2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.1第1课时多面体教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时多面体素养目标·定方向素养目标学法指导1．通过对实物模型的视察，归纳认知简洁多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特性.(直观想象)2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来推断、描述现实生活中的实物模型.(直观想象)1．通过视察和感知实物模型，从整体上相识棱柱、棱锥、棱台的结构特性.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比思想分析问题和解决问题.必备学问·探新知学问点1空间几何体1．概念：假如只考虑物体的__形态__和__大小__，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__空间图形__叫做空间几何体.2．多面体与旋转体(1)多面体：由若干个__平面多边形__围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的__面__；相邻两个面的__公共边__叫做多面体的棱；棱与棱的__公共点__叫做多面体的顶点.(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定__直线__旋转所形成的__封闭几何体__叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.[归纳总结]对多面体概念的理解，留意以下几个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成.(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体.(3)围成一个多面体至少要有四个面.(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体.学问点2几种常见的多面体1．棱柱定义一般地，有两个面相互__平行__，其余各面都是__四边形__，并且每__相邻__两个四边形的公共边都相互__平行__，由这些面所围成的__多面体__叫做棱柱有关概念棱柱中，两个相互__平行__的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__公共边__叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__公共顶点__叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的__字母__表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的__边数__分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……[归纳总结]棱柱的简洁性质：(1)侧棱相互平行且相等；侧面都是平行四边形.(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示.棱柱概念的推广：(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.2．棱锥定义一般地，有一个面是__多边形__，其余各面都是__有一个公共顶点__的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有__公共顶点__的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的__公共顶点__叫做棱锥的顶点；相邻侧面的__公共边__叫做棱锥的侧棱图形表示法用表示顶点和底面各顶点的__字母__表示，如上图中的棱锥可记为棱锥__S－ABCD__分类按底面多边形的__边数__分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫__四面体__[归纳总结]棱锥的性质：(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.(2)底面与平行于底面的截面是相像多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示.3．棱台定义用一个__平行于__棱锥底面的平面去截棱锥，__底面与截面__之间的部分叫做棱台有关概念原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__下底面__和__上底面__；其余各面叫做棱台的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱台的侧棱；底面与__侧面__的公共顶点叫做棱台的顶点图形表示法用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台__ABCD－A′B′C′D′__分类按底面多边形的__边数__分为三棱台、四棱台、五棱台……[归纳总结]棱台的性质：(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.(2)两个底面与平行于底面的截面是相像多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示.关键实力·攻重难题型探究题型一棱柱的结构特征典例1下列关于棱柱的说法：(1)全部的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是__(3)(4)__.[分析]首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满意其他性质.[解析](1)错误，棱柱的底面不肯定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).[归纳提升]棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个底面相互平行；②其余各面是平行四边形；③相邻两个平行四边形的公共边相互平行且相等.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满意其他特征.(2)多留意视察一些实物模型和图片便于反例解除.【对点练习】❶下列说法正确的是(B)A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的侧棱总与底面垂直[解析]由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不肯定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不肯定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确.题型二棱锥、棱台的结构特征典例2(1)下列说法正确的有__0__个.①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.②正棱锥的侧面是等边三角形.③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.(2)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面肯定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不行能都是棱锥.其中正确说法的序号是__①②③__.[分析]依据棱锥、棱台的结构特征进行推断.[解析](1)①错误.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点.②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不肯定是等边三角形.③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不肯定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满意底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不肯定，三个侧面不肯定全等.(2)①正确，棱台的侧面都是梯形.②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.[归纳提升](1)棱柱、棱台、棱锥关系图(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的推断方法：①举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例干脆推断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.②干脆法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个相互平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【对点练习】❷下列说法正确的有(A)①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面相互平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A．0个 B．1个C．2个 D．3个[解析]由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错.如图，可知③④错误.题型三空间想象实力与几何体的侧面绽开典例3如图是三个几何体的侧面绽开图，请问各是什么几何体？[分析]由题目可获得以下主要信息：(1)都是多面体；(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；②中折痕交于一点，是棱锥；③中侧面是梯形，是棱台.[解析]①五棱柱；②五棱锥；③三棱台.如图所示.[归纳提升]多面体绽开图问题的解题策略(1)绘制绽开图：绘制多面体的表面绽开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象实力或者是亲自制作多面体模型.在解题过程中，经常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面绽开图.(2)由绽开图复原几何体：若是给出多面体的表面绽开图，来推断是由哪一个多面体绽开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体表面绽开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面绽开图.【对点练习】❸纸制的正方体的六个面依据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2．则标“△”的面的方位是(B)A．南 B．北C．西 D．下[解析]将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面对东，让“上”面对上可知“△”的方位为北.易错警示凭直观感觉推断几何体致误典例4对如图1所示的几何体描述正确的是__①③④⑤__(填序号).①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.[错解]①②③④⑤[错因分析]解答本题时，学生易直观上感觉是棱台，忽视此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，从而错选②.[正解]①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点.③正确，假如把几何体正面