2024-2025学年高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理课时作业含解析北师大版必修4

PAGE其次章平面对量[课时作业][A组基础巩固]1．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为()A．6 B.eq\f(2,3)C．－6 D．－eq\f(2,3)解析：由a，b共线，得a＝λb(λ为实数)，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2.∵e1，e2不共线，∴x＝3λ，2＝λy，且λ≠0，∴xy＝3λ·eq\f(2,λ)＝6.答案：A2.如图所示，已知正六边形ABCDEF，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AE,\s\up8(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up8(→))等于()A.eq\f(1,2)(a－b) B.eq\f(1,2)(b－a)C．a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)(a＋b)解析：连接AD(图略)，则eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝a＋b，∴eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．答案：D3．已知△ABC和点M满意eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))＝0，∴点M是△ABC的重心．∴eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝3eq\o(AM,\s\up8(→)).∴m＝3.答案：B4．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3a－3b，则()A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线解析：因为eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3a－3b，所以eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝a＋5b，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))，所以eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BD,\s\up8(→))共线，所以A，B，D三点共线．故选A.答案：A5．已知|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设eq\o(OC,\s\up8(→))＝meq\o(OA,\s\up8(→))＋neq\o(OB,\s\up8(→))(m，n∈R)，则eq\f(m,n)＝()A.eq\f(3,2) B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：如图，过点C作CM∥OB，CN∥OA，则eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(ON,\s\up8(→))，设|eq\o(ON,\s\up8(→))|＝x，则|eq\o(OM,\s\up8(→))|＝2x，eq\o(OC,\s\up8(→))＝2x·eq\f(\o(OA,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))|)＋x·eq\f(\o(OB,\s\up8(→)),|\o(OB,\s\up8(→))|)＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),3)x·eq\o(OB,\s\up8(→))，所以m＝x，n＝eq\f(\r(3)x,3)，所以eq\f(m,n)＝eq\f(x,\f(\r(3)x,3))＝eq\r(3).答案：B6．如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量eq\o(AM,\s\up8(→))＝________.解析：eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,2)a.答案：b＋eq\f(1,2)a7．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.解析：∵a、b是两个不共线的向量，且起点相同，又a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三向量的终点在始终线上，∴t(a＋b)＝λa＋μ·eq\f(1,2)b即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝λ,t＝\f(1,2)μ，,λ＋μ＝1))解得t＝eq\f(1,3)答案：eq\f(1,3)8．如图所示，已知eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，用eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))表示eq\o(OP,\s\up8(→))＝________.解析：eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up8(→)).答案：－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up8(→))9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解析：∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴c＝a－2b.10.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AD＝4，BC＝6，AB＝2，设与eq\o(BC,\s\up8(→))同向的单位向量为a0，与eq\o(BA,\s\up8(→))同向的单位向量为b0，以a0，b0为基底表示下列向量：eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(OA,\s\up8(→)).解析：因为|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝6且与eq\o(BC,\s\up8(→))同向的单位向量为a0，所以eq\o(BC,\s\up8(→))＝6a0，同理eq\o(BA,\s\up8(→))＝2b0，则eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝6a0－2b0.又eq\o(AD,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝4，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝4a0，eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝2b0＋4a0，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝(2b0＋4a0)－6a0＝2b0－2a0.留意到AD∥BC，所以OA∶OC＝AD∶BC＝2∶3，所以eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(2,5)(6a0－2b0)＝－eq\f(12,5)a0＋eq\f(4,5)b0.[B组实力提升]1．已知平面内有一点P及一个△ABC，若eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，则()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上解析：∵eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，即eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，∴2eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))，∴点P在线段AC上．答案：D2．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若eq\o(CB,\s\up8(→))＝a，eq\o(CA,\s\up8(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则eq\o(CD,\s\up8(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：如图，CD平分∠ACB，由角平分线定理得eq\f(AD,DB)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(|b|,|a|)＝2，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B3.如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))，其中∠BOA为120°，∠AOC为30°，且|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：如图，以OC为对角线作▱OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，则存在λ、μ，使eq\o(OM,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝μeq\o(OB,\s\up8(→)).∵∠AOB为120°，∠AOC为30°，∴∠NOC＝90°，∠OCN＝∠MOC＝30°.在Rt△NOC中，|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(OM,\s\up8(→))|＝|eq\o(NC,\s\up8(→))|＝eq\f(|\o(OC,\s\up8(→))|,cos30°)＝4，|eq\o(ON,\s\up8(→))|＝|eq\o(NC,\s\up8(→))|sin30°＝2.∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝4eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝2eq\o(OB,\s\up8(→)).∴λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.答案：64．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，则x的取值范围是______；当x＝－eq\f(1,2)时，y的取值范围是______．解析：由题意，设eq\o(OM,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))(λ＞0)，eq\o(OP,\s\up8(→))＝a·eq\o(OM,\s\up8(→))＋b·eq\o(OB,\s\up8(→))(a＞0,0＜b＜1)，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝a·λeq\o(AB,\s\up8(→))＋b·eq\o(OB,\s\up8(→))＝aλ(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋b·eq\o(OB,\s\up8(→))＝－aλ·eq\o(OA,\s\up8(→))＋(aλ＋b)·eq\o(OB,\s\