2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.2.1排列学案含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE6.2排列与组合最新课标通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．6.2.1排列[教材要点]要点排列的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并依据________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．eq\a\vs4\al(状元随笔)(1)排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“依据肯定的依次排列”．(2)一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．(3)从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的依次也完全相同时，才是同一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的依次不同的排列，都不是同一个排列．(4)在定义中“肯定的依次”就是说与位置有关，在实际问题中，原委何时有关，何时无关，要由详细问题的性质和条件来确定，这一点要特殊留意，这也是与后面学习的组合的根本区分．[基础自测]1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生改变．()(4)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()2.(多选题)下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参与数学和物理学习小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参与一项活动C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数3.李老师要给4个同学轮番心理辅导，每个同学1次，则有()种轮番次序．A．6B．12C．24D．484.从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．题型一排列的概念——自主完成例1推断下列问题是不是排列问题：(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？(3)有12个车站，共需打算多少种车票？(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？方法归纳推断一个详细问题是不是排列问题，就是从n个不同元素中取出m个元素，推断在支配这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有改变，有改变就是有序，无改变就是无序．跟踪训练1(1)在各国实行的足球联赛中，一般实行“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，则需进行多少场竞赛．(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采纳“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参与，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场竞赛．(3)在乒乓球单打竞赛中，由于参赛选手较多，故常实行“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需实行多少场竞赛．在上述三个问题中，是排列问题的是________．题型二简洁的排列问题——师生共研例2(1)某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是()A．24B．22C．20D．12(2)写出下列问题的全部排列：①从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数．②由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出．方法归纳利用“树形图”法解决简洁排列问题的适用范围及策略1.适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．2.策略：在操作中先将元素按肯定依次排出，然后以先支配哪个元素为分类标准进行分类，再支配其次个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪训练2(1)若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是()A．12条B．9条C．8条D．4条(2)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的全部三位数．易错辨析混淆排列问题和分步问题例36个人走进只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必需且只能坐一人，共有________种不同的坐法．解析：坐在椅子上的3个人是走进屋子的6个人中的随意3个人，若把人看成元素，将3把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从6个元素中取3个元素占据3个不同的位置，明显是从6个元素中任取3个元素的排列问题，从而，不同的坐法共有：6×5×4＝120(种).答案：120【易错警示】易错缘由纠错心得本题简洁错认为不是排列问题，得到错解：6个人坐3把不同的椅子，相当于从含6个元素的集合到含3个元素的集合的映射，故有36种不同的坐法．排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素是可以重复选取的．eq\x(温馨提示：请完成课时作业（二）)

6．2.1排列新知初探·课前预习要点一肯定的依次[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：A是排列问题，因为两名同学参与的学习小组与依次有关；B不是排列问题，因为两名同学参与的活动与依次无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与依次无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还须要按依次排成一列．故选AD.答案：AD3．解析：从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最终剩下1个同学．按分步乘法计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24种．故选C.答案：C4．解析：12，13，21，23，31，32共6个．答案：6题型探究·课堂解透题型一例1解析：(1)是．选出的2人，担当正、副班长人选，与依次有关，所以是排列问题．(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与依次有关．(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与依次有关．(4)不是．只是选出3个座位，与依次无关．跟踪训练1解析：对于(1)，同样是甲、乙两队竞赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的竞赛，故与依次有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只须要进行一场竞赛，与依次无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦竞赛后就淘汰其中一位，故也与依次无关，不是排列问题．答案：(1)题型二例2解析：(1)分两步排课：体育可以排其次节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共6种排法，所以依据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．故选D.(2)①全部两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数．②画出树形图，如图所示．由上面的树形图可知，全部的四位数为：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、431