

重点：两个三角形相似的判定引例、判定方法1

难点：探究判定引例、判定方法1的过程

（教学设计）

教学过程设计意图说明

新课引入：

3.复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的

定义从相似多边形的概念及

1全等三角形的概念两个以旧

相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义引新，帮助学生建立新旧知识

4.回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）间的联系，体会事物间一般到

特殊、特殊到一